版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
1、4 对称矩阵的对角化1定理:设 l1, l2, , lm 是方阵 A 的特征值, p1, p2, , pm 依次是与之对应的特征向量,如果 l1, l2, , lm 各不相同,则p1, p2, , pm 线性无关 (P.120定理2)2可逆矩阵 P ,满足 P 1AP = L (对角阵)AP = PLApi = li pi (i = 1, 2, , n)A 的特征值对应的特征向量其中?(Ali E) pi = 0 矩阵 P 的列向量组线性无关3定理:设 l1, l2, , lm 是方阵 A 的特征值, p1, p2, , pm 依次是与之对应的特征向量,如果 l1, l2, , lm 各不相同
2、,则p1, p2, , pm 线性无关(P.120定理2)定理: n 阶矩阵 A 和对角阵相似(即 A 能对角化)的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量(P.123定理4)推论:如果 A 有 n 个不同的特征值,则 A 和对角阵相似说明:当 A 的特征方程有重根时,就不一定有 n 个线性无关的特征向量,从而不一定能对角化(P.118例6)4定理:设 l1, l2, , lm 是方阵 A 的特征值, p1, p2, , pm 依次是与之对应的特征向量,如果 l1, l2, , lm 各不相同,则p1, p2, , pm 线性无关(P.120定理2)定理:设 l1 和 l2 是对称阵
3、A 的特征值, p1, p2 是对应的特征向量,如果 l1 l2 ,则 p1, p2 正交(P.124定理6)证明: A p1= l1 p1, A p2= l2 p2 , l1 l2 l1 p1T = (l1 p1)T = (A p1)T = p1T A T = p1T A (A 是对称阵)l1 p1T p2 = p1T A p2 = p1T (l2 p2 ) = l2 p1T p2 (l1 l2) p1T p2 = 0因为l1 l2 ,则 p1T p2 = 0,即 p1, p2 正交5定理:设 A 为 n 阶对称阵,则必有正交阵 P,使得P 1AP = PTAP = L,其中 L 是以 A
4、的 n 个特征值为对角元的对角阵(不唯一).(P.124定理7)定理: n 阶矩阵 A 和对角阵相似(即 A 能对角化)的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量 (P.123定理4)推论:如果 A 有 n 个不同的特征值,则 A 和对角阵相似说明:当 A 的特征方程有重根时,就不一定有 n 个线性无关的特征向量,从而不一定能对角化6定理: n 阶矩阵 A 和对角阵相似(即 A 能对角化)的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量 (P.123定理4)推论:如果 A 有 n 个不同的特征值,则 A 和对角阵相似说明:当 A 的特征方程有重根时,就不一定有 n 个线性无关的特征向
5、量,从而不一定能对角化推论:设 A 为 n 阶对称阵,l 是 A 的特征方程的 k 重根,则矩阵 A lE 的秩等于 n k,恰有 k 个线性无关的特征向量与特征值 l 对应7例:设 ,求正交阵 P,使P1AP = L对角阵.解:因为 A 是对称阵,所以 A 可以对角化求得 A 的特征值 l1 = 2, l2 = l3 = 1 8当 l1 = 2 时, 解方程组 (A + 2E) x = 0 ,得基础解系 当 l2 = l3 = 1 时, 解方程组 (AE) x = 0 ,得 令 ,则 . 问题:这样的解法对吗?9当 l1 = 2时,对应的特征向量为 ;当 l2 = l3 = 1 时,对应的特
6、征向量为 .显然,必有x1x2 , x1x3 ,但x2x3 未必成立于是把 x2, x3 正交化:此时x1h2 , x1h3 ,h2h3 10单位化:当 l1 = 2时,对应的特征向量为 ;当 l2 = l3 = 1 时,对应的特征向量为 .11当 l1 = 2时,对应的特征向量为 ;当 l2 = l3 = 1 时,对应的特征向量为于是 p1, p2, p3 构成正交阵从而 12把对称阵 A 对角化的步骤为:求出 A 的所有各不相同的特征值 l1, l2, , ls ,它们的重数依次为k1, k2, , ks (k1 + k2 + + ks = n)对每个 ki 重特征值 li ,求方程组 |
7、 Ali E | = 0 的基础解系,得 ki 个线性无关的特征向量把这 ki 个线性无关的特征向量正交化、单位化,得到 ki 个两两正交的单位特征向量因为k1 + k2 + + ks = n ,总共可得 n 个两两正交的单位特征向量这 n 个两两正交的单位特征向量构成正交阵 P,便有P 1AP = L L 中对角元的排列次序应于中列向量的排列次序相对应.13例:设 ,求 An .分析:数学归纳法14定理:若 n 阶矩阵 A 和 B 相似,则 A 和 B 的特征多项式相同,从而 A 和 B 的特征值也相同推论:若 n 阶矩阵 A 和 B 相似,则 A 的多项式 j (A) 和 B 的多项式 j (B) 相似若 n 阶矩阵 A 和 n 阶对角阵 L = diag(l1, l2, , ln ) 相似,则从而通过计算j (L) 可方便地计算j (A).若j (l) = | AlE |,那么 j (A) = O(零矩阵).15例:设 ,求 An .分析:数学归纳法因为 A 是对称阵,所以 A 可以对角化求得 A 的特征值 l1 = 1, l2 = 3下面求满足 P 1AP = 的可逆矩阵 P 16下面求满足 P 1AP = 的可逆矩阵 P
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 2025年度虫草产业大数据分析与应用合同3篇
- 2025年度美容院美容产品研发成果转化合同4篇
- 二零二五年度绿色出行出租车司机招聘合同4篇
- 2025年度电梯安全拆除及安全防护设施安装合同4篇
- 2025年度个人购房借款合同物业管理服务协议4篇
- 二零二五年度高档瓷砖翻新改造服务合同4篇
- 2025年度摩托车维修保养服务连锁经营合同4篇
- 二零二五年度厨房设备安装与智能化系统升级合同4篇
- 2025年度文化旅游景区门票销售合同4篇
- 2025年度智能化住宅窗帘安装及售后服务合同4篇
- 环境监测对环境保护的意义
- 2023年数学竞赛AMC8试卷(含答案)
- 神经外科课件:神经外科急重症
- 2024年低压电工证理论考试题库及答案
- 2023年十天突破公务员面试
- 《疯狂动物城》中英文对照(全本台词)
- 医院住院医师规范化培训证明(样本)
- 小学六年级语文阅读理解100篇(及答案)
- 气功修炼十奥妙
- 安徽省物业服务标准
- 勾股定理的历史与证明课件
评论
0/150
提交评论