2019-2020年高三上学期学情调研考试数学试题-含答案

1、2019-2020年高三上学期学情调研考试数学试题 含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1.已知全集 SKIPIF 1 0 ,集合 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 ,则 SKIPIF 1 0 = .2.已知复数 SKIPIF 1 0 的实部为 SKIPIF 1 0 ,虚部为 SKIPIF 1 0 ,则 SKIPIF 1 0 ( SKIPIF 1 0 为虚数单位)的模为 .3.某学校为了解该校1200名男生的百米成绩（单位：秒），随机选择了50名学生进行调查.下图是这50名学生百米成绩的频率分布直方图.根据样

2、本的频率分布,估计这1200名学生中成绩在 SKIPIF 1 0 （单位：秒）内的人数大约是 . 4.已知 SKIPIF 1 0 张卡片（大小,形状都相同）上分别写有 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 ,从中任取两张,则这两张卡片中最大号码是3的概率为 .5.按如图所示的流程图运算,则输出的 SKIPIF 1 0 . 6.已知向量 SKIPIF 1 0 , 若 SKIPIF 1 0 ,则实数 SKIPIF 1 0 = .7.已知数列 SKIPIF 1 0 成等差数列,其前 SKIPIF 1 0 项和为 SKIPIF 1 0 ,若

3、 SKIPIF 1 0 ,则 SKIPIF 1 0 的余弦值为 .8.设 SKIPIF 1 0 为两个不重合的平面， SKIPIF 1 0 为两条不重合的直线，现给出下列四个命题：若 SKIPIF 1 0 ,则 SKIPIF 1 0 ；若 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ；若 SKIPIF 1 0 则 SKIPIF 1 0 ；若 SKIPIF 1 0 则 SKIPIF 1 0 .其中,所有真命题的序号是 .9.已知函数 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 ,则

4、函数 SKIPIF 1 0 的图象在 SKIPIF 1 0 处的切线方程为 .10.在 SKIPIF 1 0 中, SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 ,则 SKIPIF 1 0 的面积为 .11.已知椭圆 SKIPIF 1 0 和圆 SKIPIF 1 0 ,若 SKIPIF 1 0 上存在点 SKIPIF 1 0 ,使得过点 SKIPIF 1 0 引圆 SKIPIF 1 0 的两条切线,切点分别为 SKIPIF 1 0 ,满足 SKIPIF 1 0 ,则椭圆 SKIPIF 1 0 的离心率的取值范围是 .12.设 SKIPIF 1 0 ,其中 SKIPIF 1 0 为过点 SKI

5、PIF 1 0 的直线 SKIPIF 1 0 的倾斜角,若当 SKIPIF 1 0 最大时,直线 SKIPIF 1 0 恰好与圆 SKIPIF 1 0 相切,则 SKIPIF 1 0 . 13.已知函数 SKIPIF 1 0 恰有两个不同的零点,则实数 SKIPIF 1 0 的取值范围是 .14.已知对于任意的实数 SKIPIF 1 0 ,恒有“当 SKIPIF 1 0 时,都存在 SKIPIF 1 0 满足方程 SKIPIF 1 0 ”,则实数 SKIPIF 1 0 的取值构成的集合为 .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的

6、指定区域内.15(本小题满分14分)已知角 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的内角， SKIPIF 1 0 分别是其对边长，向量 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 . (1)求角 SKIPIF 1 0 的大小； (2)若 SKIPIF 1 0 ,求 SKIPIF 1 0 的长.16(本小题满分14分)如图，在四面体 SKIPIF 1 0 中, SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的中点(1)求证: SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；

7、(2)设 SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 的重心, SKIPIF 1 0 是线段 SKIPIF 1 0 上一点,且 SKIPIF 1 0 .求证: SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 .17(本小题满分14分)如图,有三个生活小区(均可看成点)分别位于 SKIPIF 1 0 三点处, SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 到线段 SKIPIF 1 0 的距离 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 (参考数据: SKIPIF 1 0 ). 今计划建一个生活垃圾中转站 SKIPIF 1 0 ,为方便运输, SKIPIF 1 0 准备建在线段 SKI

8、PIF 1 0 (不含端点)上. 设 SKIPIF 1 0 ,试将 SKIPIF 1 0 到三个小区距离的最远者 SKIPIF 1 0 表示为 SKIPIF 1 0 的函数,并求 SKIPIF 1 0 的最小值；设 SKIPIF 1 0 ,试将 SKIPIF 1 0 到三个小区的距离之和 SKIPIF 1 0 表示为 SKIPIF 1 0 的函数,并确定当 SKIPIF 1 0 取何值时,可使 SKIPIF 1 0 最小?18(本小题满分16分)如图, SKIPIF 1 0 是椭圆 SKIPIF 1 0 的左、右顶点,椭圆 SKIPIF 1 0 的离心率为 SKIPIF 1 0 ,右准线 SK

9、IPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 . (1)求椭圆方程； (2)设 SKIPIF 1 0 是椭圆 SKIPIF 1 0 上异于 SKIPIF 1 0 的一点,直线 SKIPIF 1 0 交 SKIPIF 1 0 于点 SKIPIF 1 0 ,以 SKIPIF 1 0 为直径的圆记为 SKIPIF 1 0 . 若 SKIPIF 1 0 恰好是椭圆 SKIPIF 1 0 的上顶点,求 SKIPIF 1 0 截直线 SKIPIF 1 0 所得的弦长;设 SKIPIF 1 0 与直线 SKIPIF 1 0 交于点 SKIPIF 1 0 ,试证明:直线 SKIPIF 1 0 与 SKIP

10、IF 1 0 轴的交点 SKIPIF 1 0 为定点,并求该定点的坐标.19(本小题满分16分)已知数列 SKIPIF 1 0 是等差数列,数列 SKIPIF 1 0 是等比数列,且对任意的 SKIPIF 1 0 ,都有 SKIPIF 1 0 . (1)若 SKIPIF 1 0 的首项为4,公比为2,求数列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 项和 SKIPIF 1 0 ; (2)若 SKIPIF 1 0 . 求数列 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 的通项公式;试探究:数列 SKIPIF 1 0 中是否存在某一项,它可以表示为该数列中其它 SKIPIF 1 0 项

11、的和？若存在,请求出该项；若不存在,请说明理由20(本小题满分16分) MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 1 Section 1 SEQ MTEqn r h * MERGEFORMAT SEQ MTSec r 1 h * MERGEFORMAT SEQ MTChap r 1 h * MERGEFORMAT 已知函数 SKIPIF 1 0 ,其中 SKIPIF 1 0 .当 SKIPIF 1 0 时,求函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 处的切线方程;若函数 SKIPIF 1 0 在区间(1,2)上不是单调函

12、数,试求 SKIPIF 1 0 的取值范围;已知 SKIPIF 1 0 ,如果存在 SKIPIF 1 0 ,使得函数 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 处取得最小值,试求 SKIPIF 1 0 的最大值.高三年级学情调研考试数学附加试题 (总分40分，考试时间30分钟)21选做题 在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.A.（选修41：几何证明选讲）在直角三角形 SKIPIF 1 0 中, SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 边上的高, SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 , SK

13、IPIF 1 0 分别为垂足,求证： SKIPIF 1 0 .B（选修42：矩阵与变换）已知曲线 SKIPIF 1 0 ,现将曲线 SKIPIF 1 0 绕坐标原点逆时针旋转 SKIPIF 1 0 ,求所得曲线 SKIPIF 1 0 的方程.C（选修44：坐标系与参数方程）在极坐标系中,已知圆 SKIPIF 1 0 的圆心坐标为 SKIPIF 1 0 ,半径为 SKIPIF 1 0 ,试写出圆 SKIPIF 1 0 的极坐标方程.D.（选修45：不等式选讲）已知 SKIPIF 1 0 为正数，求证： SKIPIF 1 0 .必做题 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指

14、定区域内.22.如图,在四棱锥 SKIPIF 1 0 中, SKIPIF 1 0 底面 SKIPIF 1 0 ,底面 SKIPIF 1 0 为梯形, SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 ,点 SKIPIF 1 0 在棱 SKIPIF 1 0 上,且 SKIPIF 1 0 (1)求证：平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；(2)求平面 SKIPIF 1 0 和平面 SKIPIF 1 0 所成锐二面角的余弦值23.已知数列 SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ,试证明: (1)当 SKIPIF 1 0 时,有 SKIPIF 1

15、 0 ；(2) SKIPIF 1 0 .2013届高三年级学情调研考试数学参考答案又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ,则由正弦定理,得 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 ,即 SKIPIF 1 0 4 14分16证明:(1)由 SKIPIF 1 0 3分同理， SKIPIF 1 0 ,又 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 7分(2)连接AG并延长交CD于点O,连接EO.因为G为 SKIPIF 1 0 的重心,所以 SKIPIF 1 0 ,又 SKIPIF 1 0 ,所

16、以 SKIPIF 1 0 11分又 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 ,所以 SKIPIF 1 0 平面11分因为,令,即,从而,当 SKIPIF 1 0 时,;当 SKIPIF 1 0 时, . SKIPIF 1 0 6分 又直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ,故圆心到直线 SKIPIF 1 0 的距离为 SKIPIF 1 0 8分 从而 SKIPIF 1 0 截直线 SKIPIF 1 0 所得的弦长为 SKIPIF 1 0 10分 证:设 SKIPIF 1 0 ,则直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 ,则点P的坐标为 SKIP

17、IF 1 0 , 又直线 SKIPIF 1 0 的斜率为 SKIPIF 1 0 ,而 SKIPIF 1 0 ,所以 SKIPIF 1 0 , 从而直线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 13分 令 SKIPIF 1 0 ,得点R的横坐标为 SKIPIF 1 0 14分 又点M在椭圆上,所以 SKIPIF 1 0 ,即 SKIPIF 1 0 ,故 SKIPIF 1 0 , 所以直线 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 轴的交点 SKIPIF 1 0 为定点,且该定点的坐标为 SKIPIF 1 0 16分19.解: (1)因为 SKIPIF 1 0 ,所以当 SKI

18、PIF 1 0 时, SKIPIF 1 0 ,两式相减,得 SKIPIF 1 0 ,而当 SKIPIF 1 0 时, SKIPIF 1 0 ,适合上式,从而 SKIPIF 1 0 3分又因为 SKIPIF 1 0 是首项为4,公比为2的等比数列,即 SKIPIF 1 0 ,所以 SKIPIF 1 0 4分从而数列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 项和 SKIPIF 1 0 6分(2)设 SKIPIF 1 0 ,则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ,所以 SKIPIF 1 0 ,设 SKIPIF 1 0 的公比为 SKIPIF 1 0 ,则 SKIPIF 1 0 对

19、任意的 SKIPIF 1 0 恒成立 8分即 SKIPIF 1 0 对任意的 SKIPIF 1 0 恒成立,又 SKIPIF 1 0 ,故 SKIPIF 1 0 ,且 SKIPIF 1 0 10分从而 SKIPIF 1 0 11分假设数列 SKIPIF 1 0 中第k项可以表示为该数列中其它 SKIPIF 1 0 项 SKIPIF 1 0 的和,即 SKIPIF 1 0 ,从而 SKIPIF 1 0 ,易知 SKIPIF 1 0 (*)13分又 SKIPIF 1 0 ,所以 SKIPIF 1 0 ,此与(*)矛盾,从而这样的项不存在16分20解:(1)当 SKIPIF 1 0 时, SKIPI

20、F 1 0 ,则 SKIPIF 1 0 ,故 SKIPIF 1 0 2分又切点为 SKIPIF 1 0 ,故所求切线方程为 SKIPIF 1 0 ,即 SKIPIF 1 0 4分(2)由题意知, SKIPIF 1 0 在区间(1,2)上有不重复的零点,由 SKIPIF 1 0 ,得 SKIPIF 1 0 ,因为 SKIPIF 1 0 ,所以 SKIPIF 1 0 7分令 SKIPIF 1 0 ,则 SKIPIF 1 0 ,故 SKIPIF 1 0 在区间(1,2)上是增函数,所以其值域为 SKIPIF 1 0 ,从而 SKIPIF 1 0 的取值范围是 SKIPIF 1 0 9分 (3) SKIPIF 1 0 , 由题意知 SKIPIF 1 0 对 SKIPIF 1 0 恒成立,即 SKIPIF 1 0 对 SKIPIF 1 0 恒成立,即 SKIPIF 1 0 对 SKIPIF 1 0 恒成立 11分 当 SKIPIF 1 0 时,式显然成立; 当 SKIPIF 1 0 时,式可化为 SKIPIF 1 0 , 令 SKIPIF 1 0 ,则其图象是开口向下的抛物线,所以