微积分2课件8.4全微分

1、1z f ( x, y)dz A x B y.规定dx x, dy y dz z dx z dy.xy定理设z f ( x, y)在点( x, y)处可微,则f ( x, y)在点( x, y)处连续.证 Q z Ax By o( ), limz 0( x, y )( x0 , y0 )即limf ( x x, y y) f ( x, y)(x,y )(0,0)定理 若 z f ( x, y)在点( x, y)处可微分,则 f ( x, y)在( x, y)处的两个偏导数都存在，且A z , B zxy证 Q z f ( x, y)在( x, y)处可微, z A x B y o( ), 取y

2、 0, 此时 | x |, xz Ax o(| x |), xz A o(| x |) ,xx z A, 同理可证 z B.xy全微分的定义若z Ax By o( ), 其中 (x)2 (y)2 ,A, B均x, y无关, 仅与x, y有关,则称z f ( x, y)在点P( x, y)处可微,称Ax By为f ( x, y)在点P( x, y)处的全微分, 记作 dz,即dz Ax By.全增量的概念设z f ( x, y)在点P( x, y)的某邻域内有定义,记 z f ( x x, y y) f ( x, y),称z为z f ( x, y)在点P( x, y)处的全增量,若x 0, 则z

3、 yz, 为z对于y的偏增量,若y 0, 则z xz, 为z对于x的偏增量.引例矩形的面积 S f ( x, y) x y对应于边长的改变量 x, yS ( x x)( y y) x y y x x y x y当x 0，y 0 时，x y 为 (x)2 (y)2 的高阶无穷小,y x x y 称为S在( x, y)处的微分.8.4 全微分一元函数的微分的定义y f ( x x) f ( x)可以表示为 y Ax o(x), 其中A与x无关，则称Ax为y f ( x)在x处的微分,dy A x f ( x)dx2例4 设u x sin y e yz ,求du.2解Q u 1,u 1 cos y

4、ze yz , u ye yz ,xy22z du dx ( 1 cos y ze yz )dy ye yzdz.22du udx udy udz,xyz例3 求函数 z cos( x 2 y),当x , y ,6x 0.1, y 0.1 时的全微分.zz解 Q x sin( x 2 y), y 2sin( x 2 y), dz z x z yx ( , )y ( , )66 1 0.1 1 0.1 0.05.2例2 计算z exy在点(2, 1)处的全微分.zxyz解 Q ye , xexy ,xy z e2 , z 2e2 ,x (2,1)y (2,1) dz e2dx 2e2dy.偏导数

5、存在偏导数连续可微连续全微分的定义可推广到三元及三元以上函数u f ( x, y, z),du udx udy udz,xyzx y x y(x)2 (y)2 limlim(x,y )(0,0) (x)2 (y)2 (x,y )(0,0)Q 上述极限不存在， z f ( x, y)在(0,0)处不可微.定理对于 z f ( x, y), 若z , z 在点( x, y)处连续,x y则z f ( x, y)在点( x, y)处可微.偏导数与可微的关系例1xy x2 y2 022z f ( x, y) x y.0 x2 y2 0f x (0,0) lim f (x,0) f (0,0) 0,f y (0,0) 0,x0 x z f (0,0) x f (0,0) y x yxy(x)2 (y)23例5求（0.98）2.03 的近似值.解z f ( x, y) x yx0 1,x 0.02, y0 2,y 0.03,f x ( x, y) yx y1f x (1, 2) 2f y ( x, y) x y ln xf y (1, 2) 0（0.98）2.03 1 2 (0.02) 0 0.96近似计算公式Q z dz o( )当| x |，| y | 比较小时， z dzz f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )dz f x