矢量基本概念讲解

1、（一）矢量基本概念定义既有大小又有方向的量称为矢量（或向量）。表示法定义有向线段的长度，称为向量的模（或向量的长度），记做ab,a。特殊的向量零矢量：长度为0的向量。零向量的方向是不确定的。单位矢量：长度为1的矢量。向量之间的关系两矢量相等：长度相等，方向相同，与起点无关。反矢量：长度相同，方向相反的矢量。共线矢量：平行于同一直线的一组矢量。共面矢量：平行于同一平面的一组矢量。关于向量之间的关系，有下面结论：零矢量与共线（共面）的矢量组均共线（共面）；共线矢量必共面；两矢量必共面三矢量中若有两矢量共线，则这三矢量一定共面。（二）矢量的運算（一）矢量的加法矢量的和（三角形法则）设已知矢量a,b，

2、以空间任意一点o为始点接连作矢量oa二a,AB=b得一折线oab，从折线的端点o到另一端点b的矢量ob二c，叫做两矢量a与b的和，记做c=a+b。矢量的和（平行四边形法贝D如图示，有c=a+b。n-1An-1一般地：矢量的加法还满足多边形法则：OA=OA+AA+.+AA运算规律：1）1）交换律：a+b=b+a；2）2）结合律：（a+b）+c=a+（b+c）。矢量的差_若b+c=a，则称c为矢量a与b的差，并记作c=a-b。由定义，得矢量减法的几何作图法:口矢量加法的性质（1）a一b=a+（一b）（2）ia+biiai+1bi（3）Ia-b11aI+1bI（4）Ia+a+aIIaI+IaI+Ia

3、I12n12n（二）矢量的数乘定义（数量乘矢量）实数九与矢量a的乘积九a是一个矢量，（1）（1）其模为I九aI=I九I-1aI；（2）（2）其方向由下列规则决定：当九0时，九a与a方向相同；当九证明：a-b=(xi+yj+zk)-(xi+yj+zk)=xxi-i+xyi-j+Fzzk-k111222-*-*-*-*又i-i=j-j=k-k=1，i-j=i-k=j-k=0,二a-b=xx+yy+zz。121212222xxi-121212三、矢量的方向角与方向余弦：定义矢量与坐标轴所成的角叫做矢量的方向角，记为Cosa,CosP,Cos九。a,P,九。方向角的余弦叫做矢量的方向余弦，记为定理x若

4、a=(x,y,z)，贝yCosa=iaiyix2+y2+z2CosP=y=1.-，iaitX2+y2+z2Cos九=1=iai.；x2+y2+z2证明：/a-i=iai-Cosa，且a-i=x，:.iaiCosa=xCosa=iai同理可证另两个结论。推论a0=Cosa,CosP,CosynCos2a+Cos2P+Cos2y=1。四、两矢量的夹角若a=(x1,y1,b二(X2,y2,Z2)则Cos/(a,b)=bIaI-1bIxx+yy+zz,121212x2+y2+z2x2+y2+z2111222推论b-*a丄boab=0oxx+yy+zz=0。121212四)两矢量的矢性积、一、矢量积的定

5、义与运算性质定义_两个矢量a与b的矢性积(又叫外积，叉积)axb是这样一个矢量：-(1)(1)模长为Iaxb1=1aI-1bISinZ(a,b)；(2)方向为：与a,b均垂直且使(a,b,axb)成右手系。性质1)若a,b中有一个为0，则axb=0。ta-rrT2)axb=0oa,b共线或平行。*3)几何意义：IaxbI表示以a,b为邻边的平行四边形的面积。矢性积的运算规律1)2)1)2)3)同矢量的加3)减反交换律：axb=-bxa。*9-T*T结合律：九(axb)=(九a)xb=ax(kb)。I-I-F-*-I-f分配律：(a+b)xc=axc+bxc数乘运算一样，矢量的数性积运算cx(a

6、+b)=cxa+cxb。也可以象多项式的乘法那样去展开。、坐标计算矢量的矢性积定理在右手系直角坐标系中a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)x1x2jy1y2z1z2=(y1z2-y2卩+(z1x2-z2x1)j+S2-x2y1)k。证明：axb=(xi+yj+zk)x(xi+yj+zk)=xxixi+xyixj+zzkxk111222121212TOC o 1-5 h z#*+FF4*又tixi=jxj=kxk=0,ixj=k,jxk=i,kxi=j,fc-to-*axb=(yz一yz)i+(zx一zx)j+(xy一xy)k，用行列式可记成122112211221，便于记忆。x1

7、x2y1y2z1z2五)矢量的混合积定义FFF(axb)-c称为矢量的混合积,TTfTTff也可记为axb-c或(a,b,c)或(abc)（三）矢量的线性关系与矢量的分解定义由矢量12n与数量九1九2九n所组成的矢量=九11+12nn，叫做矢量12n的线性组合。或称可以用矢量12n线性表示。或称可以分解成矢量12n的线性组合。定义（线性相关）bbb-*b，则对于n(n1)个矢量1，2,-，n，若存在不全为零的实数X1，X2,九n，使得11+22+“=0称矢量I，a2an线性相关。b-关：不是线性相关的矢量叫做线性无关，即矢量12,n线性无九+九H九二0O九二九=.=九二01122nn12n。定

8、理1k1-h在n2时，矢量，,线性相关的充要条件是其中至少有一个矢量是其余矢量的线性组合。12n证明：设矢量，,线性相关，则存在不全为零的实数九，九，,九使得12-九+九+九1122nn-尢XFnX1X2nn12n二0，且九，九，,九中至少有一个不等于0,不妨设九丰0，则12nn九-n-1；尢n-1n中有一个矢量，不妨设为，它是其余矢量的线性组合，即nn，n-1n-1n反过来，设矢量，12.九+九+九，即九+九+九n1122n1n11122n1n1全为0,所以矢量，线性相关。12n显然，如果一组矢量中的部分矢量线性相关，那么这一组矢量就线性相关。如果一组矢量中含有零矢量，那么这一组矢量就线性相

9、关。+（1）0。因为数九，九，九n12n-1，-1不定理2TOC o 1-5 h z彳+f一*若e丰0，则矢量r与e共线orxe且系数x被e,r唯一确定。Tfr-ff=I-证明：若rxe，由定义知，矢量r与e共线。反过来，若矢量r与e共线，则一定存在实数x，使得rxe。ffff如果r0，那么r0-e，即x0。k-fa-最后证明唯一性。若rxexe，则（x一x）e0，而e丰0，所以xx。利用矢量间的线性相关的概念，可推广到更一般的形式：定理2b-sfc-+-F-两矢量r与e共线or,e线性相关。定理3若矢量e,e不共线，则矢量r与e,e共面orxe+ye，且系数x,y被e,e,r唯一确定。121

10、21212证明省略。推广到更一般的形式：定理3三矢量r与e,e共面e,e,r线性相关。1212定理4若矢量e,e,e不共面，则空间任意矢量r均可以由矢量e,e,e线性表示，即r=xe+ye+ze,且系数123123123x,y,z被e,e,e，r唯一确定。123证明省略。推广到更一般的形式：定理4空间任意四个或四个以上的矢量总是线性相关的标架与坐标、坐标的定义在第四节，曾经有个结论：若矢量eie2e3不共面，则空间任意矢量r均可以由矢量分e3线性表示，即r二xei+ye2+ze3，且系数x，y，z被r，ei,e2,e3唯一确定。若eie2e3是单位矢量，则；严2“3叫做空间中的一个标架，称作仿

11、射曹架。；er分7叫做笛卡儿标架。若气*2e3是相互垂直的笛卡儿标架，则叫做笛卡儿直角标架，简称直角标架。定义（坐标）1J1；*2*3I，若二攀+ye2+Ze3，称（XyZ）为r关于标架O；S*-*的；*1*2*3，P为任意一点，OP称为点P的径矢，则OP关于标架的坐标取定标架取定标架123的坐标。歹Zl称为点P的坐标。由标架决定坐标系，则由仿射标架决定的坐标系叫做仿射坐标系，今后我们用的通常是空间右手直角坐标系,f并记ijk为特定的坐标矢量。称为坐标原点，OxOyOz称为坐标轴，xOyxOzyOz称为坐标面。三个坐标面把整个空间分成八个部分，称为八个卦限。二、二、坐标表示矢量的线性运算1.矢

12、量的坐标等于其终点坐标减去其起点坐标。已知A(X1儿Z1)BX2y2Z2)，证明AB二(X2-X1y2-yiZ2-Z1)。证明：由定义，OA=(X1y1Z1)OB=(X2y2Z2)，.AB二B-A二(X2-X1y2-丁1叫Z1)。2.若a=(X,y1zb=(x?,y?，z2),贝gb+a=(X2+H+廿2+Z1)，b-a=（x2x1，y2y1，z2z1），Xa=g，Xy1，Xz1。根据坐标的定义既可证明。3.3.两非零矢量a=（X1，y1，z1）,b=（X2,y2，z2），则a，b推论:共线x一xO1一占A(x,y,z),B(x,y,z),C(x,y,z)共线xx二点111222333共线31

13、xyzo=4=xy22y2一y,yy32z2oz一z21z一z34.4.证明:三非零矢量a二（X1，y1，jb二（X2，y2,z2），C二（X3,y3,z3），.共面O九a+b+Vc=0o系数行列式D=0。则a,bc共面1。x1x2x3X4y1y2yy4z1z2zz45.5.线段的定比分点坐标定义对有向线段P1P2（2），若存在点P满足P1P=XPP2，则称点P分线段空成定比X。定理设PSX1，儿，P2（X2,y2,z2），则分有向线段Pp成定比九的分点P的坐标是x+Xxy+Xyz+九z1+Xy1+X1+X证明：pP=XPP2，用坐标表示，即IX一X1y一y1z一z1=X(x一x)2=X(yy

14、)2二入(z2一z)，解出x，y，z即得。对于平行四边形ABCD，求A,D,AD,DB在仿射标架C;AC，BD中的坐标。解：作图如下11A(-1,0)D(-2,2)例AD=(丄丄)B=22DB=(0,1)用坐标法证明：四面体对棱中点的连线交于一点。（略）矢量在轴上的射影定义（点在轴上的射影）已知一点A及一轴1，过A作垂直于1的平面a，该平面与轴1的交点A称为点A在轴1上的射影。定义（射影矢量）AB的始点A与终点B在轴1上的射影为点AB，则AB就定义为矢量AB在轴1上的射影矢量，记为射影矢定义（射影）矢量AB在轴1的长度，称为矢量AB在轴1上的射影，记为射影1AB（Prj1AB）。_IABIAB

15、与1同方向。即：射影/AB（PrjAB）_-IABIAB与1方向相反。射影定理PrjAB=1AB1-Cos0，其中0为1，AB的夹角证明略。推论相等矢量在同一轴上的射影相等。定理Prj(a+b)二Prja+Prjb定理TOC o 1-5 h zFPrj九a二九Prja（五）典型例題例F试证明：点M在线段AB上的充要条件是：存在非负实数九,卩，使得OM=XOA+PB，且=1,其中0是任意取定的一点。证明：（先证必要性）设M在线段AB上，则AM与AB同向，且0-1AM|-1AB1，trh*h所以AM二kAB，0-k-1。任取一点O,所以0M-0A=k（0B-0A）所以0M=（I-k）0A+kOB取

16、九=1kP=k则九+卩=1九n0卩0（必要性）若对任一点0有非负实数九，卩，使得0M=X0A+MB,且九+卩=1，则aM=0M0A=（九oA+yOB）（九+y）OA=卩（0B0A）=yAB所以AM与AB共线，即M在直线AB上。又0-y-1，所以M在线段AB上。例证明三角形的三条高线交于一点。证明：如图，设AABC的两条高线BE，CF交于点M，连结AM。ABE丄ACCF丄ABBM-AC=0CM-AB=0n(AM-AB)-AC=0nAM-AC=AB-ACn(AM-AC)-AB=0nAM-AB=AC-ABAM-AC二AM-ABnAM-BC二0nAM丄BC延长AM,BC交于D，则AD为BC边上的高。即

17、三条高线交于一点M。例已知三点M(LA(2,2,l),B(2,1,2)，求ZAMB并且求MA在MB上的射影。解.MA=(1,1,0),MB=(1,0,1)MA-MB=1,IMA1=血，丨mB1=血CosZAMB=JMA-MB=1=1.ZAMB丄IMAI-1MBIJ2J223MA=IMAI-CosZAMB=丄射影MB2例证明矢量a(bc)-b(ac)与c相互垂直。*-f-8-B-F-fbf卜*卜hh-8-证明：(a(b-c)-b(a-c)-c=(b-c)(a-c)-(a-c)(b-c)=0例已知空间三点A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5)，试求(1)AABC的面积。(2)AA

18、BC的AB边上的高。解AB=(1,-32),AC=(2,0,-8)SAABC1=11ABxAci=122k2=(24,12,6)-8ABxACI=6J21AABC的面积为3JU。TOC o 1-5 h z又AABC的AB边上的高为1ABxAC1=竺三=3叮6。IABIJ14例若a+b+c=0,贝Uaxb=bxc=cxa，且说明其几何意义。*F-*F-*.一*F-!*FFF-证明：/ax(a+b+c)=ax0=0,又/ax(a+b+c)=axa+axb+axc,+F!*F-axb=cxa。同理可证明axb=bxc。设a,b为两不共线矢量，证明u=a1a+b1b*V=a2a+b2b共线的充要条件是

19、aib1a2b2证明：u，v共线ou，v线性相关，即存在不全为0的实数九，卩，使得九+Z=0即(aX+a卩)a+(bX+b卩)b=0即1212faX+a卩=0又因为a，b不共线oa，b线性无关o1biX+b2卩=0有唯一零解oa1bia2=0b2例对于平行四边形ABCD，求A,D,AD,DB在仿射标架C;AC,BD中的坐标。解：作图如下11A(-1,0)D(-2,2)例AD=(丄丄)B=2211(-2，-2)DB=(0,-1)用坐标法证明：四面体对棱中点的连线交于一点。（略）20022003年应数02级空间解析几何复习试题一.一.填空：（每题6分）1.向量a二&一3,4在向量b二,2,1上的投

20、影。*VFI-已知OA=i+3k,OB=j+3k，则OAB的面积为。2.3.曲线IX2z211Ia2c2y=0绕Z轴旋转一周之曲面方程为x一1yz+3xy+2zL:=L:二=一4.5.求直线1141和22一2一1的夹角为.二次曲线6x2一xy一y2+3x+y一1二0的渐近线为二.（8分）证明：若一个平面与三个坐标轴均相交，则三个截距倒数的平方和等于原点到此平面距离的倒数平方。三.(10分）证明：二次曲线8X2+4Xy+5y2+16X+4y一8二0表示一个椭圆，并写出其标准形。四.(10分）L:Ix+y-z-1二0求直线一y+z+1二0在平面兀：y+2z一1六.（12分）判别两直线2-2-1与直

21、线4+y+z二0上的投影直线的方程。0分）五.(1已知两垂直的直线li：4X+3y一7二0与变换公式，并求l3：3X一y+2二0在原坐标系中的方程。l2：3X一4y+1二0，取11为X轴，l2为y轴，求坐标二y一3二z+12-1的位置关系，并求两直线间的距离。（10分）已知一柱面的准线是球面x2+y2+z2二1和平面x+y+z二0的交线，母线垂直于准线所在的平面，求它的一般方程。（10分）设九卩满足什么条件时，二次曲线x2+6xy+小2+3x+My一4二0（1）有唯一的中心；（2）无中心；（3）有一条中心直线。20022003年应数02级空间解析几何复习试题二.一.填空：（每题6分）1.向量a

22、二&一3,4在向量b二,2,1上的投影。*VFI-已知OA=i+3k,OB=j+3k，则OAB的面积为。2.3.曲线IX2z211Ia2c2y=0绕Z轴旋转一周之曲面方程为x一1yz+3xy+2zL:=L:二=一4.5.求直线1141和22一2一1的夹角为.二次曲线6X2一xy一y2+3X+y一1二0的渐近线为二.（8分）证明：若一个平面与三个坐标轴均相交，则三个截距倒数的平方和等于原点到此平面距离的倒数平方。三.(10分）证明：二次曲线8X2+4Xy+5y2+16X+4y一8二0表示一个椭圆，并写出其标准形。四.(10分）L:Ix+y-z-1二0求直线一y+z+1二0在平面兀：y+2z一1六

23、.（12分）判别两直线2-2-1与直线4+y+z二0上的投影直线的方程。0分）五.(1已知两垂直的直线li：4X+3y一7二0与变换公式，并求l3：3X一y+2二0在原坐标系中的方程。l2：3X一4y+1二0，取11为X轴，l2为y轴，求坐标二y一3二z+12-1的位置关系，并求两直线间的距离。（10分）已知一柱面的准线是球面X2+y2+z2二1和平面x+y+z二0的交线，母线垂直于准线所在的平面，求它的一般方程。（10分）设九卩满足什么条件时，二次曲线X2+6Xy+小2+3X+My一4二0（1）有唯一的中心；（2）无中心；（3）有一条中心直线。解析几何的产生十六世纪以后，由于生产和科学技术的

24、发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如德国天文学家开I勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的太阳处在这个椭圆的一个焦点上意大利科学家伽利略发现投掷物体试验着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。1637年，法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作方法论，这本书的后面有三篇附录，篇叫折光学，一篇叫流星学，一篇叫几何学。当时的这个“几何学”实际上指的是数学，就像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样。笛卡尔的几何学共分三卷，第一卷讨论尺规作图；第二卷是曲线的性质；第三卷是立体和“超立体”的作

25、图，但他实际是代数问题，探讨方程的根的性质。后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的几何学作为解析几何的起点。从笛卡尔的几何学中可以看出，笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、几何统一起来。他设想，把任何数学问题化为一个代数问题，在把任何代数问题归结到去解一个方程式。为了实现上述的设想，笛卡尔茨从天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对(x,y)的对应关系。x,y的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。这就是解析几何的基本思想。具体地说，平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有序的实数对相对应；第二

26、，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了。从这里可以看到，运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来。解析几何的产生并不是偶然的。在笛卡尔写几何学以前，就有许多学者研究过用两条相交直线作为一种坐标系；也有人在研究天文、地理的时候，提出了一点位置可由两个“坐标”（经度和纬度）来确定。这些都对解析几何的创建产生了很大的影响。在数学史上，一般认为和笛卡尔同时代的法国业余数学家费尔马也是解析几何的创建者之一，应该分享这门学科创建的荣誉。费尔马是一个业余从事数学研究的学者，对数论、解析几何、概率论三个方面都有重要贡献。他性情谦和，好静成癖，对自己所写的“书”无意发表。但从他的通信中知道，他早在笛卡尔发表几何学以前，就已写了关于解析几何的小文，就已经有了解析几何的思想。只是直到1679年，费尔马死后，他的思想和著述才从给友人的通信中公开发表。笛卡尔的几何学，作为一本解析几何的书来看，是不完整的，但重要的是引入了新的思想,为开辟数学新园地做出了贡献。解析几何的基本内容在解析几何中，首先是建立坐标系。如上图