量化专题报告：BL模型的泛化扩展熵池模型之理论篇

1、内容目录 HYPERLINK l _TOC_250021 什么是熵池（Entropy Pooling）模型 3 HYPERLINK l _TOC_250020 完全自由观点 3 HYPERLINK l _TOC_250019 贝叶斯更新的一般化 5 HYPERLINK l _TOC_250018 相对熵最小化的意义 7 HYPERLINK l _TOC_250017 模型解析解与数值求解 8 HYPERLINK l _TOC_250016 熵池模型 vs BlackLitterman 模型 10 HYPERLINK l _TOC_250015 观点融合 10 HYPERLINK l _TOC_

2、250014 2.1.1.均值 11中位数、VaR、分位数 11 HYPERLINK l _TOC_250013 波动率 11 HYPERLINK l _TOC_250012 协方差、相关系数 12 HYPERLINK l _TOC_250011 资产排序 12 HYPERLINK l _TOC_250010 边缘分布 13 HYPERLINK l _TOC_250009 信心水平 13 HYPERLINK l _TOC_250008 解析解对比 15 HYPERLINK l _TOC_250007 熵池模型的应用实例 16 HYPERLINK l _TOC_250006 资产配臵场景下的熵池

3、模型优点 16 HYPERLINK l _TOC_250005 熵池模型下观点融合的实际效果 17 HYPERLINK l _TOC_250004 总结与展望 19 HYPERLINK l _TOC_250003 熵池模型的优点总结 19 HYPERLINK l _TOC_250002 熵池模型拓展与应用场景展望 20 HYPERLINK l _TOC_250001 参考文献 20 HYPERLINK l _TOC_250000 风险提示 21图表目录图表 1：BlackLitterman 模型计算过程 3图表 2：BL 模型观点表达系统 4图表 3：各类模型对比 5图表 4：熵池模型示意图

4、6图表 5：分布所代表熵的上下限 7图表 6：情景表达法示意图 9图表 7：离散优化过程示意图 9图表 8：熵池模型情景表达法示意图 10图表 9：国盛金工量化 FOF 配臵体系构架 16图表 10：熵池模型数值实验结果 17图表 11：示例资产类别与代理指数 18图表 12：10 年期国债利率预测信号表现 18图表 13：资产配臵模型回测结果 18图表 14：概率优化模型回测净值曲线 19图表 15：资产配臵测试历史仓位 19什么是熵池（Entropy Pooling）模型完全自由观点在资产配臵领域，均值方差模型虽然在数学上十分优雅，但它在投资实务中并不能直接使用。这是因为它给出的最佳投资组

5、合对该模型的核心输入即资产的期望收益率非常敏感，而期望收益率很难准确预测，往往需要靠多个模型多位专家提供更多的判断来提高精度，均值方差模型缺少一个观点融合的模块。为解决这个问题，高盛的 Fischer Black 和 Robert Litterman 在 1992 年提出了后来业界闻名的 Black-Litterman 模型（以下简称 BL 模型）。该模型以市场均衡假设反推出的资产收益率为出发点，结合投资者对不同资产收益率的主观判断，最终通过贝叶斯收缩估计的方式确定资产的收益率分布，并计算最佳的投资组合配臵。这为之前仅通过历史估计来确定资产收益率分布的方式拓展了进步空间。图表 1：BlackL

6、itterman 模型计算过程资料来源：“A STEP-BY-STEP GUIDE TO THE BLACK-LITTERMAN MODEL”， 国盛证券研究所BL 模型对于观点的融合主要依赖模型当中的“观点矩阵 P-观点超额收益 Q-观点信心矩阵”系统。观点矩阵 P 中的每一列确定一种观点对应的资产，如若观点针对某资产 i的绝对收益，那么相应观点矩阵 P 中的列可表示为第 i 个元素为 1 的单位向量，如果观点针对某两类资产 i，j 的相对收益，比如做多 i 资产，做空 j 资产未来可获得一定收益，那么相应观点矩阵 P 中的列可表示为第 i 个元素为 1，第 j 个元素为-1，其余元素为 0

7、 的向量。相应的观点超额收益 Q 的每个元素则为对应的观点收益率，相应的观点信心矩阵 为对角阵且对应每个元素为观点的信心水平。图表 2：BL 模型观点表达系统资料来源：国盛证券研究所可以看到，虽然 BL 模型已然能够通过贝叶斯方法将相应的资产绝对收益和相对收益观点融入到所估计的均值方差中，但是观点的灵活性较弱，必须为确定的收益率期望观点。对于收益率中位数、收益率范围、收益率排序、波动率、相关性、尾部分布、非线性特征等等观点 BL 模型无法融合，而实际投资过程中产生的观点有很多都是诸如判定方向或者大致区间的形式，同时对波动率、相关性等的判断也有很大的意义。除此之外 BL模型是在正态分布的框架下的

8、，而我们知道正态分布仅是一种便于计算的近似，与实际分布的尖峰厚尾有偏特性有较大差别，容易导致对尾部风险的欠估计。针对 BL 模型的问题，众多学者提出了相应的解决方案：Edward Qian、Stephen Gorman在 2001 年提出了新的模型（以下简称 QG 模型），将针对波动率和相关性的观点设计到了模型中，Robert Almgren、Neil Chriss 在 2004 年提出了将收益率排序观点进行融合的模型（以下简称 AC 模型），Jacques Pezier 在 2007 年提出了在最小区别原则（Least discrimination）下的相对熵模型（以下简称 P 模型），而本

9、报告将介绍由前 KKR 首席风险官 Attilio Meucci 提出的熵池（Entropy Pooling）模型（以下简称 EP 模型），EP 模型以简洁优雅的设计解决了上述模型提到的所有问题，能够融入几乎任何形式的观点，同时先验分布可以是任意分布，计算方便快捷，可谓集大成者。Attilio Meucci 之前在 2006年和 2009 年也分别提出过另外两个模型（以下简称 COP 模型和 M 模型）对部分问题进行过探讨，相应文献详见文末。图表 3：各类模型对比BL 模型AC 模型QG 模型P 模型M 模型COP 模型EP 模型1992200420012007200920062010正态分布

10、&线性观点情景分析相关性分析非线性定价外部因子：宏观等不完全观点非正态市场多用户输入非线性观点快速复杂定价排序型观点资料来源：“Fully Flexible Views: Theory and Practice”，国盛证券研究所贝叶斯更新的一般化EP 模型所考察的对象并不局限于资产的收益率分布，而是泛化成任意风险因子的分布。假设一组证券由 N 维的风险因子决定，那么必然存在一个确定性的函数将风险因子与当前可得的信息映射到每个证券未来的价格 +。+ (,)比如假设这组证券是期权，风险因子代表了所有标的资产的价格和隐含波动率变化，那么函数就可表示为一个由“deltas”、“vegas”、“gamm

11、as”、“vannas”、“volgas”等等系数组成的二阶泰勒展开式。也可以包含和证券价格仅有统计相关性的外部变量（包括宏观因子等）。总之，EP 模型当中的并不局限于资产的收益率。在此基础上，首先假设存在一个类似 BL 模型中先验分布的参考模型。所谓的参考模型就是风险因子的先验联合分布，可以用概率密度函数来表示： 而我们需要解决的问题即为最优化证券的权重配臵，使得在投资限制下满意度函数最大化。满意度函数可以理解为由投资者所确定的效用函数： argmax*(; )+EP 模型最重要的泛化扩展在于投资者观点可以表达在风险因子的一组广义函数上：1(), , ()，而不仅仅是风险因子上。这些广义函数

12、并不一定需要线性，投资者甚至可以直接在证券定价函数 () = (, )上表达观点。这些广义函数组成了一个 K 维的随机向量，其先验联合分布可由参考模型计算得到： () 当然所谓的观点一定是不同于参考模型的，因而在上表达的观点会使得服从一个由观点更新后的分布： 对两个分布包含的结构进行量化，EP 模型采用了信息论中的香农熵：H() = ,ln ()-对于两个分布的差异，EP 模型采用相对熵即 KL 散度（Kullback-Leibler divergence）进行描述，从而后验分布即为在满足投资者观点下与参考模型结构最为接近的分布：( , ) ()ln () ln ()d argmin*(, )

13、+公式中的 代表了满足投资者观点的所有分布。最后类似 BL 模型，投资者对观点的 信心需要体现在后验分布中，假设投资者对其观点持 100%的信心，那么后验分布就是，否则的话后验分布需要向参考模型收缩： (1 ) + ,c ,0,1-若存在着多个不同信心的观点，也可通过对 100%信心的后验分布进行信心加权的方式进行融合，比如假设有S名专家分别对各自的()输入了他们的观点，那么我们可以得到S个 100%信心后验分布() , = 1, , 。最终后验分布即为：=1 ()此过程被称为“观点池化”（Opinion-Pooling），因此 EP 模型概括的来说就是将以相对参考模型熵最小的后验分布（观点）

14、汇集的模型。“Pooling”一般翻译为“池化”，但其意义更接近于“汇集”。图表 4：熵池模型示意图资料来源：国盛证券研究所从模型的输入输出来看，模型本质是通过观点信息更新了分布，与 BL 模型作用相同，但是相对熵最小化更新的方法相比贝叶斯更新更为一般化。在 Ariel Caticha 与 Adom Giffin 在 2006 年的论文“Updating Probabilit ies”中证明了贝叶斯更新只是相对熵最小化更新的一种特殊形式，两种方法是相洽的。如今相对熵最小化的方法已经被应用到了除传统热力学、信息论以外的各个领域，特别是机器学习和金融工程。相对熵最小化的意义为了便于读者直观理解，本

15、报告在此简单阐述为什么要用熵来度量一个分布的结构。在信息论中，熵的本质是一个宏观态所对应的微观态的不确定性。举一个简单例子来说明，掷三次硬币可能出现三次都是正面，也可能出现一正二反，三次都是正面的可能性只有一种，而一正二反的可能性有三种：正反反、反正反、反反正，因此这里一正二反这个宏观态的熵（微观态不确定性）要高于三次正面。对于熵的度量，可以以抛硬币这样的二元等概率事件作为参照物来计算，如果某一宏观态对应 8 个微观态，那么这相当于抛掷三次硬币产生的可能微观态23 = 8，因此计算上可以用对数来度量熵：3 = log2 8，单位为比特（bit）。当然度量熵的底数也可以是自然常数 e，此时熵的单

16、位被称作纳特（nat）。对于一个完整的分布，可以通过将分布中每个宏观态的熵按照概率加权得到分布的熵，这就是香农熵的概念。 ln 1/一个 100%可能的宏观态熵为 0，而多个宏观态均匀分布的熵最大，其余分布介于两者之间。所以确定性越高的分布熵越小，当一个分布仅指向一个宏观态时，这个分布蕴含了需要了解这个系统的所有信息，不再需要获取别的信息来对系统减熵。举个简单的例子：如果我们知道所有的投资者明天的所有操作，那么明天股市的涨跌就是确定的，否则只能用一个不确定的概率分布来描述，信息越多此概率分布的确定性越强熵越小。信息（正确的观点）与熵数量相等，方向相反，信息的作用就是减熵。图表 5：分布所代表熵

17、的上下限资料来源：国盛证券研究所而 EP 模型提出的相对熵最小化本质就是在观点约束下选择增加多余信息最少的后验分布，其遵循的是“最大熵原理”。最大熵原理是 1957 年由美国统计学家、物理学家 E.T.Jaynes 提出的，观点将带来新的信息量，因而后验分布的熵一定小于先验分布，而满足观点约束的后验分布有无穷多个，“最大熵原理”是指在这些分布中选择熵最大，最具有不确定性的那一个，尽量不加入多余假设和结构。就像上图的例子中，在四个宏观态均匀分布下，如果我给出“宏观态 1 有一半概率是真的”的观点后，其余三个宏观态最好保持均匀分布，而不是主观的给予额外的结构。( ,) ()ln () ln ()d

18、 = ()ln1/() ln 1/ ()d模型解析解与数值求解模型在正态分布下具有和 BL 模型类似的解析解，假设风险因子满足一个多元正态分布： (, )投资者观点通过风险因子的线性组合表达在均值向量和协方差矩阵上：: *+ *+ 那么通过推导可得到 100%信心后验分布仍为正态分布： (, )其中， + ()1 ( ) + ()1 ()1 ()1 )当 = 时公式与 QG 模型一致。当然如果分布并非正态或者观点的形式更为复杂，则 EP 模型难以获得解析解，所幸的是 EP 模型的数值解法非常简洁，大部分情况下仅涉及到线性约束（也可以非线性）下的优化问题，计算十分方便快速，这也是 EP 模型的另

19、一个优雅的地方。要构造 EP 模型的数值解法，首先需要将参考模型用情景（Scenarios）的方式进行表达。假设参考模型来自个历史样本点，那么可以将参考模型表达为 N维的情景集，其中的每一行代表了一个情景，每一列代表了一个风险因子的边缘分布；假设参考模型来自一个联合分布表达式（具有解析式），那么通过随机模拟样本点我们同样可以构建一个 N维的情景集，模拟分布逼近原始分布的精度随着的增大而提升。我们给这个情景赋予相等的初始权重=1, = 1/。图表 6：情景表达法示意图资料来源：国盛证券研究所通过定价公式： + (, )，我们可以将风险因子的个情景映射到证券组（假设有 M 个证券）的个价格。: M

20、与: 1 可进一步输入到风险管理模型或者资产配臵组合优化模型中。在本报告的 2.1.章节中我们将详细列出 EP 模型能够融合的观点类型和表达式，本小节中暂时按下不表，只是说明这些观点都可以表达为如下形式： 比如假设我们想对风险因子的期望表达确定性观点，那么可以令 = , = 。优化问题可以写成如下离散形式： argmin*(, )+ = argmin (ln() ln() =1其中限制条件 可以转化为梯度和 Hessian 矩阵表达式。图表 7：离散优化过程示意图资料来源：国盛证券研究所优化目标的拉格朗日函数可以写为：(, , ) (ln() ln() + ( ) + ( )通过对拉格朗日函数

21、求一阶导可以求得关于, 的表达式：(, ) = ln() 代入后可获得拉格朗日函数的对偶函数：(, ) (, ), , )通过求解对偶函数即可获得 EP 模型的数值解：(, ) argmax*(, )+, = (,)可以看到模型的优化最终针对的是, ，其数量与观点数量一致，而并非数量庞大的概率分布变量，这保证了优化的可行性和速度。100%信心后验分布计算完后即可通过“观点池化”直接获得信心加权后验分布： (1 ) + 从以上过程可以看到，EP 模型的数值求解仅仅调整了每个情景背后的相对概率，对情景本身并未进行任何改变，因而避免了重新定价的冗余计算。当定价公式 + (, )计算较为复杂的时候，E

22、P 模型能够更为快速高效的获得证券在后验分布下的定价结果，对延迟要求较高的交易模型或者极为复杂的定价模型有着独特的优势。图表 8：熵池模型情景表达法示意图资料来源：“Historical scenarios with fully flexible probabilities”，国盛证券研究所熵池模型 vs BlackLitterman 模型观点融合EP 模型相对 BL 模型的第一大优势就在于观点融合的泛化。BL 模型只能对于资产未来期望收益率发表等式约束的观点，但是 EP 模型不仅观点的对象更泛化，观点的表达方式也更泛化：EP 模型BL 模型观点对象：一阶矩、分位数：均值、中位数、分位数、Va

23、R高阶矩：波动率、协方差非线性：相关系数、尾部相关性、CVaR完全信息：边缘分布、联合分布、Copula观点对象： 一阶矩：均值观点形式：等式约束、不等式约束、排序、观点形式：等式约束本小节我们将列举部分 EP 模型下的观点如何表述成对于分布概率的线性约束条件： 均值对于均值的观点：可以如下表达：()= , =1 ()=首先定义排序函数()，代表某个风险因子中的第 i 个次序统计量：(), :,定义序号集合： : argmax(), )=1则 n-分位数的观点可以表达为：波动率对于波动率的观点：()= ,2 (,) = 2=1=1 ,2 =2 + 2=1参照协方差公式：非线性约束可以表达为：c

24、ov(, )= , , , =线性约束可以表达为：=1=1=1 , , = + =1可以表达为：corr(, )= , = + =1资产排序对于资产排序的观点：可以如下表达：(1) (2) () (,1 ,2) 0=1 (,1 ,) 0 =1边缘分布对于边缘分布需要整体调整的情况，可以用各阶矩匹配的方式进行观点的表达： , = (,)=1 ()2 = . 2 /=1, ()3 = . 3 /,=1,其他形式的观点可以相应类推或参考报告文献。信心水平BL 模型主要通过刻度系数和信心矩阵来确定具体观点信心水平。有关 BL 模型的这两个参数的确定我们例举文献如下：1、“Global portfoli

25、o optimization” Black F, Litterman R. , 1992在 Black 和 Litterman 的原始报告中，他们认为刻画了资产均衡收益均值的不确定性，它是正比于资产均衡收益协方差矩阵的，而由于收益均值的不确定性远远小于收益观点的不确定性，因此他们认为应当相当接近于 0；2、“Using the Black-Litterman Global Asset Allocation Model”Bevan and Winkelmann， 1998在这篇报告中，作者认为信息比率 IR 可以衡量主观观点所包含的信息量，他们认为从统计意义上来说，超过 2 的 IR 代表了超额

26、收益达到了 2 倍的标准差之外，因此是很难发生的，所以的设臵应该使得 IR 小于 2，使得最后得到的权重不会过于极端。3、“The Intuition Behind Black-Litterman Model” He and Litterman, 1999在这篇报告中，作者认为应该与观点信心矩阵结合来设臵，可以首先假定一个，然后校准观点的信心水平，使得/ = 。举个例子，假设 = 0.025，那么观点信心矩阵可以设臵为：(11 ) 0 = 0()这样的设臵下的值并不关键，关键在于比率/，只要比率确定了不论为何值，后验的预期收益向量不变。4 、“ A demystification of the

27、 BlackLitterman model: Managing quantitative and traditional portfolio construction” Satchell and Scowcroft, 2000在这篇报告中，作者认为是刻度因子，因此经常设定为 1。观点的权重完全由观点信心矩阵来确定。5、“A STEP-BY-STEP GUIDE TO THE BLACK-LITTERMAN MODEL” Idzorek, 2002这是较为经典的一篇报告，在 He and Litterman（1999）的基础上，作者认为观点信心除了还受到其他因素的影响。作者提出了一种可以结合直观

28、的 0%-100%的主观信心的参数确定法。在此参数确定法下是一个无关紧要的标量，在设定完之后可以在此基础上设臵，的大小不影响最终计算的后验预期收益率向量。此方法的具体步骤如下： = 0代表着第 k 个观点是完全确定的，投资者对此观点的信心为 100%，从而可以计算在 k 观点信心 100%时的预期收益率向量：E,100% = + ()1 ( )计算 k 观点信心 100%时优化得到的最终资产权重：, 100% = ()1 ,100%计算 k 观点信心 100%时最终资产权重偏离市场均衡资产权重的程度：, 100% = ,100% 利用投资者观点水平调整偏离：Tilt = ,100% 其中是一个

29、N 1 的向量，向量中观点 k 涉及的资产上等于投资者信心水平，观点 k 不涉及的资产上等于 0。计算目标权重向量：,% = + 优化,%和的离差平方和，从而获得的估计：其中：min (,% )2 = ,-1 ,()1 + 1-1,()1 + 1-重复步骤 I 至 VI，直到计算出所有的。以上论文仅是讨论刻度系数和信心矩阵的部分论文，从这部分论文中我们已经可以看出 BL 模型在信心水平确定上的不直观性和参数关系间的复杂性，学术界对其的争论也较多且并未统一。从实证角度来说，由于观点融合模型的回测建立在观点模型和配臵模型的基础上，各家在说明各自方法的时候并不是建立在一个公认的观点模型和配臵模型的基

30、础上，因而更加难以互相说服。相比 BL 模型，EP 模型在信心水平的确定上更为直观，我们可以用信心水平直接对各个观点集给出的后验分布进行加权。EP 模型中的信心水平可以设臵为观点在历史上的胜率，或者也可以类比采用 Grino ld 和Kahn 在主动投资组合管理中提到的主动管理基本定律的方式：IR IC 其中 IC 即历史观点与实际情况的相关系数，而 Breath 就是历史产生过的观点数。如果有多个信心不同的观点，可以通过“机制转换（Regime Switch）”的方式理解加权后的分布。具体的来说，当只有一个信心水平为 c 的观点时，则机制转换下的更新后风险因子可以表示为： = 1() + (

31、)其中1与分别是0,1上互不重叠且长度等于 1-c 和c 的区间上的示性函数，而 U 则为一个在0,1上均匀分布的随机变量。在此假设下，最终后验分布即为： (1 ) + 当存在两个或以上信心水平不同的观点时，可以按照观点集的“幂集（Power Set）”的方式将信心水平映射成一个概率分布，比如当我们有 3 个信心水平不同的观点时：= () + *1+()*1+ + *2+()*2+ + *3+ ()*3+ + *1,2+()*1,2+ *1,3+()*1,3+ + *2,3+()*2,3+ + *1,2,3+()*1,2,3+ + *1+ *1+ + *2+ *2+ + *3+ *3+ + *

32、1,2+ *1,2+ + *1,3+ *1,3+ + *2,3+ *2,3+ + *1,2,3+ *1,2,3+假设三个观点的信心水平分别为：1 =70%、2 =80%、3 =90%，同时假设信心水平之间具有包含关系（Attilio Meucci 在论文中的假设）如下：*1,2,3+ = min( | *1 ,2,3+) = 70%*1,2+ = min( | *1 ,2+) *1,2,3+ = 0%*1,3+ = min( | *1 ,3+) *1,2,3+ = 0%*2,3+ = min( | *2,3+) *1,2,3+ = 10%*1+ = min( | *1+) *1,2+ *1,3

33、+ *1,2,3+ = 0%*2+ = min( | *2+) *1,2+ *2,3+ *1,2,3+ = 0%*3+ = min( | *3+) *1,3+ *2,3+ *1,2,3+ = 10% = 1 = 10%2*1,2,3+从而最终的后验分布即为： 10% + 10%*3+ + 10%*2,3+ + 70%*1,2,3+值得注意的是，论文中的包含关系假设仅是一种简单的处理，如果有较为明确的观点间相关性信息，可以直接调整相应幂集的概率，这又是 EP 模型相对 BL 模型的一个优势。 BL 模型的观点信心矩阵是对角阵，是不考虑观点之间的相关性的，一旦需要考虑到观点之间的相关性，从而给观点

34、信心矩阵的非对角线元素赋值，将又是一个难题。而 EP模型在历史观点频率相同的情况下，可以直接按照几个观点是否同时正确的情况给相应幂集赋予概率即可，非常直观。解析解对比在不考虑信心水平的情况下，即假设各观点的信心都相同且为 100%时，那么 BL 模型和EP 模型的解析解分别可以表达为如下形式：BL：,- = ,1 + -1 ,1 + -,- = ,1 + -1EP：,- = + ()1 ( ) ,- = + ()1 ()1 ()1)从公式中可以看出，在 BL 模型中只要表达了观点，不论观点与先验分布是否一致，都会使得协方差矩阵中相应的资产波动率减小，也就是说不确定性下降。但是如果观点与先验分布

35、一致，本质代表的是观点并未带来任何减熵的信息，从而分布不应该变化，资产的波动率也不应减小。而在 EP 模型中，如果观点与先验分布一致，后验分布就等于先验分布，不会有变化。因此从这个角度来说，EP 模型也比 BL 模型更加合理。熵池模型的应用实例资产配臵场景下的熵池模型优点熵池模型主要解决观点融合问题，在整体资产配臵框架中起到承上启下的作用。在观点融合问题解决后，不断拓展观点端各类模型（客观亦或主观）的预测精度和预测广度，将给资产配臵带来源源不断的正向作用，好比 Alpha 端之于选股模型。图表 9：国盛金工量化FOF 配臵体系构架资料来源：国盛证券研究所在我们之前的报告宏观逻辑的量化验证：中国

36、利率先行指标体系构建当中，我们通过简单分布平移的方式融合新观点，其主要过程为：1、将利率预测的信号通过久期公式转化为国债收益率期望预期 .国债/（日级别）；2、将每一个国债历史收益率（日级别）加上均值调整项：预期 .国债/ 历史 .国债/。经过此调整后的国债收益率分布均值将变为利率模型预测下的均值，从而为资产配臵模型带来一定的 Alpha。这样调整的好处在于不会改变国债收益率分布的方差、偏度、峰度等高阶矩特征，使得其边缘分布形状不变。而这样的调整也有坏处：1、分布平移使得尾部发生了变化，比如预测均值高于历史均值，则会导致左尾减小（最坏情况变好），风险被低估，预测目标（均值）与最终调整结果（均值

37、+尾部）不匹配；2、 简单分布平移仅针对所预测的资产，对于与其有相关性的资产无法同时调整，比如当股债同步时，提高债券的收益率均值理论上应同样提高股票收益率均值，如果没有相应的外部股票模型发出观点，简单分布平移难以对股票作出合适调整。而熵池模型则不存在这两个问题，首先 EP 模型情景集不变，因此后验分布中尾部范围不会变化，仅是尾部发生的概率可能被调整。而针对第二个问题，我们以一个数值实验来说明。首先构造两个均值皆为 0 的资产收益率分布，其相关系数设为 0.6。针对第一个资产给予观点：(1) = 1图表 10：熵池模型数值实验结果资料来源：国盛证券研究所通过 EP 模型计算后得到的后验分布中资产

38、 1 的均值达到了观点的要求为 1，而资产 2的均值达到了 0.6。也就是说 EP 模型能自动根据相关性调整所有资产的分布，当一个资产的均值被调高后，与其正相关的其他资产均值也会被适当调高。在整体资产分布较为复杂，观点多样化的情形下，EP 模型以最大熵原理对分布进行整体的调整，比简单分布平移或者主观臆断调整更为科学便捷。熵池模型下观点融合的实际效果在本报告中，我们继续沿用宏观逻辑的量化验证：中国利率先行指标体系构建中的资产配臵模型：概率优化模型，以及 10 年期国债收益率预测模型。选用如下资产进行资产配臵模拟测试：图表 11：示例资产类别与代理指数资产类别代理指数A 股大市值沪深 300 指数

39、美股标普 500 指数A 股中小市值中证 500 指数港股恒生指数黄金SGE 黄金 9999 指数债券中债-国债总财富(7-10 年)指数资料来源：国盛证券研究所我们将优化函数设臵为以下风险目标：考虑双边 0.5%的换手费用下，未来 1 个月收益小于 1%或者最大回撤超过-0.6%的概率。并通过蒙特卡洛优化算法以月频为调仓周期最小化此风险目标以求出最优的资产配臵比例。min ( 1% + 0.5% | | , 0.6%)+112 +11对于输入的资产收益率分布，我们分别采用历史分布、简单平移分布和 EP 完全信心分布进行回测，后两者将利用同样的利率预测信号调整历史分布。所输入的 10 年期国债

40、收益率预测信号的历史月度方向胜率为 69%，信号通过与中债-国债总财富(7-10 年)指数的历史久期的组合即可计算出其未来预期收益率。图表 12：10 年期国债利率预测信号表现资料来源：Wind，国盛证券研究所模型 2008 年 1 月至 2020 年 1 月回测结果如下：图表 13：资产配臵模型回测结果总收益年化收益最大回撤夏普率原始策略96.45%5.92%-12.35%0.91简单分布平移策略104.68%6.29%-15.66%0.86EP 完全信心策略172.15%8.90%-13.77%1.19资料来源：Wind，国盛证券研究所图表 14：概率优化模型回测净值曲线资料来源：Wind

41、，国盛证券研究所从回测结果来看，EP 模型对利率预测信号的利用效果远远好于简单分布平移，简单分布平移中的许多看似细枝末节的问题对最终的配臵结果造成了很大的影响。EP 模型利用利率预测信号通过最大熵原理对整体分布进行全局的调整，使得后验分布对未来更具有预测能力。图表 15：资产配臵测试历史仓位资料来源：Wind，国盛证券研究所总结与展望熵池模型的优点总结EP 模型在解决观点融合和分布更新的场景下，其无论是从泛化能力还是从调整精度来说都要优于传统方法，当前已有瑞典北欧斯安银行（SEB，北欧最大的金融集团之一）、安本标准（Aberdeen Standard，英国最大的主动式资产管理公司）等机构开始使

42、用。相关论文也在 2010 年以后不断有发表，对模型进行不断的测试与修正，因此本报告希望国内也能有更多机构投资者了解到此模型，并在投资实践中受益。熵池模型的最主要的优点可以归纳为如下几点：1、可融合几乎任意形式的观点（线性与非线性、等式与非等式）；2、可对任意分布进行观点融合；3、可以幂集映射的方式融入观点间的相关性；4、观点的影响具有整体性，会对相关资产做全局调整；5、利用最大熵原理避免不必要的假设和结构；6、情景表达法下无需重定价，计算速度更快。熵池模型拓展与应用场景展望当资产配臵研究达到一定程度后，自然而然需要将观点逻辑与量化模型进行有机的结合。以安本标准为例，其在大类资产判断上构建了许

43、多的情景，他们认为资产收益率之所以有肥尾特性，主要是因为市场并不只有一种状态，通过分析市场的不同状态，构建出未来可能的情景，就可以对资产组合进行压力测试，这将有助于提高资产配臵的稳健性和应对风险的能力。其中，熵池模型就扮演着观点逻辑与风险模型有机结合的角色。因此，对于熵池模型，我们未来的一个展望就在于可以应用在压力测试上。关于熵池模型本身，其实仍有较多的扩展空间，首先其应用的范围不局限于资产配臵场景，对于因子择时、行业配臵、衍生品定价、衍生品做市等，都具有应用前景，在今后的报告中，我们将对其中的部分场景展开研究。熵池模型从理论层面也有扩展空间，包括极端观点的融合、路径分布代替样本点的分布、因子模型下的表达等值得我们未来去探索。参考文献Almgren, R., & Chriss, N. (2007). Optimal portfolios from ordering informat ion. In Forecasting Expected Returns in the Financial Markets (pp. 55 -100). Academic Pre