条件概率、乘法公式和独立性

1、3条件概率、乘法公式、独立性前面讲到随机事件时，讲到随机事件是在一定条件S下，进行随机试验而可能发生或可能不发生的事件当我们计算事件A的概率P(A)时，假如除了条件S外，不再加上其它条件的限制，我们称此种概率为无条件的概率。 然而在许多实际问题中，还存在着要求一个事件B在某一事件A差不多发生的条件下的概率我们称它条件的概率。一【例1】 设箱中有100件同型产品。其中70件(50件正品，20件次品)来自甲厂，30件(25件正品， 5件次品)来自乙厂。现从中任取一件产品。 (1)求取得甲厂产品的概率； (2)求取得次品的概率； (3)已知取得的是甲厂产品，求取得的是次品的概率。 分析：为了直观，我

2、们将产品情况列成表 上面的问题，可用古典概率计算法求得。解： 则 （1） （2） ， ， （3） 在“已知取得的是甲厂产品”这一条件下任取一件产品，实际上是从甲厂70件产品(50件正品，20件次品)中任取一件。这时样本空间只含70个差不多事件(是原的样本空间的一部分)。由古典概率知： 为了给出条件概率的数学定义，我们对例1的条件概率问题进行分析： 即有 二。条件概率： 设A,B是条件S下的两个随机事件，P(A)0，则称在事件4发生的条件下事件B发生的概率为条件概率, 且 【例 1】从带有自标号1， 2， 3，4，5，6的六个球中，任取两个，假如用A表示事件“取出的两球的自标号的和，为6”，用B

3、表示事件“取出的两球的自标号都处偶数”，试求： 【例】 解； （） ， 三概率的乘法公式： 乘法公式： 两个事件A、B之交的概率等于中任一个事件(其概率不为零)的概率乘以另一个事件在已知前一个事件发生下的条件概率。即 【例2】 盒中有10件同型产品。其中8件正品， 2件次品，现从盒中无放回地连取2件，求第一次、第二次都取得正品的概率。因为 在第一次已取得正品下，第二次再取产品时，盒中只剩9件产品，其中正品只有7件。【例3】10个考签中有4个难签， 3人参加抽签(不放回)，甲先、乙次、丙最后。求甲抽到难签，甲、乙都抽到难签， 甲没抽到难签而乙抽到难签以及甲、乙、丙都抽到难签的概率。解 ： 设事件

4、A，B、C分不表示甲、乙、丙各抽到难签，则 【例4】 【例5】袋中有三个阄，其中仅有一阄为有物之阄，三人排队抓阄，每人取一个，记从此例看出，抓阄时虽排队，但三人是等概的，否则那个方法就可不能被人类采纳达数千年之久。三事件的独立性： 假如则 表示事件A发生并不阻碍事件B发生的概率。即 1定义：设A，B是两个随机事件，假如2性质： 若四对事件与；与；与；与中有一对相互独立，则其余三对也相互独立即下面四个命题是等价的：定义： 应用独立性概念，能够简化概率的计算 【例6】在不超过100个自然数里任取一数，则它能被2或能被5整除的概率为多少？ 【例】 袋中放有a个白球和b个黑球，随机取出一个，然后放回，

5、并同时再放进与取出的球同色的球c个，再取第二个，如此连续取3次，问取出的3个球中头两个是黑球，第3个是白球酌概率是多少?解 ： 【例】已知每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为04，且他们是否含有肝炎病毒是相互独立的今混合100个人的血清，试求混合后的血清中含有肝炎病毒的概率 现在我们明白对人的血清作检验用新方法要检验l01次的可能性为033，而只需检验一次的可能性为o33o67由此，能够明白，只做一次检验的可能性远大于t01次检验的可能性以后我们将明白：用新方法对100个人平均需做34次检验，因此这比老方法要做too次检验确实减少了工作量【例】【例】甲、乙两人同时向一敌机炮击，已知甲击中的概率为o6，乙击中的概率为o5，求敌机被击中的概率。 【例】 （）两门火炮同时向一敌机射击，每门火炮的命中率为6，求敌机被击中的概率现若干门炮同时向向一敌机炮击，问欲以的把握击中这敌机，至少需要几门炮？（）解：设至少n门炮同时向向一敌机炮击，“第门炮击中这敌机”，“敌机被击中”，则，（ 不是两两互不相容，（）计算量太大，