2022年全国说课比赛一等奖说课教案

1、课题：双曲线及其标准方程说课老师：四川省南充高级中学 杨净茗教 材：全日制一般高级中学教科书 必修 高二数学上 人民训练出版社 一 教材分析（一）教学内容双曲线及其标准方程是全日制一般高级中学（必修）数学其次册（上）（人民训练出版社）第八章第三节的内容 .分两课时：第一课时：探究双曲线的定义,标准方程的推导及其初步应用；其次课时： 探究双曲线的定义及其标准方程的进一步应用（巩固求曲线方程的两种基本方法,即定义法和待定系数法）.现在说第一课时 .（二）教材的位置和作用双曲线是解析几何的重要内容圆锥曲线之一,椭圆的学习已为争论本节内容供应了基本模式和理论基础；本节内容也是后继内容学习的基础,并在科

2、学技术和日常生活中有着广泛的应用. （三）教学重点与难点 确定依据 依据教学大纲,同学学习实际情形,结合以上分析 .教学重点 双曲线的定义及其标准方程 解决方法 为了突出此重点,让同学动手实践,自主探究,通过画图揭示双曲线上的点所要满意的条件,由此得出定义,推出方程 . 教学难点 双曲线的标准方程的推导 解决方法 为了突破此难点,回忆用坐标法求曲线方程的一般步骤,类比椭圆标准方程的推导过程,关键是抓住“ 化简方程” 这一环节来进行方程的推导. 二 学情分析（一）有利因素 同学通过对椭圆的探究, 初步具备了肯定的分析与归纳的才能,为本节课的学习奠定了基础.由于双曲线在日常生活中有着广泛的应用,同

3、学具名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成 第 1 页,共 12 页有了肯定的奇怪心和求知欲,并对双曲线有了肯定的感性熟悉 .（二）不利因素 同学对数学图形, 符号,文字三种语言的相互转化仍有肯定困 难.同时受学习椭圆的定势思维,简单混淆两种圆锥曲线的几何量关系（如：标 准方程中 a,b,c 的关系,焦点位置的确定） ,在教学中引起了高度的重视,并 实行了相应的措施来克服这些不利因素 . 三 教学目标分析 确定依据 依据教学大纲的要求,结合教材分析、学情分析特制定以下三维教学目标 . （一）学问与技能目标 把握双曲线的定义, 焦点,焦距的概念和标准方程； 懂得双曲线标准方程的推导；并能

4、初步运用定义和标准方程解决有关问题 . （二）过程与方法目标通过同学自主探究,亲身经受双曲线的定义及其标准方程的获得过程,体验数形结合的思想在处理几何问题中优越性；概括等思维才能,形成良好的 思维品质 . （三）情感态度与价值观目标培育同学观看、 比较、分析、归纳、通过实例,激发同学对数学的奇怪心, 引导同学从数学的角度发觉和提出问 题,正确使用数学语言表达问题、进行沟通,形成用数学的意识 .让同学在自主 探究,合作沟通中获得新学问, 培育同学实事求是的科学态度,锲而不舍的探究 精神以及对数学学科的喜爱,坚决学好数学的信心,形成正确的 数学观 . 四 教法学法分析 确定依据 为实现以上教学目标

5、,依据教学大纲的要求,结合本节课的教学内容,及同学的认知水平 . （一）教学方法 引导探究、发觉法 设计意图 这样的教法可以充分调动同学学习的主动性、积极性,使课堂气氛更加活跃 . 同时培育同学自主学习和动手探究的才能 . 名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 2 页,共 12 页（二）学习方法 自主探究、合作沟通 设计意图 这样的学法有利于培育同学的动手实践才能、自主学习才能、探究精神及合作意识（三） 教学手段 多媒体帮助教学 设计意图 有利于激发同学学习的爱好, 增强动感 与直观感, 增大教学容量, 提高教学效率和教学质量（四）学具 一条拉链 ,两颗图钉,一块纸板 . 设计意图

6、 为探究双曲线的定义的绘图活动供应物质条件 . 五 教学过程设计 确定依据 为了充分发挥同学学习的主动性, 使同学的学习过程成为在老师引导下的“ 再制造” 过程 . 我设计了以下 教学流程：引入新课翕翕创设情境抽象概括归纳定义类比探究建立方程翕实践探究形成才能翕整理学问纳入系统翕分层作业巩固提高翕名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 3 页,共 12 页（一）创设情境,引入新课本节课的开头由多媒体演示实例,并引导同学观看图中的红色曲线 . （1）济南市立交桥的外观结构；（2）为缓解交通拥堵,北京市创建的新式交通结构图；（3）城市标志雕塑的形状；（4）自然通风塔轴截面的外观轮廓 .

7、并指出：这些红色曲线就是数学中争论的双曲线.上述都是实际生活中与双曲线有关的例子 .除此之外,双曲线在自然界和科学技术中也有着广泛的应用,比如有的无周期彗星的运动轨迹是双曲线; 利用远程双曲线导航的罗兰C 卫星导航系统等 .那如何定义双曲线呢？怎样建立它的方程呢？这就是本节课所要争论的内容,由此引出课题： 8.3 双曲线及其标准方程 1 设置意图 让同学形成双曲线的感性熟悉, 感受数学的应用价值, 表达数学来源于生活实际,又服务于生活实际 的才能 . （二） 抽象概括 归纳定义.同时培育同学学会用数学眼光去观看四周事物提出摸索：如何定义双曲线呢？ 设计意图 通过创设情境,激发了同学的求知欲,使

8、同学急于想知道双曲线是满意什么条件的点的轨迹, 但现有学问又无从回答, 形成认知冲突, 使同学进入愤悱状态 . 老师指出：为探究双曲线的定义,先回忆椭圆的定义,即：椭圆上动点 M 满意：MF 1MF22 a a 0 引导一： 如将上式改为MF 1MF22 a a 0,动点 M 的轨迹是怎样的曲线呢？ 设计意图 “ 思维从疑问开头”, 以问题为动身点,创设有效的学习情形,不仅可名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 4 页,共 12 页以复习旧知,为本节课的学习奠定基础,而且这样设问可以提高同学的求知欲,激发同学学习的爱好 勉励同学积极参加、 主动摸索,发挥同学学习的主体作用 . 解决

9、方法 让同学拿出课前预备好的一条拉链,一块纸板,两枚图钉 .介绍作图方法：在拉链拉开的两段上各挑选一点,分别固定在纸板上的点 F1 ,F2 处,取拉锁处为 M 点,由于拉链两段是等长的,就 MF 1 MF 2 FF 2,设 FF 2 2 a,把笔尖放在点 M 处,随着拉链的拉开或闭拢在纸板上作图 .如图 1.并由此提出摸索：如动点 M 满意：MF 2 MF 1 2 a a 0,应当怎样作图呢？让同桌两人一组,相互磋商、动手绘图,老师巡察,对有困难的小组予以帮助. 然后选出一位同学代表表达他们的画图过程,并展现画图结果 . 对完成较好的小组予以夸奖,让同学充分体会到数学探究的乐趣和胜利的欢乐 .

10、 设计意图 双曲线的定义为本节课的教学重点之一,为了突出重点,开展探究活动,让同学动手操作,亲身经受双曲线的形成过程图 1翕 图 2翕同学完成作图后,再用课件演示作图过程, 指出这一条曲线 图 1就是满意：集 合P 1MMF 1MF22 a,a0的 动 点 M 的 轨 迹 . 如 将 上 述 集 合 改 为P 2MMF2MF 12 a,a0,比较两集合的关系,取FF 12 a,同理可画出此时动点 M 的轨迹 图 2. 设计意图 课件演示不仅增强动感, 而且帮忙同学克服在实际操作中的困难,体现数学的严谨性 . 名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 5 页,共 12 页观看、比较,归纳

11、： 上面两条曲线合起来叫做双曲线,每一条叫做双曲线的一支 .其中右边一支满意：MF 1MF2,左边一支满意：MF 1MF 2引导二：（1）在纸板上作图说明白什么？（2）依据上述绘图原理,双曲线上的动点（3）常数 2a 与F 1F 2有什么关系？老师引导同学观看、分析,并归纳结论：（1）平面内M 应满意什么条件？（2）动点 M 与两个定点 F1 , F2 的差的肯定值 等于常数 . （3）02 aF 1F 2并勉励同学依据上述三点结论大胆归纳出双曲线的定义即为：平面内与两个定点F 、F2的差的肯定值 等于常数 小于F 1F 2的点的轨迹叫做双曲线 . 并引入双曲线焦点和焦距的概念：这两个定点叫做

12、双曲线的 焦点 ,两焦点的 距离叫做双曲线的 焦距. 设计意图 按同学的熟悉规律与心理特点引导同学自己探究、分析,启示同学认识新的概念, 这有利于同学对概念的全面懂得,同时培育了同学从量变到质变的辨证思维 . 并实现对数学图形,符号,文字三种语言的相互转化,渗透数形结合分析问题的数学思想方法. 2 的范畴（ 2a=F1 F2,2a=0, 2aF1F2）,动点引导三： 假如转变常数的轨迹会发生什么变化呢？ 解决方法 老师让同学相互争论 进行演示,归纳出：,勉励同学大胆阐述自己的结论,并运用课件1 MF1常数 2 a 02aF1F2 动点 M 的轨迹MF22 a双曲线名师归纳总结大肚能容,容学习困

13、难之事,学习有成第 6 页,共 12 页2 MF 1MF22 aF 1F 2线段 F1 F2 的延长线上以 F2为端点的一条射线MF 2MF 12 aF 1F 2段 F2F1 的延长线上以 F1为端点的一条射线3 22 a = 0违反了三角形三边长的关系 段 F1 F2 的中垂线4 aF 1F 2不存在 设计意图 通过老师的设问,启示同学摸索,让同学在自主探究,合作沟通中归纳概括出结论,培育同学发觉问题,争论问题,解决问题的才能 .上述结论是对满意集合 P M MF 1MF 22 a 的动点 M 的轨迹的全面说明 . （三） 类比探究 建立方程引导四： 怎样建立双曲线的标准方程呢？ 解决方法

14、先引导同学回忆求曲线方程的一般步骤,然后循此步骤,并类比椭圆标准方程的推导过程,在老师的启示下,由同学自主推导双曲线的标准方程 . 设计意图 通过同学对旧学问的回忆来明白同学对学问的把握程度,同时让学生明确思维的目的,为下一步教学搭桥铺路第一步建系： 建立直角坐标系 xOy ,使 x 轴经过点F 、F 2,并且点 O 与线段F 1F2的中点重合 .（在回忆椭圆标准方程推导时如何建立坐标系后,其次步建立起双曲线标准方程推导时的坐标系. ）2 a.设点： 设Mx ,y是双曲线上任意一点,双曲线的第三步焦距为2 cc0 ,那么,焦点F 、F 2的坐标分别是图 3翕c,0 、c,0. 又设点 M 与F

15、 、F 2的距离的差的肯定值等于常数写点集： 依据定义写出 M点的轨迹构成的点集：P = M | |MF1 | |MF 2 | =2 a 名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 7 页,共 12 页第四步列方程： 用坐标法表示条件P（M）,列出方 fx,y=0,c2b2,即：xc 2y2xc 2y22 a第五步化简： 化方程 fx,y=0 为最简形式 . 将方程化简,得c2a2x2a2y22c2a2a2由双曲线的定义可知,2 c2a,即ca,所以c2a20.令其中b0,代入上式,得b2x2a2y2a2b2两边除以a2b2,得出：x2y21a0,b0a2b2F1 对此方程要强调：它是双

16、曲线的焦点在 x 轴上的标准方程,焦点是：c , 0 、F2 c , 0 ,焦距 2 . 设计意图 为了真正做到让同学主动摸索、学习,让同学自己动手,独立的完成这个任务, 从而进一步体会用坐标法求曲线方程的思想.前四步同学简单把握,第五步的二次根式较复杂,同学常因运算才能不强而功亏一篑 .故在此,老师不失时机地加强了运算技能的训练.留意了引导同学比较椭圆标准方程推导中的二次根式的化简：平方,赋值,将含有两个根式之差的等式转化为含有 a,b,c 三字母的整式,再化为等号右端为1 的方程形式 .老师对个别有困难的同学进行必要的指导,并选一名同学在黑板上书写化简过程,然后老师点评 .这一环节教学有助

17、于突破本节的教学难点 . 注 意： 区分双曲线和椭圆的标准方程中 a , b , c 的关系：双曲线：c 2a 2b 2（a 0 b 0,a 与b 没有确定的大小关系）椭 圆：c 2a 2b 2（a b 0） 设计意图 类比双曲线和椭圆标准方程中的 a , b , c 的关系,有助于同学克服名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 8 页,共 12 页椭圆学习中的思维定势 . 引导五： 焦点在 y 轴上,并且点O 与线段F 1F2的中点重合,a,b,c的意义同上,双曲线的方程又如何呢？图 4 解决方法 先让同学作出图 4,引导同学观看、比较图3 与图 4,并依据椭圆的焦点在 y 轴上的

18、标准方程的推导方法,勉励同学大胆猜想,归纳出：只需将上述标准方程中的x 、 y 互换,即：21a0,b0y2xa2b2 设计意图 该问的设置,一方面是为了得出焦点在y 轴上的双曲线的标准方程；另一方面培育同学的类比才能, 充分发挥同学的直觉思维和数学悟性 . 调动了学生学习的主动性和积极性,引导六： 观看上述两个不同的标准方程,摸索：（1）双曲线的标准方程有何特点 . （2）x 2, y 项的符号与该双曲线的焦点所在位置有什么关系？2 解决方法 由同学小组沟通,老师对同学的回答进行必要的点评,肯定要让同学对上述问题的解答都有明确的熟悉 . 并归纳出：由双曲线标准方程确定焦点位置的方法：双曲线的

19、焦点应在系数为正的那一项所对应的坐标轴上正项定焦轴 . 设计意图 观看、比较,发觉问题 ;概括、归纳,解决问题,不仅加强了同学对所学学问的进一步懂得,而且培育了同学自主探究和鉴别的才能 .为检验同学对名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 9 页,共 12 页上述结论的把握情形布置课堂练习：判定以下双曲线的焦点所在坐标轴：（1）x22y21；16（2）9x16y2144（3）25x216y21.四 实践探究形成才能1 例题剖析,初步应用已知双曲线两焦点的坐标为 F 1 5 0, , F 2 ,5 0 ,双曲线上一点 P 到 F 、F 的距离的差的肯定值等于 6,求双曲线的标准方程 .

20、 解决方法 课本例题,难度不大,但能起到准时对所学概念进行巩固训练的作用. 教学中紧扣定义和标准方程的学问. 由同学合作完成, 再由同学代表发言, 叙述解题过程,老师点评,板书规范的解题步骤 . 并指出：上述例题的求解运用了求曲线方程的基本方法之一：待定系数法 . 设计意图 数学概念是要在运用中得以巩固的, 通过该例题使同学进一步懂得双曲线的定义,把握标准方程,使学问内化为智能 .2 自我反馈,评判提高（1）求适合条件 a 4 b 3 焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程 设计意图 检验同学对双曲线标准方程结构特点的把握情形 .2 2（2）填空：已知方程 x y 1 表示双曲线,就 m 的取值范

21、畴2 m m 1是 . 设计意图 区分双曲线的两种不同形式的标准方程,留意焦点位置的争论 .2 2（3）证明椭圆 x y 1 与双曲线 x 215 y 215 的焦点相同25 9 设计意图 比较两种圆锥曲线标准方程中 a , b , c 的异同 . 名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 10 页,共 12 页通过反馈练习, 再次加强同学对新学问的把握情形,并检验同学新的认知结构的形成和技能的进展状况,对教学中所显现的遗漏和不足赐予即时补救 .达到巩固,消化,检验新学问的目的 .同时使同学获得的学问信息纳入长时记忆系统 . （五）学问整理,纳入系统1 学问点：1 双曲线的定义,焦点,

22、焦距的概念 . 2 双曲线标准方程两类形式,如何由方程判定其焦点所在坐标轴 . 3 a, 的确定依据 . 4 与双曲线定义和标准方程有关的三个常数 a , b , c 间的关系（a , b , c都为正常数,且 c 最大,结构类似勾股定理：c 2a 2b 2）2 数学思想：数形结合、等价转化 . 3 数学方法：观看、比较、概括、归纳、类比分析、待定系数法 . 设计意图 通过画龙点睛,提纲挈领的小结,将所学学问纳入已有的学问系统之中,形成同学自己的认知结构 .突出重点,抓住关键,培育同学概括才能 .通过提炼数学的基本思想方法,使同学把握数学的精髓和本质,提高数学素养 . （六） 分层作业,巩固提高1 必做题： 课本 P108习题第 1、2、3 1、4 题2 课后探究题：2 2（1）求与双曲线 x y 1 共焦点,且过点 3 2 , 2 的双曲线的方程；16 4（2）当 0 180 时