初四二次函数的应用解答题

1、初四二次函数的应用解答题一解答题（共 18 小题）1某品牌装卖店准备销售男女两款 T 恤，进价都是 30 元，并以相同的销售价 x（元）进行销售，其中 50 x120经市场发现：女款 T 恤的定价为 50 元时，月销售量为 120 件；售价不超过 90 元时，价格每上涨 1 元，销售量减少 1 件；销售价不低于 90 元时，超过 90元的部分每上涨 1 元，销售量减少 2 件；设该品牌专卖店销售女款 T 恤的月利润为 y（1销售男款 T 恤月利润为 y2（元），销售这两款 T 恤的月利润总和为 y（元）当 x=90 时，女款 T 恤的月销量为件；当 50 x90 时 女款 T 恤的月销量为件（

2、用含 x 的代数式表示）；当 90 x120 时 女款 T 恤的月销量为件（用含 x 的代数式表示）；若女款T 恤的月销售量为 100 件，售价为多少元？求 y1 与x 的函数关系式；元），（4）若男款T 恤月利润 y2 与x 的函数关系式为：y2=20 x，求销售这款 T 恤的月销售利润总和y 与x 的函数关系式；该专卖店经理应如何定价，才能使每月获得的月收益 y 最大？说明理由2某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施经元，商场平均每天可多售出 2 件40 元，为了扩大销售，增发现，如果每件衬衫降价 1求商场降价后每天当降价多少

3、元时，每天y（元）与降价 x（元）的函数关系式；最大，最大多少元？3某书店销售儿童书刊，一天可出售 20 套，每套40 元为了扩大销售，增加，尽快减少库存，书店决定采取降价措施若一套书每降价 2 元，则平均每天可以多销售 4套（1）当降价多少元时，该书店可获得最大利润？（2）若书店每天4九（1）班数学1200 元，则降价了多少元？小组经过市场，得知某种商品的进价为每件 30 元，在第 25 天中销量为 150 件，在第 55 天中销量为 90 件，销量 y（件）与销售第x 天成一次函数关系，设该商品每天利润为w 元，并且整理出销售过程中第 x（1x90）天与售价的关系信息如表求出 y 与 x

4、的函数关系式；求出w 与 x 的函数关系式；请说明销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（4）请说明该商品在销售过程有多少天每天销售利润不低于 4800 元？5一辆汽车刹车后行驶的路程S（m）与行驶时间 t（s）函数关系式为 S=9t t2，求汽车刹车后能行驶多远？并画出其图象6某通讯器材公司销售一种市场需求量较大的新型通讯产品已知每件产品的进价为 30元，试销时，物价部门规定，每件产品的销售价不低于进价，且获利不得超过其进价为了解这种产品的年销售量 y（万件）与实际售价x（元/件）之间的关系，试销一段时间后，部门把试销情况成下表：销售单价 x（元/件）4050607080时间

5、 x1x5050 x90售价（元/件）x+4090观察并分析表中的 y 与 x 之间的对应关系，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出y（万件）与 x（元/件）的函数关系式，并写出自变量的取值范围；此外，销售该产品的总开支 z（万元）（不含进价）与年销售量 y（万件）存在如下的函数关系：z=10y+400；该公司销售这种产品的年利润为 P（万元），求 P 与x 之间的函数关系式（注：年利润=年销售额成本总开支）；求该公司销售这种产品的年利润最多是多少万元7某商场购进一批单价为 40 元的服装，要求每件获利不低于购进单价的 25%，如果按每件 60 元出售，那么每周可销售 400

6、 件，经过一段时间的销售发现：这种服装的销售单价每提高 5 元，其每周销售量相应减少 50 件直接写出每周销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的函数表达式；求每周销售利润 w（元）与销售单价 x 之间的函数表达式，并确定当销售单价在什么范围内，每周销售利润随销售单价的增大而增大？（3）由于过 10000 元，请你求出在这周转问题，商场每周购进该种服装的货款种情况下商场销售该服装每周所能获得的最大利润8行驶中的汽车在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号汽车的刹车性能车速不超过 140 千米/时，对这种汽车进试，数据如下表：1y 是

7、 x 的函数，估计函数的类型，并求出式；2该型号汽车在国道上发生一次交通事故，现场测得刹车距离为 46.5 米，请推测刹车时的车速是多少？请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？9如图，抛物线 y= x2+2x6 的图象，与 x 轴交于 A、B 两点，点 A 在点 B 的左边，与 y轴交于点 C，点D 为抛物线的顶点求ABC 的面积；点 P 是直线 AC 下方的抛物线上一动点不与点 A，C 重合，求过 P 作 x 轴的垂线交于 AC 于点 E，求线段 PE 的最大值及 P 点坐标；连接AD，在 y 轴上是否存在点 M，使得ADM 为直角三角形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在请

8、说明理由10父亲想用长为 80m 栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长 50m，设矩形 ABCD 的边 AB=xm，面积为 Sm2（1）写出S 与 x 的函数关系式，x 的取值范围；（2）当羊圈的长和宽分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？刹车时车速 x（km/h）010203040刹车距离 y（m）00.31.02.13.6年销售量 y（万件）605040302011手工课上，准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60cm，菱形的面积S（：cm2）随其中一条对角线的长 x（：cm）的变化而变化请直接写出S 与 x 之间的函数关系式（不要求

9、写出自变量x 的取值范围）；当 x 是多少时，菱形风筝面积S 最大？最大面积是多少？时，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）有最小（大）值（参考公式：当 x=）12一块三角形废料，A=30，C=90，BC=6用这块废料剪出一个平行四边形 AGEF，其中，点 G，E，F 分别在AB，BC，AC 上设 CE=x求 x=2 时，平行四边形AGEF 的面积当 x 为何值时，平行四边形 AGEF 的面积最大？最大面积是多少？13如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax2+bx+c 交x 轴于点A、B，交y 轴于点M，OA=3，tanAMO= ，OM=OB求抛物线的表达式；在第三象限内，点 P（

10、m，n）（m0，n0）在抛物线上，试用 m 的代数式表示PBM的面积；点 P 在什么位置时，PBM 的面积最大？求出这时点 P 的坐标14如图，抛物线 y=ax2+bx 过点 A（4，0），正方形 OABC 的边 BC 与抛物线的一个交点为 D，点D 的横坐标为 3，点 M 在y 轴负半轴上，直线 l 过点 D、M 两点且与抛物线的对称轴交于点H，tanOMD= （1）直接写出点 H 的坐标；（2）求抛物线的式；（3）如果点 Q 是抛物线对称轴上的一个动点，那么是否存在点Q，使得以点O、M、Q、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由15已知二次函数 y=x

11、22mx+m21（1）该抛物线与 y 轴交于点 C（0， ），顶点为 D，求点 D 的坐标（2）在（1）的条件下，x 轴是否存在一点 P，使得 PC+PD 最短？若 P 点存在，求出 P 点的坐标；若 P 点不存在，请说明理由16如图，在抛物线 y=x2 上取一点 P，在 x 轴上取一点 A，使 OP=PA，过点 A 作x 轴的垂线与直线OP 交于点 Q，当APQ 为正三角形时，试求APQ 的面积17抛物线 y=a（x2）2 的顶点A 在 x 轴上，开口向上，与 y 轴相交于 B 点，OA=OB求出 B 点的坐标；在抛物线上是否存在一点 C，使ABC 是直角三角形？若存在，求出 C 点坐标；若

12、不存在，请说明理由18如图，已知抛物线的顶点坐标为D（1，5），抛物线与 y 轴交于点 C（0，4），点 C 和点 E 关于对称轴对称（1）求抛物线的式；（2）在对称轴的右侧的抛物线上是否存在点 M，使得MDC 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由初四二次函数的应用解答题参考与试题一解答题（共 18 小题）1某品牌装卖店准备销售男女两款 T 恤，进价都是 30 元，并以相同的销售价 x（元）进行销售，其中 50 x120经市场发现：女款 T 恤的定价为 50 元时，月销售量为 120 件；售价不超过 90 元时，价格每上涨 1 元，销售量减少 1 件；销售价

13、不低于 90 元时，超过 90元的部分每上涨 1 元，销售量减少 2 件；设该品牌专卖店销售女款 T 恤的月利润为 y（1销售男款 T 恤月利润为 y2（元），销售这两款 T 恤的月利润总和为 y（元）（1）当 x=90 时，女款 T 恤的月销量为 80件；元），当 50 x90 时 女款 T 恤的月销量为 y=x+170件（用含 x 的代数式表示）； 当 90 x120 时 女款 T 恤的月销量为 y=2x+260件（用含 x 的代数式表示）；若女款T 恤的月销售量为 100 件，售价为多少元？求 y1 与x 的函数关系式；（4）若男款T 恤月利润 y2 与x 的函数关系式为：y2=20 x

14、，求销售这款 T 恤的月销售利润总和y 与x 的函数关系式；该专卖店经理应如何定价，才能使每月获得的月收益 y 最大？说明理由【考点】二次函数的应用【分析】（1）根据售价不超过 90 元时，价格每上涨 1 元，销售量减少 1 件，即可求得当50 x90 时当 90 x120 时的函数式，即可解题；（2）根据（1）中式将 y=100 代入，求得x 的值即可解题；（3）根据利润=销量每件次函数式，即可解题；，当 50 x90 时 当 90 x120 时，利润的二（4）分别对当 50 x90 时，当 90 x120 时，求得的二次函数值求最大值即可解题【解答】解：（1）售价不超过 90 元时，价格每

15、上涨 1 元，销售量减少 1 件，x=90 时，月销量为 80 件，故函数式为：当 50 x90 时，女款T 恤的月销量为y=x+170；当 90 x120 时，女款 T 恤的月销量为 y=2x+260；为 80，y=x+170，y=2x+260；故（2）当 100=x+170 时，解得：x=70，符合题意；当 100=2x+260 时，解得：x=80，不符合题意；故售价为 70 元；（3）利润=销量每件，x+170）=x2+200 x5100；当 50 x90 时，y1=（x30）（2x+260）=2x2+320 x7800；当 90 x120 时，y1=（x30）（4）y=y1+y2，当

16、50 x90 时，y=x2+200 x5100+20 x当 x=110 时，y 有最大值，50 x90，x=90 时有最大值为：9600 元，=x2+220 x2100，当 90 x120 时，y=2x2+320 x7800+20 x当 x=85 时，y 有最大值，90 x120，x=90 时有最大值为：9600 元=2x2+340 x4800，故专卖店经理应定价 90 元，能使每月获得的月收益y 最大【点评】本题考查了二次函数式的求解，考查了二次函数最大值的求解，本题中正确求得二次函数式是解题的关键2某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当

17、的降价措施经元，商场平均每天可多售出 2 件40 元，为了扩大销售，增发现，如果每件衬衫降价 1求商场降价后每天当降价多少元时，每天【考点】二次函数的应用y（元）与降价 x（元）的函数关系式；最大，最大多少元？【分析】认真阅读明确题意，抓住命题中给出的关键信息；（1）准确表示出每价 x 元后售出的数量，第一小问即可解决；（2）运用二次函数的性质即可解决第二小问【解答】解：（1）当每件衬衫降价 x 元时，每天可出售（2x+20）件，此时每件可x）元y=（40 x）（2x+20）=2x2+60 x+800（2）a=20，所以上述抛物线开口向下，函数有最大值（40当x=时，y 取得最大值，此时 y=

18、元【点评】考查了二次函数及其应用问题，是中学数学中的重要基础知识之一，是运用数学知识解决现实中的最值问题的常用方法和经典模型；应牢固掌握二次函数的性质3某书店销售儿童书刊，一天可出售 20 套，每套40 元为了扩大销售，增加，尽快减少库存，书店决定采取降价措施若一套书每降价 2 元，则平均每天可以多销售 4套（1）当降价多少元时，该书店可获得最大利润？（2）若书店每天1200 元，则降价了多少元？【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用【专题】销售问题【分析】（1）根据题意设出每价x 元以后，准确表示出每天书刊的销售量，列出利润 y关于降价 x 的函数关系式，运用函数的性质即可解决；（2）根

19、据题意列出关于 x 的一元二次方程，通过解方程即可解决问题【解答】解：（1）设每套书降价 x 元时，所获利润为y 元，则每天可出售 20+4 =20+2x 套；由题意得：y=（40 x）（20+2x）=2x2+80 x20 x+800=2x2+60 x+8002（x15）2=1200则当 x=15 时，y 取得最大值 1250；即当将价 15 元时，该书店可获得最大利润（2）当 y=1200 时，2（x15）2整理得：（x15）2=25，解得 x=10 或 20（不合题意舍去）=1200，则若书店每天1200 元，则降价了 10 元【点评】考查了二次函数及一元二次方程在现实生活中的应用问题；解

20、题的关键是准确列出二次函数式，灵活运用函数的性质解题4九（1）班数学小组经过市场，得知某种商品的进价为每件 30 元，在第 25 天中销量为 150 件，在第 55 天中销量为 90 件，销量 y（件）与销售第x 天成一次函数关系，设该商品每天利润为w 元，并且整理出销售过程中第 x（1x90）天与售价的关系信息如表求出 y 与 x 的函数关系式；求出w 与 x 的函数关系式；请说明销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（4）请说明该商品在销售过程有多少天每天销售利润不低于 4800 元？【考点】二次函数的应用【分析】（1）根据销量 y（件）与销售第 x 天成一次函数关系，即可

21、求得 y 与 x 的函数关系式；（2）根据单价乘以数量，利润，即可解题；（3）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，即可解题；（4）根据二次函数值大于或等于 4800，一次函数值大于或等于 48000，解不等式组，即可解题【解答】解“（1）在第 25 天中销量为 150 件，在第 55 天中销量为 90 件，销量y（件）与销售第 x 天成一次函数关系，不等式，根据设一次函数式为y=kx+b，将（25，150）和（55，90）代入 y=kx+b 得：k=2，b=200，y 与 x 的函数关系式为 y=2x+200；- ）=2x2+180 x+200，（2）当 1x50 时，y=

22、（2002x）（x当 50 x90 时，y=（2002x）（9030）=120 x，综上所述：y=；（3）当 1x50 时，二次函数开口下，二次函数对称轴为 x=45，当 x=45 时，y 最大=2452+18045当 50 x90 时，y 随 x 的增大而减小，当 x=50 时，y 最大=6000，=6050，综上所述，该商品第 45 天时，当天销售利润最大，最大利润是 6050 元时间 x1x5050 x90售价（元/件）x+4090（4）当 20 x60 时，即共 41 天，每天销售利润不低于 4800 元【点评】本题考查了一次函数式的求解，考查了二次函数式的求解，考查了二次函数的实际应

23、用，本题中正确求得函数式是解题的关键5一辆汽车刹车后行驶的路程S（m）与行驶时间 t（s）函数关系式为 S=9t t2，求汽车刹车后能行驶多远？并画出其图象【考点】二次函数的应用【分析】由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即S 的最大值把抛物线式化成顶点式后，即可解答列表、描点、连线即到图象【解答】解：依题意：该函数关系式化简为S=，当 t=9 时，汽车停下来，滑行了m故汽车刹车后能行驶米【点评】此题主要考查了利用配方法求最值的关键是：列表，描点，连线，根据已知得出顶点式是解题关键画图6某通讯器材公司销售一种市场需求量较大的新型通讯产品已知每件产品的进价为 30元，试销时，物价部

24、门规定，每件产品的销售价不低于进价，且获利不得超过其进价为了解这种产品的年销售量 y（万件）与实际售价x（元/件）之间的关系，试销一段时间后，部门把试销情况成下表：销售单价 x（元/件）4050607080年销售量 y（万件）6050403020观察并分析表中的 y 与 x 之间的对应关系，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出y（万件）与 x（元/件）的函数关系式，并写出自变量的取值范围；此外，销售该产品的总开支 z（万元）（不含进价）与年销售量 y（万件）存在如下的函数关系：z=10y+400；该公司销售这种产品的年利润为 P（万元），求 P 与x 之间的函数关系式（注：年

25、利润=年销售额成本总开支）；求该公司销售这种产品的年利润最多是多少万元【考点】二次函数的应用【分析】（1）易判定该函数式为一次函数，即可求得函数式；根据年利润=年销售额成本总开支，列出二次函数式，即可解题；对（2）中年利润的二次函数式求最值，即可求得该公司销售这种产品的最大年利润，即可解题【解答】解：（1）=，y 关于 x 的式为一次函数，代入（50，50）（60，40）得：y=x+100，（30 x100）；（2）年利润=年销售额成本总开支，P=yx30yz=（x+100）x30（x+100）10（x+100）+400=x2+100 x+30 x3000+10 x1400=x2+140 x4

26、400；（3）P=x2+140 x4400，当 x=70 时，P 有最大值为 500 万元【点评】本题考查了一次函数式的求解，考查了二次函数式的求解和最值问题，本题中正确求得二次函数式是解题的关键7某商场购进一批单价为 40 元的服装，要求每件获利不低于购进单价的 25%，如果按每件 60 元出售，那么每周可销售 400 件，经过一段时间的销售发现：这种服装的销售单价每提高 5 元，其每周销售量相应减少 50 件直接写出每周销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的函数表达式；求每周销售利润 w（元）与销售单价 x 之间的函数表达式，并确定当销售单价在什么范围内，每周销售利润随销售单价的增大而

27、增大？（3）由于周转问题，商场每周购进该种服装的货款过 10000 元，请你求出在这种情况下商场销售该服装每周所能获得的最大利润【考点】二次函数的应用【分析】（1）易确定该函数是斜率为10 的一次函数，即可解题；根据利润 w=每件根据每周最大销售件数，列出关于 x 的二次函数式，即可解题；数可以求得每周最多进货多少批，根据“全部售完这批货品”可获“最大”，即可求得销售单价，即可解题【解答】解：（1）这种服装的销售单价每提高 5 元，其每周销售量相应减少 50 件y 与 x 的关系为一次函数，求得：y=10 x；（2）利润w=每件w=（x40）（10 x销售件数，）=10 x2x40000，当

28、x=70 时，二次函数有最大值，销售单价在 5070 元/件内，每周销售利润随销售单价的增大而增大；（3）每周购进该种服装的货款当 y=250 时，x=75，过 10000 元，即每周购进该衣服件数为 250 件，当销售单价为 75 时，购进的衣服能全部售出，在这种情况下商场销售该服装每周所能获得的最大利润为（7540）250=8750 元【点评】本题考查了二次函数式的求解，考查了二次函数的最值问题，本题中正确求得二次函数式是解题的关键8行驶中的汽车在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号汽车的刹车性能车速不超过 140 千米/时，对

29、这种汽车进试，数据如下表：1y 是 x 的函数，估计函数的类型，并求出式；2该型号汽车在国道上发生一次交通事故，现场测得刹车距离为 46.5 米，请推测刹车时的车速是多少？请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？【考点】二次函数的应用【分析】（1）易判定该函数式为 2 次函数，将（10，0.3）、（20，1.0）、（30，2.1）代入即可求得二次函数式；（2）将 y 的值代入二次函数式中即可求得 x 的值，即可解题【解答】解：（1）y 是 x 的函数，因为函数式经过（10，0.3），（20，1.0），（30，2.1），该函数为二次函数，设该二次函数为 y=ax2+bx+c，二次函数经过原

30、点，c=0，将点（10，0.3）（20，1.0）（30，2.1）代入得： y=0.002x2+0.01x（x0）；（2）由（1）得：该二次函数式为：y=0.002x2+0.01x（x0），当 y=46.5 时，0.002x2+0.01x=46.5，解得：x1=150，x2=155（舍去），150km/h140km/h，该汽车是超速行驶【点评】本题考查了二次函数的实际应用，考查了二次函数式的求解，本题中求得二次函数式是解题的关键9如图，抛物线 y= x2+2x6 的图象，与 x 轴交于 A、B 两点，点 A 在点 B 的左边，与 y轴交于点 C，点D 为抛物线的顶点求ABC 的面积；点 P 是直

31、线 AC 下方的抛物线上一动点不与点 A，C 重合，求过 P 作 x 轴的垂线交于 AC 于点 E，求线段 PE 的最大值及 P 点坐标；刹车时车速 x（km/h）010203040刹车距离 y（m）00.31.02.13.6（3）连接AD，在 y 轴上是否存在点 M，使得ADM 为直角三角形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在请说明理由【考点】二次函数综合题【分析】（1）易求得点 A，B，C 坐标，即可解题；（2）易求得直线 AC式，即可求得 PE 长度随横坐标 x 的变化的二次函数式，求得二次函数的最大值即可解题；（3）存在 3 种情况：ADM=90，DAM=90，AMD=90，分

32、类得 M 的值，即可解题【解答】解：（1） x2+2x6=0 时，即可求解得：x=2 或6，当 x=0 时，y=6，ABC 的面积S= ABOC=24；（2）直线AC 经过点 A，C，设直线 AC解得：直线AC式为 y=kx+b，代入 A，C 点，式为 y=x6，点 P 是直线AC 下方的抛物线上一动点，设点 P（x，y），则 PE=x6（ x2+2x6）= x23x；当 x=3 时，线段 PE 有最大值为，此时点 P 点坐标为（3，）；（3）存在点M，存在 3 种情况：ADM=90，点 D 坐标为（2，8），点 A 坐标为（6，0），设直线 AD 为 y=kx+b，代入 A，D 点得：k=2

33、，ADDM，直线 DM式为 y= x+t=y= x+t，代入点 D 坐标得：y= x7，点 M 坐标为（0，7）；DAM=90，点 D 坐标为（2，8），点 A 坐标为（6，0），设直线 AD 为 y=kx+b，代入 A，D 点得：k=2，ADDM，直线 DM式为 y= x+t=y= x+t，代入点 D 坐标得：y= x+3，点 M 坐标为（0，3）；AMD=90，点 D 坐标为（2，8），点 A 坐标为（6，0），设点 M 坐标为（0，y），则 =1，解得：y=2 或6，存在点 M，坐标为（0，3）、（0，7）、（0，2）、（0，6）时，可使得ADM 为直角三角形【点评】本题考查了二次函数式

34、的求解，考查了二次函数顶点的求解，考查了一次函数式的求解，本题中正确求得二次函数式是解题的关键10父亲想用长为 80m 栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长 50m，设矩形 ABCD 的边 AB=xm，面积为 Sm2（1）写出S 与 x 的函数关系式，x 的取值范围；（2）当羊圈的长和宽分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？【考点】二次函数的应用【分析】（1）根据 BC=（栅栏总长2AB），再利用矩形面积公式即可求出；（2）根据配方法法求出二次函数最值即可；【解答】解：（1）AB=CD=xm，BC=（802x）m，S=x（802x）=2x2+80 x，15x40S

35、=2x2+80 x，（15x40）；（2）S=2（x240 x15x40，）=2（x20）2+800，当 x=20 时，S 有最大值为 800，当 x=20 时，面积S 有最大值为 800；【点评】本题考查了二次函数的应用，找到所给面积的等量关系是解决本题的关键；易错点是根据长得到矩形长的代数式11（2011哈尔滨）手工课上，准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为 60cm，菱形的面积S（：cm2）随其中一条对角线的长 x（的变化而变化请直接写出S 与 x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；当 x 是多少时，菱形风筝面积S 最大？最大面积是多少？：cm

36、）（参考公式：当 x=时，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）有最小（大）值）【考点】二次函数的应用；菱形的性质【分析】（1）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即出 S 与 x 之间的函数关系式；（2）根据二次函数当 x=时，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）有最小（大）值，求出即可【解答】解：（1）这个菱形的两条对角线长度之和恰好为 60cm，菱形的面积S（：cm2），其中一条对角线的长 x，另一条对角线的长（60 x）cm，S= x（60 x）= x2+30 x；（2）S= x2+30 x；a= 0，S 有最大值，x=30，S 的最大值为=450，当 x 为 30cm 时，菱形风筝

37、的面积最大，最大面积是 450cm 2【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及菱形的性质，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得出函数关系式是解决问题的关键12（2009 秋校级月考）一块三角形废料，A=30，C=90，BC=6用这块废料剪出一个平行四边形AGEF，其中，点 G，E，F 分别在 AB，BC，AC 上设 CE=x求 x=2 时，平行四边形AGEF 的面积当 x 为何值时，平行四边形 AGEF 的面积最大？最大面积是多少？【考点】二次函数的最值；平行四边形的性质【专题】代数几何综合题【分析】设平行四边形 AGEF 的面积是 S利用平行四边形 AGEF 的对边互相平行知 EF AG，所

38、以同位角A=CFE=30；然后在直角三角形 ABC 和直角三角形 BEF 中利用锐角三角函数的定义求得 CF、AC 的长度，从而求得平行四边形 AGEF 的底边 AF=ACCF；最后根据平行四边形的面积公式S=底高得出关于S 与 x 的函数关系式S=x2+6x；将 x=2 代入S 与 x 的函数关系式S=x2+6利用配方法求二次函数的最值【解答】解：设平行四边形AGEF 的面积是S四边形AGEF 是平行四边形，EFAG；A=30，C=90，CE=x，BC=6，A=CFE=30，CF=x，AC=6，x，并求解即可；AF=6x；-x）x=x2+6x，即S=x2+6S=AFCE=（6x；（1）当 x

39、=2 时，S=4+12=8，即S=8（平方）4 分答：平行四边形 AGEF 的面积为x2+6x，得，（2）由S=，当 x=3 时，平行四边形AGEF 的面积最大，最大面积是（平方）9 分【点评】本题考查了平行四边形的性质、二次函数的最值解答本题的关键是求出平行四边形 AGEF 的底边 AF、底边上的高线 CE 的长度13（2013 秋海阳市期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+c 交 x 轴于点 A、B，交y 轴于点M，OA=3，tanAMO= ，OM=OB求抛物线的表达式；在第三象限内，点 P（m，n）（m0，n0）在抛物线上，试用 m 的代数式表示PBM的面积；

40、点 P 在什么位置时，PBM 的面积最大？求出这时点 P 的坐标【考点】二次函数综合题【分析】（1）根据正切的概念和题意分别求出点 A、点 B、点 M 的坐标，运用待定系数法求出式；（2）根据函数图象上点的坐标特征以及梯形的面积公式用 m 的代数式表示PBM 的面积，根据二次函数的性质求出PBM 的面积最大值，求出点 P 的坐标【解答】解：（1）tanAMO= ，= ，又 OA=3，OM=4，OB=OM=4，点 A 的坐标为（3，0），点 B 的坐标为（4，0），点 M 的坐标为（0，4），则，解得，则抛物线的表达式为：y= x2+ x4；（2）作 PHAB 于 H，点 P（m，n）在抛物线上

41、，n= m2+ m4，PBM 的面积=梯形 OHPM 的面积+HBP 的面积OBM 的面积= （ m2m+4+4）（m）+ （4+m）（ m2 m+4） 44= m2 m= （m+2）2+，当 m= 时，PBM 的面积最大，点 P 的坐标为（2，）【点评】本题考查的是待定系数法求二次函数的式、锐角三角函数的概念、二次函数的性质，灵活运用待定系数法求出函数的式、掌握配方法把二次函数一般式化为顶点式是解题的关键，注意坐标与图形的性质的应用14如图，抛物线 y=ax2+bx 过点 A（4，0），正方形 OABC 的边 BC 与抛物线的一个交点为 D，点D 的横坐标为 3，点 M 在y 轴负半轴上，直

42、线 l 过点 D、M 两点且与抛物线的对称轴交于点H，tanOMD= （1）直接写出点 H 的坐标；（2）求抛物线的式；（3）如果点 Q 是抛物线对称轴上的一个动点，那么是否存在点Q，使得以点O、M、Q、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题【分析】（1）根据抛物线和正方形的对称性求出抛物线的对称轴，结合三角函数即可求出点H 的坐标；写出点D 坐标，把点D，点H 坐标代入抛物线即可求出抛物线由题意知，只要 OM=HQ 即可，分点 Q 在H 上方和下方进行【解答】解：如图 1：式；求解即可（1）由抛物线和正方形的对称性可知，抛物线的对称

43、轴是 OA 的垂直平分线，由 A（4，0）可知，抛物线的对称轴是直线：x=2，设直线 x=2 与 BC 交于点 G，则 CG=2，由 CD=3，DG=1，由 GHx 轴，GHD=OMD，tanGHD= ，= ，GD=1，解得：GH=3，又正方形边长为 4，：43=1，所以点 H（2，1）；（2）把点A（4，0）和 D（3，4）代入抛物线式得，解得：所以抛物线的式为：y，（3）如图 2：HQ=OM=5 时，以点O、M、Q、H 为顶点的四边形是平行四边形，HQ 是抛物线的对称轴，H 和Q 两点的横坐标均为 2，若以点 O、M、Q、H 为顶点的四边形是平行四边形，则 HQ=OM 即可，又知 H 点坐

44、标为（2，1），故对 Q 点进行当 Q 点在H 点上面时，若HQ=OM，Q 点坐标为（2，6），当 Q 点在H 点下面时，Q（2，4）【点评】此题主要考查了点的坐标、直线的知识和平行四边形的性质的运用式、抛物线式的求法，涉及解直角三角形15已知二次函数 y=x22mx+m21（1）该抛物线与 y 轴交于点 C（0， ），顶点为 D，求点 D 的坐标（2）在（1）的条件下，x 轴是否存在一点 P，使得 PC+PD 最短？若 P 点存在，求出 P 点的坐标；若 P 点不存在，请说明理由【考点】二次函数的性质；轴对称-最短路线问题【专题】计算题【分析】（1）把 C 点坐标代入式可计算出 m=，然后把

45、式配成顶点式即到 D 点坐标；（2）分类点坐标，即：先利用待定系数法求出直线 CD 的到 P 点坐标式，然后求出直线 CD 与 x 轴的交【解答】解：（1）把 C（0， ）代入 y=x22mx+m21 得 m21= ，解得 m=，所以 y=（xm）21=（x）21，所以 D 点坐标为（，1）或（，1）（2）存在当 D 点坐标为（，1），设直线 CD 的式为y=kx+b，把 C（0， ）、D（，1）代入得，解得，则直线 CD 的式为y=x+ ，当 y=0 时，x+ =0，解得 x=，此时 P 点坐标为（，0）；当 D 点坐标为（，1），设直线 CD 的式为 y=kx+b，把 C（0，）、D（，1

46、）代入得，解得，则直线 CD 的式为y=x+ ，当 y=0 时，x+ =0，解得 x=，此时 P 点坐标为（，0），所以满足条件的 P 点坐标为（，0）或（，0）【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标是（，），对称轴直线 x=，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象具有如下性质：当a0 时，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的开口向上，x时，y 随 x 的增大而减小；x时，y 随 x 的增大而增大；x=时，y 取得最小值，即顶点是抛物线的最低点当 a0 时，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的开口向下，x时，y 随 x 的增大而增大；x时，y

47、 随 x 的增大而减小；x=时，y 取得最大值，即顶点是抛物线的最高点16如图，在抛物线 y=x2 上取一点 P，在 x 轴上取一点 A，使 OP=PA，过点 A 作x 轴的垂线与直线OP 交于点 Q，当APQ 为正三角形时，试求APQ 的面积【考点】二次函数图象上点的坐标特征【专题】计算题【分析】作 PHOA 于 H，如图，根据二次函数图象上点的坐标特征可设 P（t，t2），由 PA=PO得到 OA=OH，POA=PAO，再利用APQ 为正三角形得到 PQ=PA，APQ=60，所以 PO=PQ，POA=30，然后在 RtPOH 中，根据含 30 度的直角三角形三边的关系得 t= t2，解得

48、t1=，t2=0（舍去），即 OH=，PH= ，所以 OA=2OH=，然后根据SPAQ=SPOA 和三角形面积公式计算【解答】解：作 PHOA 于H，如图，设 P（t，t2），PA=PO，OA=OH，POA=PAO，APQ 为正三角形，PQ=PA，APQ=60，PO=PQ，POA=30，在 RtPOH 中，POH=30，OH=t，PH=t2，t2，解得 t1=OH=PH，即 t=，t2=0（舍去），OH=，PH= ，OA=2OH=，OP=PQ，SPAQ=SPOA= =【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其式也考查了等边三角形的性质17抛物线 y=a（x2）2

49、 的顶点A 在 x 轴上，开口向上，与 y 轴相交于 B 点，OA=OB求出 B 点的坐标；在抛物线上是否存在一点 C，使ABC 是直角三角形？若存在，求出 C 点坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数的性质【分析】（1）由 y=a（x2）2，得出顶点 A 的坐标为（2，0），根据 OA=OB，得到 B（0， 2）；（2）先将 B（0，2）代入 y=a（x2）2，利用待定系数法求出抛物线的式，再分三种情况：若BAC=90，则 B、C 关于抛物线的对称轴对称，由此求出即可；若ABC=90时，得出求出直线 BC 的式，和抛物线的式得出方程组，求出方程组的解即可；若ACB=90时，设 C（n，k

50、），根据勾股定理得出 AC2+BC2=AB2，代入得到（n2）2+k2+n2+（k2）2=8，求出即可【解答】解：（1）y=a（x2）2，顶点 A 的坐标为（2，0），抛物线 y=a（x2）2 开口向上，与 y 轴相交于 B 点，OA=OB，B（0，2）；（2）将 B（0，2）代入y=a（x2）2，得 2=4a，解得a= ，y= （x2）2，即 y= x22x+2若BAC=90，AOB 是等腰直角三角形，A 为抛物线顶点，BAO=45，B、C 关于抛物线的对称轴对称，C（4，2）；若ABC=90时，直线 AB 的可设直线 BC 的式为y=x+2，ABBC，式为y=x+b，将 B（0，2）代入得

51、：b=2，y=x+2，解方程组，解得：，C（6，8）；若ACB=90时，设 C（n，k）， AC2+BC2=AB2，即（n2）2+k2+n2+（k2）2=8，n22n+k22k=0，k= n22n+2，代入整理得 n42n3+6n26n=0，求出 n1=0，n2=2，k1= n22n+2=2，k1=n22n+2=0，均不符合题意舍去综合上述：存在，点 C 的坐标是（4，2）或（6，8）【点评】本题考查了用待定系数法求出二次函数的式，直角三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生运用这些性质进行计算的能力，本题难度较大，对学生有较高的要求，进行分类是解题的关键18如图，已知抛物线的顶点坐标为

52、D（1，5），抛物线与 y 轴交于点 C（0，4），点 C 和点 E 关于对称轴对称（1）求抛物线的式；（2）在对称轴的右侧的抛物线上是否存在点 M，使得MDC 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数式；等腰三角形的判定【专题】分类【分析】（1）由于已知抛物线的顶点坐标，则设抛物线的顶点式为 y=a（x1）2+5（a0），再把（0，4）代入可计算出a 的值，从而求得抛物线的式（2）分以 CD 为底和以 CD 为腰两种情况运用两点间距离公式建立起 M 点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线式即可求解【解答

53、】解：（1）由题意，抛物线的顶点坐标为 D（1，5），设抛物线的式为y=a（x1）2+5（a0），把（0，4）代入上式得：a+5=4，解得，a=1所以，这条抛物线的式为：y=（x1）2+5（2）存在已知（1，5），C（0，4），对称轴为直线 x=1若以 CD 为底边，则 MD=MC，设 M 点坐标为（x，y），根据两点间距离公式，得 x2+（y4）2=（x1）2+（y5）2，即 y=5x又 M 点（x，y）在抛物线上，5x=（x1）2+5，即 x23x+1=0，解得 x1=，x2=1，应舍去，x=，y=5x=，即点 M 坐标为（，）若以 CD 为一腰，点 M 在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对

54、称性知，点 M 与点 C 关于直线 x=1 对称，此时点 M 坐标为（2，4）符合条件的点 M 坐标为（，）或（2，4）【点评】本题考查了待定系数法法求二次函数式、二次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的判定，利用待定系数法求得式是本题的关键考点卡片1一元二次方程的应用1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答2、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为 a，十位数是 b，则这个两位数表示为 10b+a（2）增长率问题：增长率=增长数量原数量100%如：若原数是 a，每次增长的百分率为 a，则第一次增长后为 a（1+

55、x）；第二次增长后为 a（1+x）2，即 原数（1+增长百分率）2=后来数（3）形积问题：利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”1解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数列：根据题中的等量关系，

56、用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程解：准确求出方程的解验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题6答：写出2二次函数的性质二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标是（，），对称轴直线 x=，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象具有如下性质：当 a0 时，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的开口向上，x时，y 随 x 的增大而减小；x时，y 随 x 的增大而增大；x=时，y 取得最小值，即顶点是抛物线的最低点当 a0 时，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的开口向下，x时，y 随 x 的增大而增大；x时，y 随 x 的增大而减小；x=时，y 取得最大值，即顶点是抛物线的最高点抛物线y=ax2+bx+（c a0）的图象可由抛物线 y=ax2 的图象向右或向左平移|个，再向上或向下平移|个得到的3二次函数图象上点的坐标特征二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）抛物线是关于对称轴 x=成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式顶点是抛物线的最高点或最低点抛物线与 y 轴