数值计算(二分法、简单迭代法、Newton迭代法、弦截法(割线法、双点弦法))解读

1、本科生实验报告实 验 课 程数 值 计 算 方 法学 院 名 称信 息 科 学 与 技术 学 院专 业 名 称计 算 机 科 学 与技 术学生姓名学生学号指导教师实验地点实验成绩二 一六 年 五 月 二一六 年 五 月实验一 非线性方程求根1.1 问题描述实验目的 ：掌握非线性方程求根的基本步骤及方法， 。 实验内容：试分别用二分法、 简单迭代法、 Newton 迭代法、弦截法(割线法、 双点弦法 )，求 x5-3x3+x-1= 0 在区间 -8,8 上的全部实根，误差限为 10-6。要求：讨论求解 的全过程，对所用算法的局部收敛性，优缺点等作分析及比 较，第 2 章 算法思想2.1二分法思想

2、：在函数的单调有根区间内，将有根区间不断的二分，寻找方程的解。 步骤： 1.取中点 mid=(x0+x1)/22.若f(mid)=0,则 mid为方程的根，否则比较与两端的符号，若与 f(x0)异号，则根在 x0,mid 之间，否则在 mid,x1 之间。3 并重复上述步骤，直达达到精度要求，则 mid 为方程的近似解。结束简单迭代法思想：迭代法是一种逐次逼近的方法，它是固定公式反复校正跟的近似值， 使之逐步精确，最后得到精度要求的结果。步骤： 1.构造迭代公式 f(x) ，迭代公式必须是收敛的。2.计算 x1,x1=f(x0).3.判断 |x1-x0|是否满足精度要求，如不满足则重复上述步骤

3、。4输出 x1,即为方程的近似解。开始f为迭代函数结束Newton 迭代法思想： 设 r 是的根， 选取 作为 r 的初始近似值， 过点 做曲线的切线 L，L 的方程为，求出 L与 x 轴交点的横坐标，称 x1为 r 的一次近似值。 过点做曲线的切线，并求该切线与 x轴交点的横坐标 ，称 为 r 的二次近似值。重复以上过程， 得 r 的近似值序列，其中，称为 r 的 次近似值2.计算步骤： 1.计算原函数的导数 f (x); 构造牛顿迭代公式, 若 f (x0)=0, 退出计算， 否则继续向下迭代。3.若|x1-x0| 满足精度要求， x1 即为方程的近似解。开始输入x0,eyesf (x0)

4、=0输出x1结束4弦截法思想 :为加速收敛，改用两个端点都在变动的弦，用差商替代牛顿迭代公式 的导数 f (x。)步骤： 1.构造双点弦法的公式2.计算 x2=x1-f(x1)(x1-x0)/f(x1)-f(x0);3.判断 f(x2) 是否满足精度要求，若没有则按照上述步骤继续迭代， 否则输出 x2.x2 即为方程的近似解。5第 3 章 测试结果及分析测试结果函数图像函数 Y=x5-3x3+x-1分法 （表 1-1， 1-2，1-3）-1.6,-1.3kxkkxkkxk0-1.455-1.5015610-1.504931-1.5256-1.5039111-1.5052-1.48757-1.5

5、050812-1.505043-1.506258-1.5044913-1.505064-1.496889-1.5047914-1.50507表 1-1区间-1.2,-0.9kxkkxkkxk0-1.055-0.99843710-1.000051-0.9756-1.0007811-0.9999762-1.01257-0.99960912-1.0000163-0.993758-1.000213-0.9999944-1.003129-0.99990214-1表 1-2区间1.5,1.8kxkkxkkxk01.6571.69102141.6902911.72581.69043151.6902921.6

6、87591.69014161.6902931.70625101.69028171.6902841.69687111.69036181.6902851.69219121.6903261.68984131.6903表 1-3简单迭代法（表 2-1.2-2.2-3）初值-1.5kxkkxkkxk1-1.57-1.5043513-1.504932-1.502178-1.5045314-1.504973-1.502879-1.50466151.504994-1.5034110-1.5047616-1.505015-1.5038111-1.5048317-1.505046-1.5041212-1.5048

7、918-1.50505表 2-1初值-1kx1-12-1表 2-27初值 1.6 结果 x=1.69028kxkkxkkxk11.681.68862151.6902321.6566991.68927161.6902531.66987101.68967171.6902741.6779111.68991181.6902751.68278121.69006191.6902861.68573131.69015201.6902871.68753141.6902表 2-3牛顿迭代法（表 3-1.3-2，3-3）初值-1.5 结果 x= -1.50507kxkkxk1-1.54-1.505042-1.504

8、715-1.505063-1.504976-1.50507表 3-1初值 -1 结果 x=-1.50507kx1-12-1表 3-2初值 1.6 结果 x=1.69028kxkkxk11.651.6902421.6860261.6902731.6889371.6902841.6898581.69028表 3-3双点弦法（表 4-1.4-2， 4-3）区间 -1.6,-1.3结果 x=-1.50507kxkf(xk)kxkf(xk)1-1.50.031255-1.506670.07845662-1.661490.3765026-1.505-0.0100793-1.47175-1.563227-1

9、.505070.0004409884-1.4920.1868018-1.505072.30387e-006表 4-1区间 -1.2,-0.9结果 x= -1kxkf(xk)1-1.013930.04156782-1.00020.0006077773-0.999999-3.11969e-0064-12.11001e-010表 4-2区间 1.5,1.8结果 x=1.69028kxkf(xk)11.64403-0.67645521.68071-0.15110631.691260.015798841.69027-0.00031351551.69028-6.3006e-007表 4-3从测试结果可以看

10、出二分法和简单迭代法的收敛速度远大于牛顿迭代和弦 截法的收敛速度。 二分法和简单迭代法的公式易于构造和计算， 牛顿迭代法虽然 收敛高，但要求导数，计算的复杂度高！双点弦法随稍慢于牛顿跌代法，可以用 差商代替牛顿迭代法中的导数，降低了计算的复杂度！附录：源程序清单#include #include using namespace std; double foot =0.3; int a=-8,b=8;double *rn=newdouble5; double *r = newdouble5; int m=0;int x_count ;double precision =0.000001;/定义寻

11、根步长/解的区间/ 方程近似解/根的个数/精度要求/ 函数的表达式( x5-3x3+x-1 ) double f (double x)return (pow(x,5)-3*pow(x,3)+x-1); void init () r0=-1.5;/根据函数图像确定根的区间和迭代初值r1=-1;r2= 1.6;rn0=- 1.6;rn1=- 1.2;rn2= 1.5;/寻找根的区间void search()/若没有给出区间和初值，进行逐步搜索有根区间for(int i=0;i*foot-88;i+)if(f(i*foot-8)*f(i+1)*foot-8)precision)mid = (a+b)

12、/2;if(f (a)* f (mid )= 0) b=mid ;/判断与端点函数值得符号else a=mid;cout mid endl;rx_count += mid ;return mid;/ 返回最终结果/= 简单迭代法 = /构造迭代公式 double fitera ( double x)double result=0;double xx=3*pow(x,3)-x+1;if(xx=0)xx=- xx ;return pow(xx,1.0/5.0)*(- 1);elsereturn pow(xx,1.0/5.0);/简单迭代double itera (double x0)cout x0

13、 precision) x0=x1;x1= fitera ( x0);/没有到达精度要求继续迭代coutx1precision) x0=x1;if (newtonitera (x0)=- 1) break ; x1= newtonitera (x0); coutx1endl; return x1;/ 若导数为 0 则停止迭代/继续迭代/返回最终结果 /= 双点弦法迭代 = /构造弦截法的迭代公式double twopointchord_f ( double x0,double x1)return x1-(f(x1)/(f(x1)-f(x0)*( x1-x0);/双点弦法迭代double two

14、pointchord (double x0,double x1) double x3=twopointchord_f (x0,x1); cout x3 precision) coutf(x3) f(x3 ) endl ; x0=x1;x1=x3;x3=twopointchord_f (x0,x1);/ coutx3endl;coutf(x3)endl;return x3;/输出 x3 的函数值/没有到达精度要求继续迭代/返回最终结果/测试 void main ()12 init (); /初始化区间和迭代初值/* 测试代码 输出每次的迭代结果和最终结果cout 二分法 endl;for(int

15、 i =0;i3;i+)double result=0;cout 有根区间为 rni rni+footendl; result=Dichotomy(rni,rni+foot);/ 将区间端点带入公式cout 求得近似解为 resultendl;cout 迭代法 endl;for(i =0;i3;i+)double result=0;cout 有根区间为 rnirni+footendl;double x0 =ri;/取得初值result=itera(x0);/带入公式cout 求得近似解为 resultendl;cout 牛顿迭代 endl;for(i =0;i3;i+)double resul

16、t=0;cout 有根区间为 rnirni+footendl;double x0 =ri;/ 取得初值result=newton(x0);/ 带入公式cout 求得近似解为 resultendl;cout 弦截法 endl;for(i =0;i3;i+)double result=0; cout 有根区间为 rnirni+footendl;result=twopointchord(rni,rni+foot);/将区间端点带入公式cout 求得近似解为 resultendl;/*13在这次实验中，通过编程将二分法、简单迭代法、 Newton 迭代法、 弦截法（割线法、双点弦法 ）以代码的方式实现， 这不仅