距离空间初探

1、 距离空间初探引言“距离空间”是分析数学中的一个非常重要的概念，它的理论是实变函数、泛函分析、拓扑学等课程的重要组成部分，同时也是其它许多学科讨论问题的平台距离空间在数学以及物理等各学科都得到了广泛的应用，例如：微积分中的极限连续、拓扑学中的距离空间等诸多数学概念与分支的引入，都与之相关已有不少学者对距离空间以及其应用做了一些总结，本文着重讨论在泛函分析方面距离空间的一些基本知识定义及预备知识距离空间的相关定义定义 1 1( P 4) 设 X 为一非空集合，如果对于X 中的任何两个元素x, y ，均有一个确定的实数，记为 d (x, y) ，与它们对应且满足下面三个条件：(i)非负性：d(x,

2、y) 0,而且d(x,y) 0的充分必要条件是 x y；(ii)对称性：d(x,y) d(y,x)；(iii)三角不等式性：d(x, y) d(x, z) d(z, y),这里z也是X中任意一个元素，则称 d 是 X 上的一个距离，而称X 是以 d 为距离的距离空间，记为 (X ,d) ，简记为 X . 条件( i )-(iii)称为距离公理.注 对任何一个非空集合，我们都可以定义距离，但定义距离的方式一般来说是不唯一的，并且非空集合按照不同的距离形成的距离空间是不同的 .定义21(P17)设A, B均为距离空间X的子集，如果B A,则称B在A中稠密.定义2 1(P17)对于任意的x A以及任

3、意的0,存在B中的点y使d(x, y) ,则称B在A 中稠密 .定义 31(P18) 距离空间 X 称为可分的，是指在X 中存在一个稠密的可列子集定义 41(P23) 距离空间 X 中的点列 xn 叫做基本点列，是指对任给的 0 ，存在 N 0，使得当 m, n N 时，d(xm,xn)定义5mp23)若X中的基本点列必收敛于 X中的某一点，则称 X为完备的距离空间.注 不是每个距离空间都是完备的，例如：有理数域按距离d(x,y) x y是不完备的距离空间，但对于不完备的距离空间来说，有如下完备化的定理使其完备化.定理1对于每个距离空间 X ,必存在一个完备的距离空间X0,使得X等距于X0中的

4、一个稠一一密子空间X。，且除去等距不计外，X。还是唯一确定的.线性空间及其上一些概念定义61(P72 73)设E是一个非空集合，K是实(或复)数域，如果E具有下列性质，则称E是 一个实(或复)线性空间：(i ) E是一个加法群，即 E中的任意两个元素 x, y对应于E中一个叫做x与y的和的元素， 记为x y ,满足(a)交换律：x y y x；(b)结合律：(x y) z x (y z)；(c) E中存在元素使得对任一 x E, x x,称是E的零元素；(d)对任何x E ,存在加法逆元素x ,使得x ( x) .(ii)任彳51 x E以及任何数 K对应于E中一个叫做与x的积的元素，记为 x

5、 ,满足：( )x ( x)；1 x x ;( )xxx；(x y)xy.定义71(P77)设E是实(或复)线性空间，如果对于E中的每个元素x,都有一个实数，记为|x| ,与之对应，且满足(i ) |x| 0,|x| 0的充分必要条件是 x ;| x | |x ,这里是实(或复)数；(-)|x y 1MM(设y E),则称E为实(或复)的赋范线性空间，|x称为元素x的范数.注完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间.定义8i(p94)设 为实(或复)数域 K上的线性空间，若内任意一对元素x,y恒对应于K中一个数，记为(x,y),满足：( x, y) (x, y);(用(x y,z) (x,z) (y,

6、z),这里 z ;(iii)当K为实数域时，(x,y) (y,x)；当K为复数域时，(x, y) CyR ；(iv) (x,x) 0 ,且(x, x) 0的充分必要条件是 x ,那么称 为实(或复)内积空间，简称为内积空间，(x, y)称为元素x与y的内积.注(i )对任彳S的x ,定义范数J x qK?,则 按范数| x是一个赋范线性空间.(ii)内积空间作为赋范线性空间，若是无限维且完备，则称它为希尔伯特空间.一般距离空间、赋范线性空间、内积空间之间的联系一般距离空间、赋范线性空间之间的联系对于赋范线性空间 E ,任取x,y E ,令d(x, y) |x y是元素x,y之间的距离，则 E按

7、照 该距离是一个距离空间，即赋范线性空间是一种特殊的距离空间.于是可知，赋范线性空间一定可以构成线性距离空间.反之，则未必成立.我们知道距离空间是更一般的拓扑空间的特例，要想使线性距离空间成为赋范线性空间，则必须满足下面定理：定理42(p494)为了拓扑线性空间F成为一个赋范线性空间，必须且只须存在一个邻域 v0,使其满足：(i)当 1 时，V。 V。；(ii) V。是有界开集;(町V。是凸集； 赋范线性空间、内积空间之间的联系对于每一个内积空间的元素x来说，定义H x J(x,x),则 按该范数是赋范线性空间，即每一个内积空间都是赋范线性空间.而赋范线性空间 E要想成为内积空间必须使其范数满

8、足平行四边形公式，即公式：|x y|2 |x y|2 2|x|2 2 y|2 (*).如果E的范数满足公式(*),则在E中可以定义内积(，)使E成为内积空间，且 E的范数就是由内积(，)导出的.3几个常见的距离空间及它们的一些性质3.1 Rn=所有n维实向量n1对任意 X( 1,2，, n)，y ( 1，2，n)Rn,令 d(X,y)(鼠J产，其满k 1足距离公理的三个条件，所以Rn按该距离是一距离空间.注 我们知道，对任何一个非空集合定义距离的方式不唯一，所以Rn按距离d1(x, y) max k k也是一个距离空间 1 k nRn是可分的，它的一个可列稠密子集为Rn中坐标为有理点的全体.空

9、间Rn是完备的，这可由实数域的完备性导出.在Rn上定义线性运算X y ( 11, 22, n n),X ( 1,2,n),则Rn按照该线性运算是线性空间.Rn上的范数n 2 1在Rn中令|冈 ( k )2 ,该范数满足前面2.2中定义7的三个条件，则Rn按其是一个赋 k 1范线性空间.注(i)因为Rn是完备的，且是一个赋范线性空间，所以Rn是巴拿赫空间.n)Rn ,因为(ii)在Rn中的依范数收敛等价于按坐标收敛.对任意 X ( 1, 2, n), y ( 1, 2 TOC o 1-5 h z nnIIXy|2|xyk k 2 kk 1k 1nn2 Ik22| k22|X|2 2|y|2122

10、所以R是内积空间且其内积为(x,y)( x y x y )4k iCa,b=定义在a,b上所有连续函数 对任意 x(t), y(t) Ca,b,t a,b,令 d(x, y)maxxy(t),则Ca,b按该距离是一距离空间.证明(i )( ii)显然成立;(iii)设 x, y,z Ca,b,则x(t) y(t) x(t) z(t) z(t) y(t)maxa t bx(t) z(t) max z(t) y(t) d(x,z)d(z, y)所以 d(x,y) d(x, z) d(z, y)成立;所以Ca,b按该距离是一距离空间Ca,b是可分的.证明3(P226 227)令表示以有理数为系数的一

11、切多项式的全体,显然是可列集.设0,则据下面注中的推论得，存在多项式P(x)使1f (x) P(x) (2(b a) p),a x bnn设P(x)ckxk ,取多项式R(x)rkxk,使k 0k 0Ckrk(2(n 1) n(b1a) p),k 0,1, ,n,其中 max(1, a, b),那么在a,b上一致有nP(x) R(x)Ck r/xkk 0(2(n 1)np 1n(b a)(n 1)八2(b a)；p).1因而 f(x) R(x) f(x) P(x) P(x) R(x) /(b a) p,a x b .这样，对于所取的多项式R(x) ,有1f Rp max-x) R(x) (b

12、a) p所以可列子集在Ca,b中稠密.(上面证明中的 y中的p与Lp中的p相同)所以Ca,b可分.注 推论3(P226)设f(x) Ca,b,则对任何0,存在多项式P(x),使在a x b上一致有 f(x) P(x) .Ca,b是完备的1(P24). 对任意x(t), y(t) Ca,b,t a,b,定义线性运算如下：(x y)(t) x(t) y(t) ( x)(t) x(t),则 Ca,b是线性空间.Ca,b上的范数在Ca,b中令|x|maxx(t),则Ca,b按其是一个赋范线性空间.证明(i )(五)显然成立(町 ixy maxxymaxx maxyIxl ly ，所以C a, b按其是

13、一个赋范线性空间.注(i ) Ca,b中的依范数收敛等价于一致收敛 .(ii)Ca,b完备且是赋范线性空间，所以Ca,b是巴拿赫空间.由于Ca,b的范数不满足平行四边形公式，故其范数不能由内积导出，即Ca,b不是内积空间.Lpa,b(1 p )=a,b上p哥可积函数的全体1.一、. p. .bp 7P对任意x, y Lpa,b,令d(x,y) ( x(t) y(t) dt)p ,则L a,b按该距离是距离空间. 、a、， 一， -LPa,b是可分的，令Sa,b表示a,b上一切有界可测函数，则Sa,b在LPa,b中是稠密的3(P226),且知Ca,b在Sa,b中稠密3(P112 113),所以由

14、Ca,b可分可得LPa,b是可分的.注 定理3.2 3(P112113)设f(x)是有界可测集E上几乎处处有限的可测函数，则对任意的0,存在实直线上的连续函数g(x),满足mE(f g) . LPa,b是完备的3(P218).LPa,b是线性空间，线性运算的定义与Ca,b中的定义相同.LPa,b上的范数1 b p在Lpa,b中令|x|( a x(t) dt)p ,则Lpa,b按其是一个赋范线性空间.P注(i )在L a,b中的依范数收敛就是p哥平均收敛.(ii) LPa,b是巴拿赫空间.1在LPa,b上令p 2时，其范数 帆(：x(t)pdt)p满足平行四边形公式.所以，在2 2 bL2a,b

15、中可引入内积使其成为内积空间.对x,y L2a,b,定义内积为(x, y) xy(t)dta2因为L a,b是无限维、完备、可分的，所以它是一个可分的希尔伯特空间3.4 L a,b = a, b上本性有界可测函数全体对任意 x, y L a,b,令 d(x, y) inf sup x(t) y(t)，则 L a,b按该距离是一距mEa,0 t a,b E离空间.La,b不可分1(P1819).L a,b是完备的1(P29).在L a,b中定义与Ca,b相同的线性运算，则 L a,b是线性空间La,b上的范数在L a,b中令|x|inf sup x(t),则L a, b按其是一个赋范线性空间.m

16、Ea,0 t a,b E注 L a,b中的依范数收敛等价于几乎一致收敛，且 L a,b是巴拿赫空间.33 1P(1 p ) ( 1, 2, n, ) 11np n 1J对任意 x ( 1, 2, n,), y ( 1, 2, n, ) l，令 d(x, y) ( n n p )pn 1则1P(1 p)按该距离是一距离空间.lp可分证明 令Eo x： x(r1,r2,rn,0,0 )，其中n为任一自然数，均为有理数(这儿不妨设1P为实空间），则Eo为1P的一个可列子集.下面证明Eo在1P中稠密.i (i 1,2,n)必存在 r1J2,7,使P 任取x 1 p,0 ,首先存在nrip可分得证.Eo

17、,使 d(x, Xo)n i 1 故存在点 Xo （1,2 Jn,0,0, Ip完备 证明设Xn1p为基本列，其中Xn （ i（n）,则对任意0,存在N ,当n,m N时，有1d(Xn,Xm) ( | ii(叩)乃，i 1则当 n,m N 时，有 i(n) i(m)(i 1,2,3, ,).(2)故对每个i , i（n）收敛.现设1p1imi(n), x ( i),下证 x 1 p,且 Xn xnk首先由（1）知对任意自然数k都有i 1(m) pp (n,m N),固定n N,让m,得 ki(n)i p p (n N),i 1再令 k ，得 i(n) i p, (nN), i 1lp故X 1

18、p , XnX ,完备性得证.在lp中定义线性运算如下：X y 11, 22, n n, X 1,2, n, 则1 p按照上述线性运算是一个线性空间1 p上的范数在1 p上令|x|（ n 4，则1 p按该范数是一个赋范线性空间n 1注lp是巴拿赫空间1一 . n.2 二O在1P中令p 2,则|x| ( n )2满足平行四边形公式，所以l中可引进内积使其成为n 1222内积空间.对x, y 1 ,可令(x,y) n n.因为1是无限维、完备、可分的，所以12是可分的n 1希尔伯特空间.但当p 2时,1 P不是内积空间.事实上，取x (1,1,0, ,0, ),y (1, 1,0,0,)2222从

19、而 x y x y 2x 2y1p,计算得：|x2P,x3.6 1 =一切有界的数列对任意x ( 1, 2按该距离是一距离空间.n, ) 1 ,令 d(x, y) SUP n n ,贝山1 n1不可分证明设K ( i) i 0或1,易知K不可列，其势为，且 x, y K, xy时|x y| 1,若1可分，则存在可列子集yk在1中稠密，我们以 K中之点为中心,1 ,1为半径作开球，这种开球所成的类的势为 3由于yk 1 ，则每个球中都含有yk中的点，从而至少有一个yi同属于两个不同的开球,11例如同属于S(x,),S(y,一),其中x, y K,x y,则 331 d(x,y) d(x, yi)

20、 d(yi ,y)1为不可分的.1完备证明设*口是1中基本点列，其中乂口 1(n), 2(n)则对任意的0 ,存在N ,当n,m N时，有I(n)(m)xn xm|SUP i i ,i 1故对每个i , i是一个收敛数列，记lim i(i 1,2,3, ,n N),所以 |xnxiQ 且x ( i) 1n.因为对每个i ,当n,m N时，有 n(n)(m)，固定n N时，令(n)l按与l p中定义的相同线性运算是一个线性空间l上的范数l 按 |x| sup1 n个赋范线性空间.又因为 l完备，所以l是巴拿赫空间. 由于l上的范数不满足平行四边形公式,故其范数不能由内积导出不是内积空间.事实上，

21、取 x (1,1,0,0, ),y (1, 1,0,0,1, x2222|x y II(j) (t) y(j)(t) y| 2H 2y| .3.7 Cka,b a,b上具有直到k阶连续导数的全部函数 对于 x, y Cka,b,令 d (x, y)kmax x(j)(t) a t bj 0y(t),规定x(0)x, y(0) y,则Cka,b按照该距离是距离空间.证明(i)显然成立;(ii) d(x, y) d(y,x)成立;(iii)设 x,y,z Cka,b,则x(j)(t) z(j) (t)z(j)(t)y(t)max x( j)(t)z(j) (t) max z(j) (t)ymax

22、x(j) (t)k尹j0max(t) y(j)(t)d(x,z) d(z,y)所以 d(x, y) d(x, z) d(y, z)所以Cka, b按照该距离是距离空间.Cka,b可分证明下面先证多项式全体按上述距离在Cka,b中稠密.任取 x(t) Cka,b,0,因为 x(k)(t)Ca,b,则存在多项式 P(t),使max x(k) (t) P(t)k(k 1)A其中 A max1,b a,我们令P1(t)tP(u)du x(k 1)(a),a一般地，Pj(t)hjOdu x(kj)(a)(j1,2k,Po(t)P(t).a显然有 x(j 1)(t)x(j)(u)du x(j1)(a)(j 1,2, k