自考 线性代数第三章向量空间

1、第三章 向量空间第二节 n维向量及其线性运算 第三节 线性相关与线性无关第一节 线性方程组的消元解法() 第四节 向量组的秩 第五节 向量空间 （1）一般形式： 系数矩阵未知量向量常数项向量第一节 线性方程组的消元解法矩阵形式： 增广矩阵 例 线性方程组增广矩阵 例 线性方程组的增广矩阵为那么线性方程组为 例1交换第1、3方程对应的增广矩阵：12233(-2)4出现阶梯形方程组，消元过程结束.4回代：567(1)(4)是消元过程，(5)(7)是回代过程.简化阶梯形原方程组有唯一解. 消元解法事实上对方程组施行了以下三种变换：1交换方程组中两个方程的位置；2用数k0乘方程组中的某个方程；3把方程

2、组中某个方程的两端同乘数k后再加到另一个方程上.以上三种变换统称为线性方程组的初等变换.不改变方程组的解. 消元法解线性方程组就是对方程组的增广矩阵施以初等行变换.由例1看出：先化阶梯形矩阵，进一步再化简化阶梯形矩阵.例2解：0 -4 3 -11 0 1 3 -1 0 0 15 -15 0 1 3 -1 0 -4 3 -11 1 -1 0 1 0 2 1 2 0 2 1 0 0 -2方程组有唯一解：P78例2例3解：0 -1 -1 1 0 0 0 0 同解方程组为：P78例310-53x3为自由未知量.令x3=c,得到方程组的无穷多解：(c为任意常数)自由未知量个数= n-r例40=2,矛盾方

3、程.无解.消元解法解方程组对增广矩阵作行变换.例2例3例3方程组Ax=b有解r(Ab)=r(A)r(Ab) = r(A)= 3= nr(Ab) = r(A)= 2=n=4r(Ab) r(A)唯一解无穷多解无解1.写出线性方程组的增广矩阵 2.利用初等行变换，把增广矩阵化为阶梯形矩阵，不妨设其为 消元解法求解线性方程组 ，就是将增广矩阵利用初等行变换先化为阶梯形，再化简化阶梯形矩阵. 一般地，(Ab)假设那么r(A)= r方程组无解.假设dr+1=0, 那么转下步.3.继续用矩阵的初等行变换，把阶梯形矩阵化为简化阶梯形矩阵.(1)假设r=n，那么有唯一解：(2)假设rn，那么有无穷多解：c1cn

4、-rc1cn-rc1cn-rc1,c2,cn-r为任意常数.通常称上式为方程组的解的一般形式，简称一般解.c1, c2, , cn-r为任意常数.齐次线性方程组：线性方程组1中的常数项均为零.2矩阵表示式： 其中 定理 齐次线性方程组(2)有非零解的充要必要条件是 r(A) n定理3.1.1 线性方程组（1）有解的充分必要条件是：并且12(1)当方程组有唯一解；(2)当方程组有无穷多解.齐次方程组(2)有唯一零解r(A) = n推论1 假设方程个数m 变量个数n，那么 AX = O有非零解.定理3.1.2 齐次线性方程组AX=O有非零解 r(A) n因为 r(A) = r minm, n= m

5、 n所以有非零解.推论2 假设方程个数m =变量个数n，那么 AX = O有非零解|A|=0.必要性假设AnnX = O 有非零解，由定理知,r(A) nA非满秩矩阵，所以 |A|=0.充分性假设 |A|=0，那么r(A) n，所以有非零解.例4 判断以下方程组是否有非零解.12解 1因为r(A)=3=n未知量的个数，所以1仅有零解.2因为m=2 n=4，所以2有非零解.或求|A|，判别是否为0.练习： 1 1 1 9 9 0-1唯一解：练习： P79 1.(2).解：0 0一般解为：-1 -6 40 -3-181501 6 -50 0 0 -1 01000-8x3为自由未知量.例5 a 满足

6、什么条件时，方程组无解？方程组有解，有多少解？并求解.解方程组无解；方程组有解.且有无穷多个解.自由未知量个数= n - r=001/56/52/5例7 取何值，方程组有唯一解；无解？有无穷多解？在有无穷多解时，求一般解.解由Cramer法那么，方程组有唯一解；当所以，方程组无解.当自由未知量几个？一般解为：本节根本要求：1. 理解线性方程组有解的判定定理，齐次线性方 程组有非零解的条件；2. 熟练掌握线性方程组的消元解法.定义 称为n维向量，常用希腊字母， 或 x，y 等表示. 由n个数a1, a2, an组成的一个有序数组第二节 n维向量及其线性运算一、向量及其线性运算1. 向量的概念(

7、a1, a2, an )行向量与列向量统称为向量.行向量是1n的行矩阵；列向量是n1的列矩阵. 向量的本质是有序数组，至于采用行向量还是列向量形式，要根据具体情况来确定，并且可以用转置记号把两种形式转化. 设两个n维向量 那么称两个向量相等，记作 =.所有分量全为零的向量称为零向量，记作O. 记为 -每一行都是一个n维行向量，矩阵A可以写成： 一个 mn 矩阵 称为矩阵A的行向量组.m个n维向量每一列都是一个m维列向量，矩阵A可以写成： 称为矩阵A的列向量组.n个m维向量设两个n维向量 为向量 与 的和，记作 +.2. 向量的线性运算称称为向量 与 的差.称为数k与向量 的乘积，简称数乘.向量

8、的加(减)法、向量的数乘运算，统称为向量的线性运算.向量的线性运算满足八条运算律，见P82.例1 设向量 = (2, 1, 3), = (-1, 3, 6), = (2,-1,4),求2 +3 - .解：2( 2, 1, 3) +3 ( -1, 3, 6 ) - (2, -1, 4)= ( 4, 2, 6 )+( -3, 9, 18 )- ( 2, -1, 4 )例2 设 =(1, 0, -2, 3), = (4, -1, -2, 3 ), 求满足 2 +3 =O的向量.解：3 = -2 -2 +3-= ( -1, 12, 20)例3 (线性方程组的向量形式)记那么上述方程组可写成=二、向量的

9、线性组合1. 线性组合定义是n维向量组，是常数,那么称为向量组的一个线性组合.称为组合系数.设向量组及向量，假设存在一组数k1, k2, km，使得那么称向量是向量组的线性组合，或称向量可由向量组线性表示.称k1, k2, km为组合系数.由定义易得到如下结论：例如：向量1(1，2，4),2(0，1，1)，(1，3，5)，考察是否是1, 2的线性组合.(1) 零向量可由任意向量组线性表示.(2) 向量组中的任一向量都可由该向量组线性表示.如：(3) 任一n维向量都可由n维向量组线性表示.称为n维标准单位向量组.例1问向量 是否是向量组的线性组合.解：令唯一解：且表示法唯一.观察增广矩阵的构成.

10、(假设列向量那么不需转置)例2问向量能否表示成的线性组合.解：令同解方程组：且表示法不唯一.观察增广矩阵的构成.令k3=0,得解：k1=3, k2= -1, k3=0.令k3=1,得解：k1=1, k2= 0, k3=1.即AX=向量 可由向量组线性表示方程组(1)有解.假设有唯一解，那么表示式唯一；假设有无穷多解，那么表示法不唯一.r(A)=r(A)注：假设给行向量，那么方程组有唯一解方程组有无穷多解 方程组无解有解且组合系数就是线性方程组的解.答案：不能另解例2练习：解：令其中一个解：k1=3, k2=-1, k3=0另一解：k1=1, k2=0, k3=1定义设两个向量组等价关系具有如下

11、性质： 反身性; 对称性； 传递性. 假设向量组()中每一个向量都可以由向量组()线性表示，那么称向量组()可以由向量组()线性表示.如果()与()可以相互线性表示，那么称向量组()与()等价.记作 () （）反之亦然.那么第三节 线性相关与线性无关定义设有n维向量组假设存在一组不全为零的数 使得那么称向量组线性相关.称为相关系数.否那么，称向量组引例:1=(1,2), 2=(2,4) (1)仅当时，(1)式才成立.线性无关.一、线性相关与线性无关的概念2=21共线“否那么的涵义？线性无关.由定义易得重要结论：(1) 含有零向量的向量组线性相关.(2) 假设向量组中某两个向量对应分量成比例，那

12、么向量组线性相关.(3) 一个零向量线性相关；一个非零向量线性无关.(4) 初始单位向量组 1，2，n线性无关.令 (1)例1 判断向量组的线性相关性.解：显然，线性相关.(1)(2)解：令=00 2 20 5 5所以方程组有非零解.线性相关.另解：0 1 10 0 0考察A的构成一般的， n 维向量组线性相关存在不全为零的k1, k2, , km, 使得(1)即(1)有非零解.r(A)= r 方程个数故方程组有非零解.二、线性相关的假设干定理定理3.3.1 证 必要性假设向量组线性相关，则有不全为零的数使不妨设假设向量组中有某个向量是其余 m-1 个向量的线性组合.于是所以向量组1, 2,

13、m线性相关.向量组线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量是其余m-1个向量的线性组合.那么充分性不妨设的线性组合，那么存在一组数k1, k2, , km-1，使得问：定理的等价命题？定理3.3.2 证 那么有不全为零的数k1,k2,km, k使假设等价于：若向量组线性无关，而向量组线性相关 ,线性相关，因那么 k 0.假设k=0，那么1, 2, , m线性相关. 因为线性无关，表示式唯一.例1 证由的推论2知，由知，设向量 = ( a1, a2, , an ).证明：任一n维向量 都可由n维初始单位向量组1, 2, , n唯一地线性表示.1，2，n， 线性相关.而1，2，n线性无关,向量可

14、由1, 2, n线性表示，且表示式唯一. = a11+a22+ann例如：那么例2 证：反证法.那么有不全为零的数使于是有假设向量组a1, a2, , am , am+1线性相关，不全为零.故向量组 线性相关，与已知矛盾.不能由向量组线性无关，而向量设向量组am+1a1, a2, , ama1, a2, , am线性表示，证明 a1, a2, , am , am+1 线性无关.因为 am+1不能由 a1, a2, , am 线性表示， 所以 km+1= 0.定理 假设向量组中有一局部向量称为局部组线性相关， 那么该向量组线性相关.简言之，假设局部线性相关，那么整体必线性相关.(利用定义易证.)

15、若向量组线性无关，则其中任意部分线性无关.简言之，假设整体线性无关，那么任意局部都线性无关.如：线性相关线性相关.称向量 是向量 的 “接长向量.定理3.3.4 接长向量：设有r 维向量再添加 l 个分量得：设有 r 维线性无关向量组分别为的接长向量,则线性无关.如：接长向量：第四节 向量组的秩的极大无关组就是其本身.注 (1)向量组的极大无关组就是向量个数到达最大的线性无关的 局部组.如：向量组 (2)假设一个向量组线性无关，那么其极大线性无关组就是向量组本身.一、 向量组的极大线性无关组定义3.4.1 如果向量组的一个部分组满足(1)线性无关；(2) 向量组中任意r+1个向量(若有的话)都

16、线性相关.那么称为向量组的一个极大无关向量组.=再在剩余向量中(假设有)任取一个添加为r+1个向量都线性相关.(3) 同一个向量组,其极大无关组可以不唯一,但所含向量个数唯一.例如：的极大无关组：线性表示.等价定义：定义3.4.2 如果向量组的一个部分组满足(1)线性无关；中的任一向量都可由(2)那么称是向量组的一个极大无关组.定理向量组与其极大无关组等价.极大无关组的作用.同一个向量组的两个极大无关组等价.定理3.4.2 若向量组可由向量组线性表示，且 r s，那么向量组线性相关.表示、大、相关.等价于且向量组线性无关.那么 r s .且两个向量组可以相互线性表示，推论1 若向量组与向量组都

17、线性无关，那么 s = t .证：可由线性表示，线性无关所以， s t .同理， t s .s = t .简言之：两个等价的线性无关的向量组所包含的向量个数相等.若向量组可由向量组线性表示，注： (1)规定只含零向量的向量组的秩为零.推论2 向量组的任意两个极大无关组所含的向量个数相等.证：设与都是的极大无关组.由等价关系的传递性知，二、向量组的秩定义3.4.2 向量组的极大无关组所含向量的个数，称为向量组的秩，记作如：n(2) 对于任意n维向量组有且个数维数设n维向量组的极大无关组为线性无关再次说明“个数大于维数的向量组线性相关.可由 线性表示.由极大无关组与向量组的秩的定义得到以下结论：(

18、3) 等价的向量组的秩相等.(1) 向量组线性无关=向量个数.向量组线性相关(2)设那么任一含r+1个向量的局部组都线性相关，而任一含r个向量的线性无关的局部组都是极大无关组.设r=m.(4)若可由线性表示,则线性表示r m.定理 初等变换不改变矩阵的行秩列秩. 定义 矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩 ； 矩阵A的列向量组的秩称为矩阵A的列秩 .三、 向量组的秩与极大无关组的求法如:A的行向量组A的列向量组是矩阵A的行秩；是矩阵A的列秩.定理3.4.5 任一矩阵A的行秩与列秩相等，都等于矩阵A的秩.向量组的秩的方法 以给定的向量为行列作成矩阵A，然后用初等变换化A为阶梯形矩阵，求出A的秩，

19、即是向量组的秩.1.定义法2.转化为矩阵，利用初等变换法.即例1 求向量组的秩，并判断其线性相关性.解：线性相关. m 初等变换法不仅能求向量组的秩还可以求出极大无关组.为此有以下推论.推论 2 初等行变换不改变矩阵列之间的线性关系， 初等列变换不改变矩阵行之间的线性关系.即：设行变换(1)假设A的列向量组中线性无关(相关)，那么矩阵B中对应的列向量组也线性无关(相关).那么有以下关系：(2)假设A的列向量组中某个j可表示为：那么矩阵B中对应的列向量j也可表示为：表示系数对应相同.如例1中，行变换 1 2 0 -1而且由显然 线性无关，所以 线性无关，所以 是极大线性无关组.得例2 求以下向量

20、组的一个极大无关组，并将其余向量表示为该 极大无关组的线性组合.解：按列构成45矩阵，并作初等行变换：0 1 3 2 10 2 8 6 40 3 15 12 90 2 2 20 6 6 61 1 10 0 0P101 例70 1 0 -1 -21 1 0 0 01 0 0 1 2线性无关，线性无关，向量组的极大无关组：又因为：所以，又因为：所以，解：把行向量转置为列向量构成矩阵A，再施以初等行变换：例3的一个极大线性无关组，并把其余向量用该极大线性无关组表示. 0 0 -8 8 8 0 -1 2 2 -1 0 -2 13 -11 -11 0 9 -15 -9 1 -1 -1 0 -6 0极大无关组：解：以向量为列构成矩阵A，再施