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1、 第4章 重积分4.4 三重积分的计算关于投影曲线C:如果可以表示为柱面与某曲面的交线,则C 在 xoy 面的投影为关于二次曲面1.椭球面横截面与椭球面交线横截面积体积2.椭圆抛物面特例:旋转抛物面由抛物线绕 z 轴旋转得到.3.特点:原点是驻点,但不是极值点.双曲抛物面(马鞍面)4.横截线: 椭圆. z=0 时椭圆“最小”.单叶双曲面5.双叶双曲面6.一条空间曲线 l 向曲线外一点引的射线形成的.圆锥面锥面4.4 三重积分的计算4.4.1 三重积分在直角坐标系下的计算三重积分的定义: 以任意方式 任取 作和式若时, 有极限, 是一有界闭区域,设是定义在上的函数, 分割 成若干小区域:其中表示

2、的体积.记则称在上Riemann可积, 记极限值称为f 在上的三重积分. 记直角坐标系下的两种积分办法： (1)“竖着分条”: “箍住”(以投影的边界为准线), 用“小柱面”将区域分为“竖条”, 以柱面将区域小条在xy面投影为 三重积分区域示意图：(2)“横着分片”: 将区域用平行于xy面的平面 分成“片”, 记横截面在xy面的的投影为 每片再分成小片。 三重积分区域示意图：例6 计算下列三重积分. (1) 围成. 解:积分区域？ (2) 解：积分区域如图： 是4.4.2 三重积分在柱、球坐标系下的计算柱坐标系下与直角坐标相似， 只是“二重积分” 采用极坐标系！ 例7 计算下列三重积分. (1

3、) 解：积分区域简图？ (2) 解:积分区域简图: 球坐标系中 表示点,与直角坐标的关系: 球坐标系下体积元： =常数表示球面;=常数表示半平面;=常数表示(半)圆锥面.(2) 是区域积分区域？积分区域如图：例8 在球坐标系下化(1) 为累次积分. 是球域(3) 区域积分区域如图：区域分割122例8 用球坐标系计算下列三重积分.(1) 解：积分区域？ 半径为1/2的球体.中心在(0,0,1/2)，(2) 解：累次积分的积分区域？ 球坐标系下， 数学名家介绍 (七) 哈密顿(Hamilton, Sir William Rowam, 1805.8.4-1865.9.2) 爱尔兰数学家、物理学家和力学家。生于都柏林，卒于同地。1823年入都柏林三一学院学习。1827年任三一学院天文学教授，并获爱尔兰皇家天文学家称号。1835年受封爵位。1837年当选为爱尔兰皇家科学院院长。他还是法国科学院、美国科学院院士、彼得堡科学院通讯院士和英国皇家学会会员。数学上他的主要贡献是1843年发现了“四元数”，并建立了其运算法则。他还在微分方程和泛函分析方面取得了成就。他的论

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