通信基础知识手册信号与系统

1、连续时间信号离散时间信号时间区间(T ,T )(, )( N , N )(, )瞬时功率2f (t)能量T2E T f (t) dtE lim Tf (t) 2 dt f (t) 2 dtT TNE x (n) 2n NE x n 2( )n平均功率1T2P 2T T f (t) dt1T2P limf (t) dtT 2T T1N2P x (n) 2N 1 nN1N2P lim x (n)N 2N 1 n Nf (t) f (t mT )m 0, 1, 2,x(n) x(n mn)m 0, 1, 2,第二、三章.连续时间信号、离散时间信号与系统时域分析一普通信号普通信号f (t) Kest(

2、, ) ， s j直流信号 0, 0f (t) K t 实指数信号 0, 01f (t) Ket t 时间常数： 三.卷积连续时间信号离散时间信号卷积定义f1(t) f2(t) x1(n) x2 (n) 交 换 率f1(t) f2 (t) f2 (t) f1(t)x1 (n) x2 (n) x2 (n) x1 (n)分 配 率f1(t) f2 (t) f3 (t) f1(t) f2 (t) f1(t) f3 (t)x1 (n) x2 (n) x3 (n) x1 (n) x2 (n) x1 (n) x3 (n)结 合 率 f1(t) f2 (t) f3 (t) f1(t) f2 (t) f3 (

3、t)x1 (n) x2 (n) x3 (n) x1 (n) x2 (n) x3 (n)奇异信号卷积特性样值信号卷积特性元特性f (t) (t) f (t)x(n) (n) x(n)延时特性f (t) (t t0 ) f (t t0 )f (t t1 ) g(t t2 ) f (t) g(t) (t t1 t2 )x(n) (n 1) x(n 1)x(n) (n k ) x(n k ) f1 ( ) f2 (t )d x1 (k )x2 (n k )k 六.系统的特征方程连续时间系统零输入响应连续时间系统零输入响应r 1, 0 ,x(n) e j0n cos j sin 00虚指数序列第四章.连

4、续时间信号与系统频域分析一.周期信号的频谱分析1. 简谐振荡信号是线性时不变系统的本号：e jte j (t )h( )d e jt e j h( )dy(t) h(t) 简谐振荡信号) e j h( )d变换： H ( j点 测 法：y(t) e jt H ( j)2.级数和变换3.荻里（Dirichlet）条件（只要满足这个条件信号就可以用级数展开）1t0 Tf (t) 绝对可积，即f (t) dt t02f (t) 的极大值和极小值的数目应有限3间断点，间断点的数目应有限f (t)4.周期信号的级数周期信号的级数信号集的正交性三角形式t0 T1t0 Tcos nt sin mtdt 0所

5、有m, n a0 f (t)dtt0Tt0Tf (t) a (a cos nt b sin nt) 2t0 Tt0 T cos nt cos mtdt m n0nnan f (dtt 2n1Tt00 0m n 2t0 TT bn f (dtt Tm nTt0 0sin nt sin mtdt 2t0 0m n在时域内周期信号分解级数在频域内非周期信号分解变换周期信号分解变换6.周期矩形脉冲信号En Sa(nf (t) )e jntT2半周期（偶谐函数）f (t) f (t T )2只有奇次谐波0n 1,3,5,an T 0, 2, 4,0n 1,3,5, bn T 0, 2, 4,二.非周期信

6、号的变换1.连续变换性质连续变换性质及其对偶关系 jt傅氏变换 ： F () f (t)edt 1 jt傅氏反变换： f (t) F ()ed2 连续变换对相对偶的连续变换对名称连续时间函 f (t)变换F ()备注名称连续时间函数 f (t)变换F ()备注2. 证明： f ( )d f (t) u(t)而u(t) () 1 tjtF ()则f ( )d f (t) u(t) F () () 1 F (0) ()jj备注1R() I ()*四.无失真传输3. 信号的滤波：通过系统后 1 产生“预定”失真2 改变一个信号所含频率分量大小3 全部滤除某些频率分量4.理想低通滤波器不存在理由：ea

7、 t , Rea 02a2 a2t 22 e , 0eat cos tu(t), Rea 00a j(a j)2 20eat sin tu(t), Rea 000(a j)2 20teatu(t), Rea 01(a j)21, 0 ( jt)22eu()tk 1e atu(t), Rea 0(k 1)!1(a j)kT (t) (t lT )l 2 k 2T (T )k t 2e( ) ( )2e2u(t ) u(t ) cos 0t22( )( ) Sa0 Sa0222 F e jk0tkk 2 Fk ( k0 )k H () 1 21 ( )c() arctan c高通滤波器e jtd

8、H () c 1 G()e jtd 0 2ccjRCH () 1 jRCH () RC1 2R2C 2() arctan(1)RC带通滤波器H () H1() ( 0 ) ( 0 )jRCH () 2LC( j) RC( j) 1第五章.离散时间信号与时域分析一.离散级数（DFT）1.信号e j0n 基本特征信号e j0n性： e j0 (n N ) e j0n 0m时有理数时具有周期性周 期2N2 0基波频率：Nm基波周期： N m( 2 )0二.离散时间变换DTFT1. 离散时间变换DTFT x(n)nn N1N11 非周期信号： x(n) 0 1 x(n) X ()e jnd21N应用条

9、件： n2x(n) 离散时间变换 X () nx(n)e jn2 周期信号： 2n2 a (X () k )kN jk ( 2 ) nNN11Nn N1akx(n)e序列一个周期的能量： 1 x(n) 2 a 2Nkn N n N 卷 积 性 质若 y(n) x(n) h(n)则Y () X ()H ()备注连续信号离散信号周期 离散非周期 连续连续 非周期离散周期第六章.连续时间信号与时域系统分析一.拉氏变换定义2.拉氏变换的导出 t t jtf (t)e( j )tdtFT f (t)e 令s jf (t)e edt 则：象函数： F (s) LT f (t) f (t)estdt 1 j

10、原函数： f (t) LTF (s) 1stF (s)e ds2 j j1.不满足绝对可积信号为什么不能用傅氏变换原因：信号衰减太慢或不衰减（为了克服这种，可以用一个收敛因子与 f (t) 相乘）。三.拉氏变换的性质1.拉氏变换的性质连续变换性质及其对偶关系 t拉氏变换 ： F (s) f (t)edt1 j傅氏反变换： f (t) 2F (s)estdsj j连续变换对相对偶的连续变换对名称连续时间函数 f (t)拉氏变换F (s)备注名称连续时间函数 f (t)拉氏变换F (s)备注3.双边拉氏变换2.双边拉式变换的求法f (t) f1(t) f2 (t) f (t)u(t) f (t)u

11、(t)对上进行双边拉氏变换F (s) f (t)u(t)estdt f (t)u(t)estdt F(s) F(s) F (s) F (s)0 0B1B212B12 2 1lim f (t)et 0 11.收敛条件： t则拉氏变换在 区域上存在。12lim f (t)et 0 t2相同的双边拉式变换式，当取不同的收敛域时，其 f (t) 是各异的。2注意：时移特性只适于求 f (t t0 )u(t t0 ) 的拉式变换右边信号可写作 f (t) f0 ()u() ，其中 f0 (t) u(t) u(t t0 )n03d n f (t)nn1n2(n1)dtn s F (s) sf (0 ) s

12、f (0 ) f(0 )4d nF (s)1.(t)n f (t) dsn st std st st2.证明： F (s) 0 f (t)edt F (s) 0 f (t)edt f (t)edt tf (t)edt LTtf (t)0ds05t0tt0t证明： f (x)dx f (x)dx f (x)dx LTf (x)dx LTf (x)dx LT f (x)dx0001tt1LTf (x)dx f (1) (0 )LT f (x)dx f (x)dxestdt 0 F (s)s000s LTf (x)dx 1 F (s) 1 f (1) (0 )tss注意： LT f (x)dx 1

13、F (s) 1 n1 f (x)dxdt dt 1 F (s)tt tt0s0 00n11sn6注意 1 F (s) 必须是真分式 ，如果不是要利用长除法变成真分式项F0 (s) ，再利用初值定理。 2 初值定理是 f (x) 在t 0 时刻的值。 df (t) st0 df (t) st df (t) st证明： sF (s) f (0 ) 0dtedt 0dtedt 0dtedt在区间(0 , 0 ),t 0,est 1t 0 sF (s) f (0 ) f (t) 0 df (t) st df (t) st00dtedtf (0 )f (0 )0dtedt令s ，则 f (0 ) lim

14、 sF (s)s7终值定理存在条件： F (s) 的极点全部落在左半s 平面或在s 0 处只有一点。 df (t)证明： sF (s) f (0 ) estdt令s 00dt df (t)则lim sF (s) f (0 ) lim estdt f () f (0 ) f () lim sF (s)s0s0 0dts04.双边拉氏变换对与双边Z 变换对双边拉氏变换对与双边Z 变换对的类比关系 st nF (s) f (t)edtF (z) f nzn双边拉氏变换对双边Z 变换对重要连续时间函数 f (t)像函数F (s) 和收敛域离散时间序列 f n像函数F (z) 和收敛域重要 (t)1,整

15、个s 平面 n1，整个Z 平面（ k）(t)sk ，有限s 平面k n(1 z1 )k ， z 0u(t)1 s ， Res 0un1 (1 z1 ) ， z 1tu(t)1 s2 ， Res 0(n 1)un21 (1 z1 ) ， z 1u(t)tu(t) ， Res 0un 11 (1 z1 ) ， z 1tu(t)1 s2 ， Res 0(n 1)un 121 (1 z1 ) ， z 1k 1tu(t) (k 1)!1sk , Res 0 (n k 1)! un 1n!(k 1)!k1 (1 z1 ) ， z 1e atu(t)1s a , Res Re(a)anun1 (1 az1

16、)， z ate atu(t)1 , Res Re(a)(s a)2(n 1)anun21 (1 az1 ) ， z ak 1te atu(t) (k 1)!1, Res Re(a)(s a)k(n k 1)!anunn!(k 1)!k1 (1 az1 ) ， z ae atu(t)1s a , Res Re(a)anun 11 (1 az1 ) ,z acos0tu(t)s， Res 0s 022cos0 nun1 (cos )z101 (2cos )z1 z20sin0tu(t)0， Res 0s 022sin 0 nun(sin )z101 (2cos )z1 z20e at cos t

17、u(t)0s， Res a(s a)2 20an cos nun01 (a cos )z101 (2a cos )z1 z201 j对的右边F (s)est极点的留数,t 0留数法 f (t) F (s)estds B2 j j 对的右边F (s)est极点的留数,t 0B注意： F (s) 应该是真分数5.复频域分析1 拉氏变换及求解微分方程的三步法：2 电路系统的分析1.对微分方程逐项取拉式变换，利用微分性质，待遇初始值。1.定律：对任意节点，在任意时刻流入流出节点2.对拉氏变换方程进行代数运算，求出相应的象函数电流的代数和恒为零3.对响应的象函数进行拉氏反变换，得到全响应的是与表达式2.

18、电源e at sin tu(t)00 ， Res a(s a)2 20an sin nun0(a sin )z101 (2a cos )z1 z20e a t ， Rea 02a ，a s aRe Re Res2 a2a n ， a 1(a a 1 ) z 1， a z 1 a(1 az 1 )(1 a 1 z 1 )e a t sgn(t) ，Rea 02s，a s aRe Re Res2 a2a n sgnn， a 11 z 2， a z 1 a(1 az 1 )(1 a 1 z 1 )第七章. Z 变换一. Z 变换的定义 x(n)en j n ex(n)zn X (z)njn令ezX

19、(z) x(n)zn n三. Z 反变换围线积分与极点留数法x(n) 1 X (z)zn1dz围线c 是在 X (z) 的收敛域内环绕z 平面原点逆时针旋转的一条封闭曲线2 jcx(n) X (z) zn1在围线c内的极点上的留数z 是一阶极点： Re s X (z) zn1 X (z) zn1(z z )00 z z0 d s11z 是s 阶极点： Re s X (z) zn1 n1s X (z) z(z z ) 01(s 1)! dzs1z z1n 0 时， x(n) 1 X ( 1 ) pn1dp2 jcp七数字滤波器 无限冲激响应IIR样值响应h(n) 的时间特性分类按有限冲激响应FI

20、R五. Z 变换性质Z 变换性质及其对偶关系Z 变换： X (z) x(n)znn1傅氏反变换： x(n) 2 X (z)zn1dzjcz 变换对相对偶的z 变换对名称离散时间函数x(n)z 变换F (z)备注名称离散时间函数z 变换F (z)备注ZTx(n 1)u(n) zX (z) zx(0)ZTx(n 2)u(n) zX (z) z2 x(0) zx(1)单边时移：若x(n)u(n) Z X (z)3m1则x(n m)u(n) Z zm X (z) x(k)zk k 0ZTx(n 1)u(n) zX (z) x(1)1ZTx(n 2)u(n) z2 X (z) z1x(1) x(2)1x(n m)u(n) Z z m X (z) x(k)zk k m第八章.系统函数与状态变量分析一.零极点和系统稳定性、因果性1. H (s) 、H (z) 收敛域及系统特点注意：确定了h(t) 的时域波形，对h(t) 的幅度和相位也有影响只影响h(t) 的幅度和相位，对h(t) 的时域波形无影响2.系统稳定性定义： M ， t ， M f 为有限常数；则输出 M ， t ， M 为有限常数yf若输入f (t)