函数的微分教案

1、 间星期月二二日题2.5函数的微分教学目的理解函数微分的定义；微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性；会求函数的微分。教学重点会求函数的微分。教学难点微分在近似计算中的应用课型专业基础课教学媒体教法选择讲授教学过程教法运用及板书要点一、函数的微分1、微分的定义引例一正方形金属薄片受温度变化影响，其边长由X变到x+Ax,00问此薄片的面积改变了多少？分析面积A=x2,AA=(x+Ax)2一x2=2xAx+Ax2000一般f(x)满足一定条件:Ay=AAx+0(Ax)，其中AAx是Ax的线性函数。定义1设函数y=f(x)在某区间内有定义，x0及x0+Ax在这区间内，如果函数的增量Ay二f(x+A

2、x)-f(x)可表示为：00Ay=AAx+o(Ax)(1)其中A是与x有关而与Ax无关的常数，o(Ax)是比Ax高阶的无穷小量，0那么称函数y=f(x)在点X。是可微的，而AAx叫做函数y=f(x)在点X。相应于自变量Ax的微分，记作dy即：dy=AAx。那么，函数具有什么条件才可微呢，下面我们讨论可微的充要条件。Thl、函数y=f(x)在点X。处可微分的充要条件是该函数在X。处可导，且当f(x)在点X处可微时，有dy=f(x)Ax。00证明：=(必要性)若y=f(x)在点X。处可微，Ay=AAx+0(Ax)，?=A+0(严，于是，A=lim丫=f(x)。AxAx心aAx0011Ax.AyU(

3、充分性)设y=f(x)在点x处可导，即】im丁=f(x)0Ax*Ax0根据极限与无穷小的关系有学二f(x)+alima=0，于是Ax0AxTOAy=f(x)Ax+aAxaAx=0(Ax)，且f(x)Ax不依赖Ax，即00dy=f(x)Ax，所以y二f(x)在点x处可微。00注1、可导o可微n连续n极限存在；可导n连续，反之不成立。2、当f(x)丰0时，有0Ay-dyAy-f(x)Axf(x)lim=lim0=hml-昇=0Axt0AyAxt0AyAx表明当f(x)丰0时，AxT0时，Ay-dy不仅是比Ax高阶的无穷小，0而且也是比Ay高阶的无穷小；因此，dy是Ay的主部。从而当|Ax|很小时，

4、Ay沁dy。3、dx=Ax，dy=f(x)dx，瞠=f(x)微商。dx【例1】求函数y=x3在x=1和x=2处的微分。解：函数y=x3在x=1的微分为dy=(x3)Idx=3dxx=1在x=2处的微分为dy=(x3)Idx=12dx。x=2兀【例2】求函数y=sinx，当x=,Ax=0.02时的微分。兀解：dyI=cos0.02=0.01xx=,Ax=0.023PQ=MQtana=f(x)Ax以直代曲，即y=f(x)的微分0dy-f(x)dx,在几何上就表示曲线在点M(x,y)处的纵坐标相应于000Ax的增量。如图2.5(P75)。3、基本初等函数的微分公式与微分运算法则基本初等函数的微分公式

5、函数的和、差、积、商的微分法则d(u土v)=du土dv；d(uv)=vdu+udv；d(cu)=cdu；“u、vdu-udv/小、d()=-(v丰0)。vv2复合函数的微分法则设y=f(u),u=申(x),f(u)及0(x)存在，则复合函数y=ftp(x)的微分为dy=f(u加(x)dx。由于p(x)dx=du,所以复合函数y=fp(x)的微分也可以写成：dy=f(u)du或dy=ydu微分的形式不变性。u【例3】y=sin(2x+1),求dy。解：法1：y=2cos(2x+1)dy=2cos(2x+1)dx。法2：dy=d(sinu)=cosudu=cos(2x+1)d(2x+1)=2cos

6、(2x+1)dx【例3】y=ln(1+ex2),求dy。1ex22xex2解:dy=dln(l+ex2)=d(1+ex2)=dx2=dx1+ex21+ex21+ex2【例4】y=e1-3xcosx,求dy。解:dy=d(e1-3xcosx)=cosxd(e1-3x)+e1-3xdcosx=e1-3xcosxd(1-3x)一e1-3xsinxdx=-e1-3x(3cosx+sinx)dx【例5】填空：(1)d()=xdx(+c)(2)d()=d(石+c)22jx(3)d()=-dx(+c)(4)d()=cos5xdx(sin5x+c)x2x5、ey练习：y=1+xey，求dy。(dy=eydx+

7、xeydy,dy=dx)1-xey二、微分在近似计算中的应用1函数的近似计算如果y=f(x)在点x0处的导数f(x0)丰0，且Ax很小时，有Ay-dy=f(x)Ax0上式也可写成：Ay=f(x+Ax)一f(x)f(x)Ax(2)000f(x+Ax)沁f(x)+f(x)Ax(3)000令x=x+Ax，即Ax=x一x，(3)可以写成：00f(x)沁f(x)+f(x)(xx)(4)000f(x)沁f(0)+f(0)x(x=0)0例6.有一批半径为1cm的球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜，厚度定为0.01cm.估计一了每只球需用铜多少g(铜的密度是8.9g/cm3)?解：已知球体体积为V=3kR

8、3,R0=1cm,AR=0.01cm.镀层的体积为AV=V(R0+AR)V(R0)qV(R0)AR=4兀RQ2AR=4x3.14x12x0.01=0.13(cm3).于是镀每只球需用的铜约为0.13x8.9=1.16(g).例7.利用微分计算sin30。30,的近似值.解：已知303=:+3：0,%=3；.sin3030=sin(x0+Ax)asinx0+Axcosx0一sin/+cos一-+-=0.5076.6636022360即sin30。30“.5076.常用的近似公式(假定1x1是较小的数值)：n1+x=1+1x;nsinx=x(x用弧度作单位来表达)；tanx=x(x用弧度作单位来表

9、达)；ex=1+x;ln(1+x)x.证明(1)取f(x)=nd,那么f(0)=1,f(0)=丄(1+x)i=-,代入nx=0nfx)砍0)+f，(0)x便得n1+xu1+丄x.n证明取fx)=sinx,那么f(0)=0,f(0)=cosxlx=0=1,代入f(x)f(0)+f(0)x便得sinxx.例8计算J1.05的近似值.解：已知n1+x=1+丄x,故n=J1+0.05=1+1X0.05=1.025.2直接开方的结果是1.05=1.02470.2误差估计在生产实践中，经常要测量各种数据但是有的数据不易直接测量，这时我们就通过测量其它有关数据后，根据某种公式算出所要的数据由于测量仪器的精度

10、、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差.下面就讨论怎样用微分来估计间接测量误差.绝对误差与相对误差：如果某个量的精确值为A，它的近似值为a，那么IA-a1叫做a的绝对误差，而绝对误差IA-al与lai的比值1A-a1叫做a的相对误差.lal在实际工作中，某个量的精确值往往是无法知道的，于是绝对误差和相对误差也就无法求得但是根据测量仪器的精度等因素，有时能够确定误差在某一个范围内.如果某个量的精确值是A，测得它的近似值是a，又知道它的误差不超过6A:lA-al5A，贝临A叫做测量A的绝对误差限，注叫

11、AAAlal做测量A的相对误差限(简称绝对误差).例9.设测得圆钢截面的直径D=60.03mm，测量D的绝对误差限6D=0.05.利用公式A=D2计算圆钢的截面积时，试估计面积的误差.解：AA=dA=A-AD=*D-AD，|AAl=ldAl=yD-lAD1dy=yAx,有|AylZdyl=iyi.lAxlVyiCx,所以测量y的绝对误差6=lylC:测量y的相对误差为5=lylyyx5.x练习：1、求arctanl.02的近似值。,1解：取y=arctanx，由于y=，由公式（3）有:1+X2arctan(x+Ax)沁arctan(x)001A+Ax1+x20取x0二1,Ax二0.02代入上式,兀即得arctanl.02+0.01。42、求365的近似值。解：因为365=364+1=41+右，所以x=64，其值较小n=3时利用近似公式（1）便得:TOC o 1-5 h z111365二431+q4(1+)二4.02