九年级数学相似三角形的判定(教师版)知识点详细答案

1、让更多的孩子得到更好的教育相似三角形的判定【学习目标】1、了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法；2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似三角形在和中，如果我们就说与相似，记作.k就是它们的相似比，“”读作“相似于”.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即，则说明点A的对应点是A，点B的对应点是B，点C的对应点是C；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两

2、个三角形全等.要点二、相似三角形的判定定理：1判定方法（一）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.：2判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.3判定方法（三）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.4判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即

3、可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：让更多的孩子得到更好的教育【典型例题】类型一、相似三角形1.下列能够相似的一组三角形为().A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形【答案】C【解析】A中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；B中什么条件都不满足；D中只有一条对应边的比相等；C中所有三角形都是由90、45、45角组成的三角形，且对应边的比也相等.答案选C.举一反三：下列图形中，必是相似形的是（）A都有一个角是40的两个等腰三角形B都有一个角为50的两个等

4、腰梯形C都有一个角是30的两个菱形D邻边之比为2：3的两个平行四边形【答案】C类型二、相似三角形的判定2.如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.【答案】四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ADBC，BEFCDF，BEFAED.BEFCDFAED.当BEFCDF时，相似比当BEFAED时，相似比当CDFAED时，相似比让更多的孩子得到更好的教育；.3.梯形ABCD中，ABCD，AB=2CD，E、F分别为AB、BC的中点，EF与BD交于M（eqoac(,1)）求证：EDMFBM；（2）若DB=9，求MB的长【答案

5、】（1）证明：为AB中点，又，四边形BCDE是平行四边形，EDMFBM（2）解：由（1）知，又，4.已知：如图，ABC中，ABAC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CFAB，延长BP交AC于E，交CF于F求证：BP2PEPF【答案】连接，是的中垂线，又，让更多的孩子得到更好的教育，举一反三：1、如图，AD、CE是ABC的高，AD和CE相交于点F，求证：AFFD=CFFEAF求证：DE【答案】AD、CE是ABC的高,AEF=CDF=90,又AFE=CFE,AEFCDF.EF,即AFFD=CFFECFFD2、如图，F是ABC的AC边上一点，D为CB延长线一点，且AF=BD,连接DF,交AB于E.

6、AC.EFBCDEDE【答案】过点F作FGBC,交AB于G.则DBEFGEAGFABCDB,EFGF又AF=BD,AF.EFGFAGFABC让更多的孩子得到更好的教育AFAC,GFBCDEAC即.EFBC3、已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点求证：ADQQCP【答案】在正方形ABCD中，Q是CD的中点，=2=3，=4,又BC=2DQ，=2,在ADQ和QCP中，ADQQCP4、如图，弦和弦=，C=D=90，相交于内一点，求证：.【答案】连接在，中，.，。.4、如图，小正方形边长均为1，则图中的三角形（阴影部分）与相似的是哪一个？让更多的孩子得到更好的教育图

7、（1）图（2）图（3）图（4）【答案】图中的三角形为格点三角形，可根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度的比是否相等来判断哪两个三角形相似由勾股定理知，图（1）中，三角形的三边长分别为1，图（2）中，三角形的三边长分别为1，图（3）中，三角形的三边长分别为，3图（4）中，三角形的三边长分别为2，由于，故图（2）中的三角形和相似5、如图，正方形ABCD和等腰Rt，其中（1）求证：（2）若，求，G是CD与EF的交点的值【答案】（1）证明：四边形ABCD是正方形，是等腰直角三角形，（2）解：在中，DE=BF=4，DEC=BFC=90.EDC+DCE=90，FCD+DCE=90.让更多的孩

8、子得到更好的教育EDC=FCD.,【巩固练习一】一、选择题1.下列判断中正确的是().A.全等三角形不一定是相似三角形B.不全等的三角形一定不是相似三角形C.不相似的三角形一定不全等D.相似三角形一定不是全等三角形eqoac(,2)已知ABC的三边长分别为、2,ABC的两边长分别是1和,如果ABC与ABC相似,那么ABC的第三边长应该是().A.B.C.D.3如图，在大小为44的正方形网格中，是相似三角形的是（）A和B和C和D和eqoac(,4.)在ABC和DEF中，A=35，B=100，D=35，F=45；AB=3cm，BC=5cm，B=50，DE=6cm，DF=10cm，D=50；其中能使

9、ABC与以D、E、F为顶点的三角形相似的条件().A.只有B.只有C.和分别都是D.和都不是5在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若AEF90，则一定有（）.AADEAEFBECFAEFCADEECFDAEFABF6.如图所示在平行四边形ABCD中，EFAB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为().A.B.8C.10D.16让更多的孩子得到更好的教育二、填空题7.如图所示，D、E两点分别在AB、AC上，且DE和BC不平行，请你填上一个你认为合适的条件_使ADEACB.8如图所示，C=E=90，AD=10，DE=8，AB=5，则AC=_.9.如图所示，在直角坐标系中有两点A(

10、4，0)，B(0，2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为_或_时，使得由点B、O、C组成的三角形与AOB相似(至少找出两个满足条件的点的坐标).10.如图，已知ABBD，EDBD，C是线段BD的中点，且ACCE，ED=1，BD=4，那么AB=_.11.如图，CDAB，AC、BD相交于点O,点E、F分别在AC、BD上，且EFAB,则图中与OEF相似的三角形为_.12如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE交CD于点F,则图中相似三角形共有_对.让更多的孩子得到更好的教育三解答题13.如图，在ABC中，DEBC，AD3，AE2，BD4，求的值及AC、EC的长度1

11、4.如图在梯形ABCD中，ADBC，A90，且，求证：BDCD15.已知在eqoac(,Rt)ABC中，C=90，AB=10，BC=6.在eqoac(,Rt)EDF中，F=90，DF=3，EF=4，则ABC和EDF相似吗？为什么？【答案与解析】一选择题1.【答案】C.2.【答案】A.【解析】根据三边对应成比例，可以确定13第三边=262，所以第三边是3.【答案】C.【解析】设方格边长为1，求出每个三角形的各边长，运用三边对应成比例的两个三角形相似的判定方法来确定相似三角形.让更多的孩子得到更好的教育4.【答案】C.5.【答案】C.【解析】AEF90,1+2=90，又D=C=90，3+2=90，

12、即1=eqoac(,3)，ADEECF.6.【答案】C.【解析】EFAB，CD=10，故选C.二.填空题7.【答案】ADE=C或AED=B或.【解析】据判定三角形相似的方法来找条件.8.【答案】3.【解析】C=E，CAB=EAD，ACBAED，BC=4，在eqoac(,Rt)ABC中，.9【答案】；.10.【答案】4.【解析】ABBD，EDBD，B=D=90，又ACCE，BCA+DCE=90，BCA=eqoac(,E,)ABCCDE.C是线段BD的中点，ED=1，BD=4BC=CD=2ABCDCDDE,即AB=4.11.【答案】OAB,OCD.12.【答案】3.【解析】平行四边形ABCD，AD

13、BE.ABCDEFCEAB;EFCAFD;AFDEAB.三综合题13.【解析】DEeqoac(,BC)，ADEABC，AC，ECACAE14.【解析】ADBC，ADBDBC，又，ABDDCB，ABDC，A90，BDC90，BDCD15.【解析】已知ABC和EDF都是直角三角形，且已知两边长，所以可利用勾股定理分别求出第三边AC和DE，再看三边是否对应成比例.在eqoac(,Rt)ABC中，AB=10，BC=6，C=90.由勾股定理得在eqoac(,Rt)DEF中，DF=3，EF=4，F=90.让更多的孩子得到更好的教育.由勾股定理，得在ABC和EDF中，.，ABCEDF(三边对应成比例，两三角

14、形相似).【巩固练习二】一、选择题3eqoac(,5)1.已知eqoac(,A)1B1C1与eqoac(,A)2B2C2的相似比为4：，A2B2C2与A3B3C3的相似比为4：，则A1B1C1与eqoac(,A)3B3C3的相似比为().A.16：15B.15：16C.3：5D.16：15或15：162如图，P是RtABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P做直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，满足这样条件的直线共有（）.A1条B2条C3条D4条eqoac(,3.)如图，在ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE=BC的延长线于D，此时BC：CD为().A.2：1B.3：2C.3

15、：1D.5：2AB，连结EM并延长，交E4.如图，在平行四边形ABCD中，是AD上的一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论中错误的是（）.AAEFDECBFACDAEBCCFAABFEECDABDC让更多的孩子得到更好的教育5如图，在eqoac(,Rt)ABC中，C90，CDAB，垂足为D，则图中相似三角形有（）A4对B3对C2对D1对6.如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出ABP与ECP相似的是().A.APB=EPCB.APE=90C.P是BC的中点D.BP：BC=2：3二、填空题7.如图,1=2=3,则图中与CDE相似三角形是_和

16、_.8.如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，CPDAB，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有_对.9.如图，是正方形ABCD的外接圆，点F是AB的中点，CF的延长线交CF:EF的值是_.于点E,则让更多的孩子得到更好的教育10.如图，点M在BC上，点N在AM上，CM=CN,AMBMANCMeqoac(,)则ABMACB,ANCAMB,ANCACM,CMNBCA中正确的有_.11.如图，在平行四边形ABCD中，M,N为AB的三等分点，DM,DN分别交AC于P,Q两点，则AP：PQ:QC=_.12.如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB,MN=1.线段MN的两端在CB,C

17、D边上滑动，当CM=_时，AED与以M、N、C为顶点的三角形相似.三、解答题13.如图，和都是等边三角形，且B、C、D共线，BE分别和AC、AD相交于点M、G，CE和AD相交于点N求证：（1）CG平分（2）让更多的孩子得到更好的教育14.如图，ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BDCE，AD与BE相交于点F（eqoac(,1)）试说明ABDBCE；（eqoac(,2)）EAF与EBA相似吗？说说你的理由15.已知点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上.以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点.(1)如图，如果AP=2PB，PB=BO.求证：CAOBCO；(2)如果A

18、P=m(m是常数，且)，BP=1，OP是OA、OB的比例中项.当点C在圆O上运动时，求的值(结果用含m的式子表示)；(3)在(2)的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值范围.【答案与解析】一选择题1.【答案】A.即AP=1让更多的孩子得到更好的教育2.【答案】C.【解析】分别是过点P做AB,AC,BC的垂线.3.【答案】A.【解析】如图，做CNAB,交ED于点N,M是AC边中点eqoac(,)AEMCNM,即CN=AE,AE=AB，AE:BE=1:3，即CN:BE=1:3.CNeqoac(,AB)，DCNDBE,即CD:BD=CN:BE=1:3,CD

19、:BC=1:2.4.【答案】B.5.【答案】B.【解析】ABCACD;ABCCBD;CBDACD.6.【答案】C.【解析】当P是BC的中点时，EPC为等腰直角三角形.二.填空题eqoac(,7.)【答案】CEA、CAB.8.【答案】3对.【解析】由CPDAeqoac(,B)，得CPFCBP，DPGDAP，得CPBCFP，则APGBFP，得APGBFP，有3对.9【答案】5：1.【解析】如图，连接AE,则AEFCBF,点F是AB的中点,正方形ABCD,EF:AE=BF:BC=1:2.设EF=K,则AE=2K,AF=5K,即BF=5K,BC=25K，CF=5K.CF:EF=5:1.10.【答案】.11.【答案】5:3:12.【解析】平行四边形ABCD,M,N为AB的三等分点AM:CD=AP:PC=1:3，AN:CD=AQ:QC=2: