2021-2022学年吉林省“BEST”合作体高一下学期期末考试数学试题（解析版）

1、试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页第 Page * MergeFormat 17 页 共 NUMPAGES * MergeFormat 17 页2021-2022学年吉林省“BEST”合作体高一下学期数学期末考试试题一、单选题1在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标是（）ABCD【答案】B【分析】根据点的对称直接求解.【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标是.故选：B2已知，是虚数单位，若，则（）AB2C1D0【答案】D【分析】先由复数运算化简得，由复数的相等，可得答案.【详解】因为，所以，所以，所以故选：D.3命题“事件与事件对立”是命题“

2、事件与事件互斥”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据对立事件与互斥事件的概念判断即可.【详解】解：若事件与事件是对立事件，则事件与事件一定是互斥事件；若事件与事件是互斥事件，不一定得到事件与事件对立，故命题“事件与事件对立”是命题“事件与事件互斥”的充分不必要条件；故选：A4某班有男生24人，女生30人现用分层抽样的方法抽取部分学生参加市里的志愿者活动，若抽取的男生有4人，则抽取的女生人数为（）A6B5C4D3【答案】B【分析】根据分层抽样的定义按比例计算【详解】设抽取的女生人数为，则根据分层抽样的特性，有，解得故抽取的女生有5人故选：B

3、5上、下底面面积分别为和，母线长为的圆台，其两底面之间的距离为（）A4BCD【答案】A【分析】根据圆台底面半径，母线，高之间的关系求解.【详解】设圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R，因为上、下底面面积分别为36和49，所以，因为，解得h4，即两底面之间的距离为4故选：A6如图，已知表示水平放置的在斜二测画法下的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为（）A3B6CD【答案】D【分析】过作轴，交轴于，则就是的边上的高的直观图计算出后可得【详解】如图，过作轴，交轴于，则就是的边上的高的直观图在中，故选：D.【点睛】本题考查平面图形的直观图，掌握直观图的斜二测画图法是解题基础7若，

4、则（）A6B3C1D【答案】D【分析】根据同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，分子分母同除以余弦平方得到正切的式子，再将正切值代入即可.【详解】.故选：D.8平凉大明宝塔为甘肃省重点文物保护单位一九八六年，省政府拨款，对宝塔进行了维修和加固，铺了楼板，做了木梯，如今的宝塔，面目全新游客可以由木梯盘旋而上至顶层，举目四望平凉城市风光某学生为测量平凉大明宝塔的高度，如图，选取了与平凉大明宝塔底部在同一水平面上的，两点，测得米，在，两点观察塔顶点，仰角分别为和，则平凉大明宝塔的高度是（）A25米B米C30米D米【答案】C【分析】用分别表示，在中，利用余弦定理可得答案.【详解】在中，在中，在中，

5、由余弦定理得，即，解得米.故选：C.二、多选题9下列关于平面向量的说法中正确的是（）A，若与共线，则B已知，若与垂直，则C若点为的重心，则D平面上三点的坐标分别为，若点与A，B，三点能构成平行四边形的四个顶点，则的坐标可以是【答案】ACD【分析】由向量共线的坐标表示求得判断A，由垂直的向量表示计算求得，再求出向量的模判断B，根据三角形重心的性质与向量的线性运算计算后判断C，分类讨论求得点坐标判断D【详解】A若与共线，则，A正确；B若与垂直，则，则，B错；C点为的重心，设延长线交于，则是中点，同理，C正确；D设，若是对角顶点，则，即，若是对角顶点，则，即，或是对角顶点，则，即D正确故选：ACD1

6、0已知数据的平均数为，标准差为，则（）A数据的平均数为，标准差为B数据的平均数为，标准差为C数据的平均数为，方差为D数据的平均数为，方差为【答案】BC【分析】根据平均数、方差、标准差的定义逐项判断可得答案.【详解】， ，对于A，与不存在关系，不一定相等，故错误；对于B，所以数据的标准差为，故正确；对于C，故正确；对于D，数据的平均数为，方差为，故错误.故选：BC.11中国南宋时期杰出的数学家秦九韶在数书九章中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积把以上文字写成公式，即（为三角形的面积，、为三角形的三边

7、）现有满足，且的面积，则下列结论正确的是（）A的最短边长是2B的三个内角满足C的外接圆半径为D的中线的长为【答案】BC【分析】依题意设，（），利用面积公式求出，即可求出边长，从而判断A，再由余弦定理求出，即可判断B，利用正弦定理求出外接圆的半径，即可判断C，最后由数量积的运算律求出中线，即可判断D.【详解】解：由，设，（），因为，所以，解得，则，故A错误；因为，所以，故B正确；因为，所以，由正弦定理得，故C正确；，所以，故，故D错误故选：BC12如图，在四面体中，若用一个与，都平行的平面截该四面体，下列说法中正确的（）A异面直线与所成的角为90B平面截四面体所得截面周长不变C平面截四面体所得截

8、面不可能为正方形D该四面体的外接球半径为【答案】ABD【分析】取中点，证明平面后得线线垂直，判断A；由线面平行的性质定理得线线平行，然后由平行线性质求解后判断B；当截面过所在棱中点时截面的形状是正方形，从而判断C，把四面体补形成长方体，由长方体的外接球得四面体的外接球，从而得其半径判断D【详解】对于A，如图1，取中点，为等腰三角形，那么，同理，且，平面，那么平面，而平面，所以，A正确；对于B，如图2，设平面与四面体的各棱的交点分别为，由平面，且平面，两个平面的交线为，则，同理，得：，周长为，B正确；对于C，为各棱中点时，截面是边长为的正方形，C错误；对于D，如图3，四面体的外接球为长、宽、高分

9、别为1，1，2的长方体的外接球，半径，D正确故选：ABD三、填空题13已知单位向量，则_【答案】10【分析】首先求出的坐标，再计算其模即可.【详解】解：因为，所以，所以故答案为：14已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.6现采用随机模拟的方法计算该运动员射击4次至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9表示击中目标因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果经随机模拟产生了如下20组随机数：5727062371409857634743798636601314174698037168432676801

10、2601136619597742467104203据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为_【答案】0.5【分析】利用古典概型的概率公式直接求解.【详解】在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有：5727， 9857， 6347， 4379， 8636， 4698， 6843， 2676， 9597， 7424共10组随机数，所以所求概率为故答案为：0.515如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面圆周和圆锥的顶点均在体积为的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为_【答案】【分析】根据题意画出该几何体的轴截面，如图，设是球心，是圆锥的顶点，是圆锥的母线，求出

11、球的半径，从而可求出，进而可求得圆锥的侧面积.【详解】其中，是球心，是圆锥的顶点，是圆锥的母线，由题意可知，解得，由于圆柱的高为2，母线，圆锥的侧面积为故答案为：16窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等已知圆是某窗的平面图，为圆心，点在圆的圆周上，点是圆内部一点，若，且，则的最小值是_【答案】3【分析】利用向量的线性运算，结合数量积，可求得，确定其取值范围,再根据平方后的式子，即得.【详解】因为，所以，所以，即，则因为点是圆内部一点，所以，所以，则，

12、当且仅当时，等号成立，故的最小值是3故答案为：3.四、解答题17已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，其中(1)求及在上的投影向量；(2)证明 ，三点共线，并求当时的值【答案】(1)，在上的投影向量为；(2)证明见解析；【分析】（1）利用数量积的坐标运算算出，接着先算，接着利用投影公式算出答案；（2）先利用得到且，利用题意算出能得到，再结合公共点能得到三点共线，最后，最终算出的值【详解】(1)因为，所以，所以在上的投影向量为(2)证明：因为，所以且，因为，所以，即，又有公共点，所以，三点共线；因为，所以，即18已知复数(1)若为纯虚数，求实数的值；(2)若在复平面内的对应点位于第四象限，求实数的

13、取值范围及 的最小值.【答案】(1);(2),.【分析】（1）利用纯虚数的定义，实部为零，虚部不等于零即可得出（2）利用复数模的计算公式、几何意义即可得出【详解】(1)为纯虚数，且(2)在复平面内的对应点为由题意：，即实数的取值范围是而，当时，19某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例、使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数、将数据分成7组：，并整理得到如图的频率分布直方图(1)估计总体400名学生中分数小于60的人数；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的人数；(3)根据该大学规定、把25%的学生划定为不及格、确定

14、本次测试的及格分数线、低于及格分数线的学生需要补考【答案】(1)80(2)20(3)65分【分析】（1）由频率分布直方图求出分数不小于60的频率，即可得到分数小于60的频率，即可估计人数；（2）由频率分布直方图求出分数在区间内的人数，即可估计总体中分数在区间内的人数；（3）根据百分位数计算规则计算可得.【详解】(1)解：据频率分布直方图可知，样本中分数不小于60的频率为，所以样本中分数小于60的频率为，所以估计总体400名学生中分数小于60的人数为(2)解：根据题意，样本中分数不小于50的频率为，分数在区间内的人数为，所以总体中分数在区间内的人数估计为(3)解：设分数的第25百分位数为，分数小

15、于70的频率为，分数小于60的频率为，所以，即，解得，则本次考试的及格分数线为65分20某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达延迟5分钟内送达延迟5至10分钟送达其他延迟情况，分别评定为四个等级，各等级依次奖励3元奖励0元罚款3元罚款6元.假定评定为等级的概率分别是.(1)若某外卖员接了一个订单，求其不被罚款的概率；(2)若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为3元的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用互斥事件的概率公式，即可求解；（2）由条件可知两单共获得的奖励为3元即事件，同样利用互斥事件和的概率，即可求

16、解.【详解】(1)设事件分别表示“被评为等级”，由题意，事件两两互斥，所以，又“不被罚款”，所以.因此“不被罚款”的概率为；(2)设事件表示“第单被评为等级”，则“两单共获得的奖励为3元”即事件，且事件彼此互斥，又，所以.21在中，分别是角，的对边，.(1)求角的大小及外接圆的半径的值；(2)若是的内角平分线，当面积最大时，求的长.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由正弦定理将角化边，再由余弦定理求出，最后由正弦定理求出外接圆的半径；（2）由余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可得到面积最大值，从而求出与，再由正弦定理计算可得；【详解】(1)解：因为，由正弦定理可得，由余弦定理得，又，所以，由正弦定理得，所以.(2)解：在中，由余弦定理得，则，即.，当且仅当时，所以.此时，.在中，由正弦定理得.22四棱锥中，底面为梯形，为直二面角(1)证明：；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面的夹角的余弦值【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取中点，首先证得四边形为平行四边形，从而得到，可证得；结合面面垂直和线面垂直的性质即可证得结论；（2）连接，交于点，根据等腰三角形三