2022年全等三角形证明判定方法分类总结

1、全等三角形（一）SSS 如【典型例题】,B5 cmAD【学问要点】1全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形例 1如图,ABC ADC ,点 B与点 D是对应点,2全等图形的性质：BAC26, 且B20,SABC1, 求C（1）全等图形的外形和大小都相同,对应边相等,对应角相等CAD,D,ACD的度数及ACD 的面积（2）全等图形的面积相等CE,求EDF 的例 2如图,ABC DEF ,A50,BC9 cm3全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形（1）表示方法：两个三角形全等用符号“ ” 来表示,读作“ 全等于”度数及 CF的长ADFABC与DEF全等,记作ABC DEFB（2

2、）符号“ ” 的含义： “ ” 表示外形相同, “ =” 表示大小相等,合起来就EC是外形相同,大小也相等,这就是全等（ 3）两个全等三角形重合时,相互重合的顶点叫做对应顶点,相互重合的边叫做对应边,相互重合的角叫做对应角例 3如图,已知：AB=AD,AC=AE,BC=DE,求证：BAECAD（4）证两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上A4全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等,简与成“ 边边边”DF例 4如图 AB=DE,BC=EF,AD=CF,求证：BCD或“SSS” AE如图,在ABC 和ABDEDEF 中BCEFBCEABC DEFACDF（1）AB

3、C DEFA D（D CC2 A A E ADE AB A ABC ABDB E A CDB E D ABD和 CD FD A B D ABD第 8 题图 C E C CBD D BBA E ABC F CCBAD 85 35 60 80 C AC ABCB 第 9 题题图 DEFC 第 3 题图 F ACD DA AE BC 第 6 题图 ABCD）3如图,ABC DEF ,AF=2cm,CF=5cm,就 AD= 证：D CDBABABC中C90,AACDB CBBABD和 EBAD4如图,ABE ACD ,A100,B25,求BDC 的度数BBCE E BE C60,ABD35 DABE

4、BF 第 4 题图 A DCFAEDAB第 7 题图 40 , EAB30,C45, 就BACDDACABEACDDEAEBBAEBADABCDEFC90C与F互余BCAF=CD ,求C与F互补A与E互余B与D互余ACFDBE5如图 A A A,已知,AB=DE ,BC=EF ,E30,ACF110,AD9 cm ,CD5.2 cmDABC与ABDABCAEBDABDEABCABDABCCDA 就 AD的长是（）AB B ABC D FD A B E D DEF SAS BFED ECBADE CC C DECAEABCDEF A、 7cm B、5cm C、8cm D、无法确定BEFFBCEF

5、2如图,ABCDCE,A48,E62,点 B、C、 E 在同始终线上,CB就ACD 的度数为（）、 110 D、 62 A、 48 B、 38 C【例 2】 如图,已知：点D、E 在 BC上,且 BD=CE,BD1A2ECAD=AE, 1=2,由此你能得出哪些结论给出证明. 【例 3】 如图已知： AE=AF,AB=AC, A=60 , B=24 ,求 BOE的度数 . BEOABC, ADE是等边三角形,AFC【例 4】 如图, B, C,D在同一条直线上,求证： CE=AC+DC ECD=60 . E ABCDABC、 BDE均为等边三角形；求证：BD CD=AD；【例 5】如图,已知AE

6、B C【巩固练习】 1 在 ABC和ABC中,如 AB=AB,AC=AC,仍要加一个角的条件,使A5如图, AE是BAC的平分线,AB=AC. ABCABC,那么你加的条件是（） A A= A B.B= B C.C= C D.A= B 2 以下各组条件中,能判定ABC DEF的是（）（1）如 D是 AE上任意一点,就ABD ACD,说明理由 . A AB=DE,BC=EF； CA=CD =CD ； C= F；AC=EF（2）如 D是 AE反向延长线上一点,结论仍成立吗请说明理由 C CA=CD； B=E =DE；BC=EF,两个三角形周长相等 3阅读懂得题：B如图：已知AC,BD相交于 O,O

7、A=OB,OC=OD.1E那么AOD与 BOC全等吗请说明理由. ABC与 BAD全等吗请说明理由.小明的解答：OA=OB2D1OD=OC 2SAS AOD BOCC而 BAD= AOD+ ADB ABC= BOC+ AOBDC6如图,已知AB=AC,EB=EC,请说明 BD=CD的理由所以ABC BAD1O2A（1）你认为小明的解答有无错误；（2）如有错误给出正确解答；A BE4如图,点C是 AB中点, CD BE,且 CD=BE,摸索究 AD与 CE的关系；BDCAC D全等三角形（二）作业1如图,已知AB=AC,AD=AE,BF=CF,求证：BDF CEF ；4已知：如图1,AD BC,

8、AE=CF,AD=BC,E、F 在直线 AC上,求证： DE BF；A5. 如图,已知DCFDE12FEABBCABAC, ADAE,AB=AC,AD=AE,B2如图,ABC, BDF为等腰直角三角形；求证：（1）CF=AD；（ 2）CE AD；求证：（1）BE=DC,（2）BEDC. CFAEDDAQCBPE3如图, AB=AC,AD=AE,BE和 CD相交于点 O, AO的延长线交BC于点 F；6、已知,如图A、F、C、D四点在始终线上,求证： BF=FC；AF=CD,AB证:BD=CEAD EOBFC8、如图,正方形ABCD的边 CD在正方形 ECGF的边 CE上,连接 BE、DG,11

9、、已知如图, F 在正方形ABCD的边 BC边上, E 在 ABDC（1）观看猜想BE与 DG之间的大小关系,并证明你的结论；（2）图中是否存在通过旋转能够相互重合的两个三角形如存在,请说出旋转过程,如不存在,说明理由；的延长线上, FB EB,AF交 CE于 G,求 AGC的度数 .FG12、 如图,ABC是等腰直角三角形,其中CA=CB,四边形ABECDEF是正方形,连接AF、 BD.1 观看图形,猜想 AF 与 BD之间有怎样的关系,并证明你的猜想；9、已知 : 如图 ,AD 是 BC上的中线 , 且 DF=DE求证 :BE CF2 如将正方形 CDEF绕点 C 按顺时针方向旋转,使正方

10、形 CDEF的一边落在ABC的内部,请你画出一个变换后的图形,并对比已知图形标记字母,题 1 中猜想的结论是否仍旧成立如成立,直接写出结论,不必证明；如不成立,请说明理由 .AD10、已知 C为 AB上一点 , ACN和 BCM是正三角形 . 求证：（ 1）AM=BNEFCB（ 2）求 AFN大小；NFMD全等三角形（三）ASACF【例 3】如图, AB=AC,B2,C,求证： AD=AEE【学问要点】AAASA公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等D如图,在ABC 与DEF 中BAD【例 4】已知如图,13BCABDEDBE4,点 P 在 AB上,可以得出ABCDEFASA EPC

11、=PD吗试证ASA公理推论（AAS公理）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等明之B1 2【典型例题】【例 1】以下条件不行推得ABC 和ABC全等的条件是（）F【例 5】如图,123,AC=AE,求证： DE=BCDOPC3 4A、AB=A B ,AA,CCAB、AB= A B ,AC=A C ,BC= B C C、AB= A B ,AC=A C ,BBD、AB= A B ,ADA3EA,BBA【例2】已知如图,12CAD,ABDE,AB/DE,求证： BC=EFBE4BDC【例 6】如图,AD,12,AC,BD相交于 O,D2C9、 已知：如图 , AB=AC , AD=AE ,

12、 求证：OBD OCE求证： AB=CD A OA=ODO1B【巩固练习】1EAC如 E图A,D A AA AAABB DBC10、已知：如图 , AB=CD , AD=BC ,O为 BD中点 , 过 O 作直线分别与DA、BCEGAA13 DDFA DF12ADONC1B 2B E C4 CF MD O C DE CC D AFC DD BEB B ABC CDFCCBDBB（图）AOED C COFEB CB E,12的延长线交于E、F求证： OE=OFABEODFOBAD,12,AFCDAEDADE,BAECAD11、如图在ABC和 DBC中 , 1=2 , 3=4 , P 是 BC上任

13、意一点求证：BD,BADCAEABCBAC ,ADBCACDABDACBDBC,DCAABD,AC10cmABC证： EDN CDN EMNPA=PD.12、已知：如图 , 四边形 ABCD中 , AD BC , F 是 AB的中点 , DF交 CB延长线 于 E , CE=CD求证： ADE=EDC13、已知：如图 , OA=OE , OB=OF , 直线 FA 与 BE 交于 C , AB 和 EF 交于 O , 求证： 1=2全等三角形（四）说明理由强化训练1、如图,ABC是等边三角形,点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点,（1）如 ADBECF,问DEF是等边三角形吗试证明你的

14、结论；M4、已知：如图,ABC中,ABC45 ,CDAB 于 D , BE 平分ABC ,（2）如DEF是等边三角形,问ADBECF成立吗试证明你的结论A F 且 BEAC 于 E ,与 CD 相交于点 F,H是 BCA E D 边的中点,连结DH 与 BE 相交于点 G B E C （1）求证： BFAC ；（2）求证：CE1BF ；D F 2G 2、如下列图, 已知 1=2,EFAD于 P,B H C 交 BC延长线于 M,求证： 2M=（ ACB-12A5、 如图, 点 O 是等边ABC内一点,AOB110o,BOC将BOCB）EPFBDC3、 ABC中, A=90 , AB=AC,D为

15、 BC中点, E、F 分别CFDB绕点 C 按顺时针方向旋转60o 得ADC,连接 OD 在 AC、AB上,且 DE DF,试判定 DE、DF的数量关系,并E（1）求证：COD是等边三角形；A（2）当150o时,试判定AOD的外形,并说明理A 由；（3）探究：当为多少度时,AOD是等腰三角形B 110oO D C 7、过等腰直角三角形直角顶点 A作直线 AM平行于斜边 BC,在 AM上取点 D,使 BD=BC,且 DB与 AC所在直线交于 E,求证： CD=CE；A D ME过 A 作 AFBC于 F,过 D作 DGBC于BCG,就 DG=AF=1/2BC=1/2BD在 Rt BDG中, DG

16、=1/2BD =DBC=30 = BDC=BCD=1/2180 - 30 =75 ,即 EDC=7510、已知：如图,点 D在 ABC的边 CA的延长线上,点 E 在 BA的延长线上, CF、DEC=DBC+BCA=30 +45 =75 EDC=DEC =CD=CE EF分别是 ACB、 AED的平分线,且B=30 , D=40 ,求 F 的度数；8、Rt ABC,AB=AC,BM是中线, ADBM交 BC于 D,求证： AMB=CMD；AMBDCBDC120o ,说明 AD=BD+CD的理由；9、如图,已知ABC是等边三角形,11、等边三角形ABC和等边三角形DEC,D在 AC边上；延长BD

17、交 CE延长线于 N,延长 AE交 BC延长线于 M；求证： CM=CN N易证 BCD ACE 所以 DBC=EACBADCEM再证 BCN ACM ASA CM=CN12、操作：如图,ABC是正三角形,BDC是顶角 BDC120 的等腰三角形,以 D 为顶点作一个 60 角,角的两边分别交 AB、AC边于 M、N两点,连接 MN探究：线段 BM、MN、NC之间的关系,并加以证明13、如图等边ABC和等边CDE,点 P 为射线 BC一动点,角 APK=60 ,PK交直线14 、（ 涉 及 相 似 三 角 形 ） 如P 为ABC所 在 平 面 上 一 点 , 且APBBPCCPA120 ,就点

18、 P 叫做ABC的费马点 . 如图,在锐角ABC外侧作等边ACB 连结 BB ；求证： BB 过ABC的费马点 P ,且 BB = PAPBPC .ABCD于 K；（1）摸索究 AP、 PK之间的数量关系；ABCDK15、如图 ,ABC 是等腰直角三角形, C900, 点 M,N分别是边 AC和 BC的中点 , 点D在射线 BM上, 且 BD2BM, 点 E 在射线 NA上, 且 NE 2NA.求证 :BDDE.ADKBPCEAED（2）当点 P 运动到 BC延长线上时,上题结论是否依旧成立为什么；MBCPEBNC第五章 全等三角形拓展延长例 2：在 ABC中,BAC=90 ,AB=AC,AE是过点 A的直线,BDAE,CEAE,假如 CE=5,BD=11,请你求出 DE的长度；分析：三角形全等的证明及其运用关键点在于“ 把相等的边 （角）A思路：抓住题目中所给的一组相等线段AB=AC进行分析,对放入正确的三角形中” ,去说明“ 相等的边（角）所在的三角形它们的位置进行分析,发觉AB、AC分别位于一个 Rt 中,所以全等”,利用三角形全等来说明两个角相等（两