大二下代组往年期末考题

1、一、（15 分）设 R 是环，且对 ，都满足2 = . 证明：（1） 对 ，都有 + = 0；（2） R 是交换环。证明（1） ，有 + = ( + )( + ) = 2 + 2 + 2 + 2 = + + + 因此， + = 0.（2）, ，有( + )2 = + ，于是有2 + + + 2 = + ，从而 + + + = + .因此， + = 0. 而由（1）得， + = 0. 故由的唯一性知， = , 即 R 是交换环。二、（10 分）设 f 是格1, 到格2, 的同态。证明：对任意, 1，若 ，则() (b).证：由 a b 得 ab = a，于是 f ( ab ) = f(a)，即f

2、(a) f(b) = f(a)，故 f(a) f(b).得分得分三、（15 分）求解递推方程： 21 = + 3,0 = 0.*n解：设特解为 an = P1nP2 + P33 ，代入得+(P1n+P2+P33 )2P (n1)+P +P 3 nn1123= n+3nP1n+(2P1P2)+P33 =n1n+3n1,2,P1 =P2 =an=P3 =3c2n n2 +3n+1解得 c1，an=2n n2 +3n+1=四、（10 分）用恰好 k 种可能的颜色做旗子，使得每面旗子由( )，且相邻的两条彩带的颜色都不相n 条彩带同，求不同的旗子数，并给出证明。解： 不同的旗子数为! 1 1 可以用数

3、学归纳法证明。当n=1 时，必有 k=1，此时有! 1 = 1! 1 1 = 1，命题为真。 1 1 1假设对一切 n, k 命题为真，考虑 n+1 条，k 色的涂色方案。用 k 种颜色涂色前 n 条，最后一条有 k-1 种选择，方法数为! 1 ( 1). 1 用 k-1 种颜色涂色前 n 条，选择颜色的方式为 k，涂颜色的方法为( 1)! 1. 根据加法法则，总方法数为 2 ! 1 ( 1) + ( 1)! 1 = ! . 1 1 故命题成立。 2 得分得分五、（15 分）设三角形 ABC 的边长都是正整数。两个三角形如果对应的边长不等，则认为是不同的三角形。问周长为2n+1（n0）的不同的

4、三角形有多少个？解 相当于以下方程的解 13k, j k ,2,3xn 13i0 x n ,ii3方法 I: 使用生成函数，计算生成函数(y + 2 + 3 + + )3中2+1的系数，该系数= 1 + 2 + + n = (+1).2方法 II:不考虑对 xi 的限制，方法数为 2n 1 3 1 2n 3N1 (2n 3)(n )12n 12如果某个 xi 大于等于 n+1, (包含了某个 xj 等于 0 的情况在内)数等于方程这种方法 n3 x N i n 3 1 n 2(n 2)(n )1的解的个数，即 N2 n22故 N N 3N 1 n(n 1)122得分六、（10 分） + 个人排

5、队买票，并且满足 ，票价为 50 元，其中 n 个人各手持一张 50 元钞票，m 个人各手持一张 100 元钞票，除此之外大家身上没有任何其他的钱币，并且初始时候售票窗口没有钱。如果不考虑人与人的差异，问有多少种排队的情况数能让大家都买到票。解 不考虑人与人的差异，如果 m=n 的话那么就是初始的 Catalan 数问题，也就是将手持 50 元的人看成是+1，手持 100 元的人看成是-1，任前 k 个数值的和都非负的序列数，即 1 (2)。+1 当 nm 时，假设要的情况数是+，无法让每个人都买到的情况数是+，那么就有+ + + = (+)，此时求+，假设最早买不到票的人是 k，他手持的是

6、100 元并且售票处没有钱，那么将前 k 个人的钱从 50 元变成 100 元，从 100 元变成 50 元，这时候就有 n+1 个人手持 50 元，m-1 个手持 100 元的。因为“无法让每个人都买到的情况”与“n+1 个人手持 50 元，m-1 个手持 100 元”之间是一一对应的关系，所以就得到+ = (+)，于是+ = (+) (+)。+1+1七、（15 分） 设 G 是 n 阶群，G 的全体自同构作成的群记作Aut(G)，证明 Aut(G) 的阶是 (n-1)! 的因子。证明 记 H = G1，容易验证 H 上的所有 1-1的集合 S 关于的又任取 fAut(G) ， 有作成一个群 ，其阶 |S|=(n-1)!.f(1)=1,f(H)=H. 设 S=f S |f(ab)=f(a)f(b), a,bH, 易证Aut(G)与S等势, 且S S。故根据Lagrange 定理知，|Aut(G)|S|，即结论成立。得分得分八、（10 分）已知单群的概念如下：阶数大于 1 且只有平凡正规子群的群称为单群。求证：有限交换群 G 是单群当且仅当它是素数阶的循环群。证明首先，素数阶的循环群一定是单群。| G | n 1。a G 且 a e ，若反之，设G 是一个有限交换| a | n ，由于G 是交换群，所以由a 生成的子群 a 是G 的一个