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文档简介

1、4 对称矩阵的对角化1定理:设 l1, l2, , lm 是方阵 A 的特征值, p1, p2, , pm 依次是与之对应的特征向量,如果 l1, l2, , lm 各不相同,则p1, p2, , pm 线性无关 (P.120定理2)2可逆矩阵 P ,满足 P 1AP = L (对角阵)AP = PLApi = li pi (i = 1, 2, , n)A 的特征值对应的特征向量其中?(Ali E) pi = 0 矩阵 P 的列向量组线性无关3定理:设 l1, l2, , lm 是方阵 A 的特征值, p1, p2, , pm 依次是与之对应的特征向量,如果 l1, l2, , lm 各不相同

2、,则p1, p2, , pm 线性无关(P.120定理2)定理: n 阶矩阵 A 和对角阵相似(即 A 能对角化)的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量(P.123定理4)推论:如果 A 有 n 个不同的特征值,则 A 和对角阵相似说明:当 A 的特征方程有重根时,就不一定有 n 个线性无关的特征向量,从而不一定能对角化(P.118例6)4定理:设 l1, l2, , lm 是方阵 A 的特征值, p1, p2, , pm 依次是与之对应的特征向量,如果 l1, l2, , lm 各不相同,则p1, p2, , pm 线性无关(P.120定理2)定理:设 l1 和 l2 是对称阵

3、A 的特征值, p1, p2 是对应的特征向量,如果 l1 l2 ,则 p1, p2 正交(P.124定理6)证明: A p1= l1 p1, A p2= l2 p2 , l1 l2 l1 p1T = (l1 p1)T = (A p1)T = p1T A T = p1T A (A 是对称阵)l1 p1T p2 = p1T A p2 = p1T (l2 p2 ) = l2 p1T p2 (l1 l2) p1T p2 = 0因为l1 l2 ,则 p1T p2 = 0,即 p1, p2 正交5定理:设 A 为 n 阶对称阵,则必有正交阵 P,使得P 1AP = PTAP = L,其中 L 是以 A

4、的 n 个特征值为对角元的对角阵(不唯一).(P.124定理7)定理: n 阶矩阵 A 和对角阵相似(即 A 能对角化)的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量 (P.123定理4)推论:如果 A 有 n 个不同的特征值,则 A 和对角阵相似说明:当 A 的特征方程有重根时,就不一定有 n 个线性无关的特征向量,从而不一定能对角化6定理: n 阶矩阵 A 和对角阵相似(即 A 能对角化)的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量 (P.123定理4)推论:如果 A 有 n 个不同的特征值,则 A 和对角阵相似说明:当 A 的特征方程有重根时,就不一定有 n 个线性无关的特征向

5、量,从而不一定能对角化推论:设 A 为 n 阶对称阵,l 是 A 的特征方程的 k 重根,则矩阵 A lE 的秩等于 n k,恰有 k 个线性无关的特征向量与特征值 l 对应7例:设 ,求正交阵 P,使P1AP = L对角阵.解:因为 A 是对称阵,所以 A 可以对角化求得 A 的特征值 l1 = 2, l2 = l3 = 1 8当 l1 = 2 时, 解方程组 (A + 2E) x = 0 ,得基础解系 当 l2 = l3 = 1 时, 解方程组 (AE) x = 0 ,得 令 ,则 . 问题:这样的解法对吗?9当 l1 = 2时,对应的特征向量为 ;当 l2 = l3 = 1 时,对应的特

6、征向量为 .显然,必有x1x2 , x1x3 ,但x2x3 未必成立于是把 x2, x3 正交化:此时x1h2 , x1h3 ,h2h3 10单位化:当 l1 = 2时,对应的特征向量为 ;当 l2 = l3 = 1 时,对应的特征向量为 .11当 l1 = 2时,对应的特征向量为 ;当 l2 = l3 = 1 时,对应的特征向量为于是 p1, p2, p3 构成正交阵从而 12把对称阵 A 对角化的步骤为:求出 A 的所有各不相同的特征值 l1, l2, , ls ,它们的重数依次为k1, k2, , ks (k1 + k2 + + ks = n)对每个 ki 重特征值 li ,求方程组 |

7、 Ali E | = 0 的基础解系,得 ki 个线性无关的特征向量把这 ki 个线性无关的特征向量正交化、单位化,得到 ki 个两两正交的单位特征向量因为k1 + k2 + + ks = n ,总共可得 n 个两两正交的单位特征向量这 n 个两两正交的单位特征向量构成正交阵 P,便有P 1AP = L L 中对角元的排列次序应于中列向量的排列次序相对应.13例:设 ,求 An .分析:数学归纳法14定理:若 n 阶矩阵 A 和 B 相似,则 A 和 B 的特征多项式相同,从而 A 和 B 的特征值也相同推论:若 n 阶矩阵 A 和 B 相似,则 A 的多项式 j (A) 和 B 的多项式 j (B) 相似若 n 阶矩阵 A 和 n 阶对角阵 L = diag(l1, l2, , ln ) 相似,则从而通过计算j (L) 可方便地计算j (A).若j (l) = | AlE |,那么 j (A) = O(零矩阵).15例:设 ,求 An .分析:数学归纳法因为 A 是对称阵,所以 A 可以对角化求得 A 的特征值 l1 = 1, l2 = 3下面求满足 P 1AP = 的可逆矩阵 P 16下面求满足 P 1AP = 的可逆矩阵 P

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