一元二次方程与解法教案

1、第07讲一元二次方程与解法（二）适用学科适用区域知识点初中数学全国1.公式法解一元二次方程适用年级初中三年级课时时长（分钟）120分钟2.因式分解法解一元二次方程3.一元二次方程根的判别式4.一元二次方程的根与系数关系教学目标1.掌握公式法、因式分解法一元二次方程的方法2.熟练掌握一元二次方程的根与系数关系3.体验解决问题方法的多样性，灵活选择解方程的方法教学重点1.求根公式的推导，公式的正确使用2.使学生能够熟练而准确的运用公式法，因式分解法求一元二次方程的解3.积极探索方程不同解法，通过交流发现最优解法，获得成功体验教学难点1.公式法的准确运用2.将整理成一般形式的方程左边因式分解3.一元

2、二次方程的根与系数关系教学过程一、复习预习上节课我们学习了一元二次方程的定义及解法，接下来请同学们回忆一下：1.一元二次方程：只含有_个未知数，未知数的最高次数是_，且二次项系数_，这样的方程叫一元二次方程；它的一般形式是_。例如，（1）2x21x（2）x25x0（3）3x2122.一元二次方程的解法有_法、_法，解方程2x280 x22x20解：2x28x22x121，x24(x1)23，x2,x2x1312x113，x213.本节课还要学习的公式法，因式分解法。二、知识讲解1公式法解一元二次方程：公式法是用求根公式解一元二次方程的方法，它是解一元二次方程的一般方法.（推导过程教师板书）ax

3、2bxc0a0的求根公式为xbb24acb24ac02a根的判别式：一元二次方程ax2bxc（a0）中，b24ac叫做一元二次方程ax2bxc（a0）的根的判别式，通常用“”来表示，即b24ac。2.因式分解法解一元二次方程：将方程的右边化为0；将方程的左边化成两个一次因式的乘积；令每个因式等于0，得到一元一次方程，解一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.3.一元二次方程根的判别式00如果方程ax2bxc（a0）的两个实数根是1a，当b24ac0时，方程有两个不相等的实数根；当b24ac0时，方程有两个相等的实数根；当b24ac0时，方程无实数根。反之，若方程有两个不相等的实数根，则b2

4、4ac0；若方程有两个相等的实数根，则b24ac0；若无实数根，则b24ac0。4.一元二次方程根与系数的关系0 x,x2，那么xxb12a。xxc12也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。5.根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：22xx12（2）x（1）x12x22xx1211xx1xxx12122(xa)(xa)xxaxxa2121212（3）；（4）x1x2=x1x22=x1x224xx124考点/易错点1使用判别式之前一定要先把一元二次方程化为一般形式，以便正确

5、找出a、b、c的值。考点/易错点2根的判别式b24ac的使用条件是在一元二次方程中，而非别的方程中。因此，解题过程中要注意隐含条件a0。考点/易错点3对于一元二次方程ax2bxc0而言，当满足a0、0时，才能用韦达定理。考点/易错点4根据一元二次方程的特点，如何灵活选用最合适的解方程的方法：首先考虑是否满足最直接开平方法的条件，其次观察项数，考虑能否用因式分解法，用哪一种因式分解法，后考虑公式法和配方法。三、例题精析【例题1】【题干】解方程4x2x30【答案】x3,x112【解析】解：a4,b1,c3b24ac1244(3)490 x14917248x34，x1【变式练习】【题干】用公式法解方

6、程3x26x10代入求根公式，得x624【答案】解：a3,b6,c1，b24ac(6)243124.626.23633x1166,x1.23【例题2】【题干】因式分解法解方程3(x1)22(x1)【答案】x1,x512【解析】解：原方程可化为3(x1)22(x1)0(x1)(3x5)0 x10，或3x50 x1,x1253【变式练习】【题干】解方程(x5)249【答案】x12,x212【解析】解：原方程可化为(x5)2720(x12)(x2)0 x120，或x20 x12,x212【例题3】【题干】解一元二次方程：(1x)22(1x)40【答案】解：设1xy原方程化为：y22y40，解得：y1

7、5,y1512即1x15,1x15所以x25,x2512【解析】换元法解一元二次方程的能力。观察方程由方程特点设1xy，然后整理原方程求解。换元法解方程可将方程化繁为简，化难为易，是解方程的常用方法之一。换元法的应用要根据方程特点来决定，因此要注意总结能够应用换元法解的方程的特点.【例题4】【题干】下列四个结论中，正确的是（）A方程x1x2有两个不相等的实数根1B方程x1有两个不相等的实数根x1C方程x2有两个不相等的实数根x1D方程xa（其中a为常数，且a2）有两个不相等的实数根x【答案】D【解析】此题属于不解一元二次方程，判断（证明）根的情况类型的题目。把所给方程整理为一元二次方程的一般形

8、式，根据根的判别式判断解的个数即可：A、整理得：x22x10，0，原方程有2个相等的实数根，选项错误；B、整理得：x2x10，0，原方程没有实数根，选项错误；C、整理得：x22x10eqoac(,，)0，原方程有2个相等的实数根，选项错误；D、整理得：x2ax10，当a2时，a240，原方程有2个不相等的实数根，选项正确.Ak1由题意，得2k10，解得k且k0k0.【例题5】【题干】如果关于x的一元二次方程kx22k1x10有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）11111Bk且k0CkDk且k0222222【答案】D【解析】解决此题需要从三方面综合考虑，一是由“一元二次方程”知k0，二是

9、由二次根式(的意义知2k10，三是由原方程有两个不相等的实数根知2k1)24k0，三者缺一不可同时，本题也是一道易错题，部分学生会忽视2k1这一符号条件下的不等关系而错选为B(2k1)24k0，1122【例题6】【题干】已知m、n是方程x222x10的两根，则代数式m2n23mn的值为A9B3C3D5【答案】C【解析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式、a2的化简.根据一元二次方程根与系数的关系得：mn22，mn1.2m2n23mn=mn2mn=2213【例题7】【题干】如果x,x是方程x22x10的两个根，那么xx的值为：1212A1B2C12D.12【答案】B【解析】本题

10、考查一元二次方程ax2bxc0的根与系数关系即韦达定理，两根之和是bx216c，两根之积是，易求出两根之和是2.aa四、课堂运用【基础】1.方程x3x1x3的解是（）A.x0B.x3C.x3或x1D.x3或x0【答案】D【解析】用因式分解法解一元二次方程的步骤是，把右边的式子移到左边，然后另每一个因式为0.2.解方程3x22x10【答案】解：a3,b2,c1b24ac(2)243(1)16024236x1,x1213【解析】选择公式法较简单3.解方程x27x0【答案】解：x(x7)0 x0，或x70 x0,x712【解析】选择因式分解法较简单4.解方程x24x449【答案】解：(x2)27x5

11、7，或x57x5,x912【解析】选择直接开平方法较简单5.若一元二次方程x22xm0有实数解，则m的取值范围是（）A.m1B.m1C.m4D.m12【答案】B【解析】由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围：一元二次方程x22xm0有实数解，eqoac(,=)b24ac=224m0，解得：m1。m的取值范围是m1。6.已知一元二次方程：x23x10的两个根分别是x、x则x2xxx2的值为121212（）A.3B.3C.6D.6【答案】B【解析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系。ax2+bx+c=0(a0)，x+x=cx1x

12、2=axx3,xx1,x2xxx2xx(xx)(1)33121212121212【巩固】1.一元二次方程x22x20的根的情况是（）A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C只有一个实数根D无实数根【答案】D【解析】x22x20中，a=1，b=2，c=2，b24ac2241240。x22x20无实数根。12ba,2.用适当的方法解下列方程（1）x24x30；解：(x1)(x3)0 x10，或x30 x1,x312x（2）x5624；解：原方程可化简为x2x60 x30，或x20 x3,x212（3）x322xx30解：(x1)(x3)0 x10，或x30 x1,x312（4）6x2x260解

13、：a6,b1,c26b24ac(1)246(26)49026x1491726x23216,x612【拔高】1.若x2xyy14，y2xyx28，则xy的值为【答案】xy7,或xy6【解析】将两个式子相加得，x22xyy2xy42。xy2xy42xy2xy420设xym，则有m2m420解一元二次方程，(m7)(m6)0m7,m612即：xy7,或xy62.如果x2x10，那么代数式x32x27的值。【答案】-6【解析】由x2x10可得，x21xx32x27xx22x27x1x21x7xx222x7x5x2x51xx51x63.已知关于x的一元二次方程x2(m3)xm10(1)求证：无论m取何值

14、，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若x1、x2是原方程的两根，且|x1x2|22，求m的值和此时方程的两根。【答案】解：（1）证明：由关于x的一元二次方程x2(m3)xm10得eqoac(,=)（m+3）24（m+1）=（m+1）2+4，无论m取何值，（m+1）24恒大于0，原方程总有两个不相等的实数根。（2）x1，x2是原方程的两根，x1+x2=（m+3），x1x2=m+1。|x1x2|22，（x1x2）2=8，即（x1x2）24x1x2=8。（m+3）24（m+1）=8，即m22m3=0。解得：m1=3，m2=1。当m=3时，原方程化为：x22=0，解得：x1=2，x2=2。当m=1时

15、，原方程化为：x24x2=0，解得：x1=2+2，x2=22。【解析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。（1）根据关于x的一元二次方程x2(m3)xm10的根的判别式eqoac(,=)b24ac的符号来判定该方程的根的情况。（2）根据根与系数的关系求得x1x2和x1x2，由已知条件|x1x2|22平方后可以得到关于x1x2和x1x2的等式，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值，最后将m值代入原方程并解方程。课程小结1.公式法解一元二次方程2.因式分解法解一元二次方程3.一元二次方程根的判别式4.一元二次方程根与系数的关系5.根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的

16、转化关系课后作业【基础】1.如果关于x的一元二次方程x26x+c=0（c是常数）没有实根，那么c的取值范围是。【答案】c9。【解析】关于x的一元二次方程x26x+c=0（c是常数）没有实根，eqoac(,=)（6）24c0，即364c0，c9。2.方程(k1)x21kx10有两个实数根，则k的取值范围是（）4Ak1Bk1Ck1Dk1【解析】主要考查一元二次方程根与系数的关系（根的判别式）当b2-4ac时，一元二次方【答案】D，程有两个相等的实数根，同时不要忽略二次项系数不等于零及二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）。方程(k1)x21kx10有两个实数根，所以k-10且，411-k0,(1

17、k)24(k1)0，k1且k1,所以k1.43.已知：x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3,x1x2=1,则a、b的值分别是A.a=3,b=1B.a=3,b=1C.a=32,b=1D.a=32,b=1【答案】D【解析】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系。x1+x2=2a=3,a=32;x1x2=b=14.已知m和n是方程2x25x30的两根，则11.mn5【答案】-3【解析】本题综合考查了一元二次方程根与系数的关系及代数式求值，解题的关键是利用根与系数的关系整体代入化简后的待求式.因为m和n是方程2x2-5x-3=0得，m+n=525，mn=311mn-，

18、所以=2mnmn2-5.-3325.用适当的方法解方程6x2x260【答案】解：a6,b1,c26b24ac(1)246(26)49026x1491726x23216,x612【解析】可选择公式法【巩固】1.已知：多项式x2kx+1是一个完全平方式，则反比例函数y=13【答案】y=或y=。xx【解析】多项式x2kx+1是一个完全平方式，对应的一元二次方程x2kx+1=0根的判别式eqoac(,=0)。eqoac(,=)k2411=0，解得k=2。k1x的解析式为。把k=2分别代入反比例函数y=k113的解析式得：y=或y=。xxx2.在同一坐标系中，直线yx1与双曲线y的交点个数为（）1xA0

19、个B1个C2个D不能确定【答案】A【解析】本题考查直线与双曲线的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程x直线yx1与双曲线y有两个交点。故选A。根的判别式。根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，联立yx1和y1，整理，得x2x10。eqoac(,1)4=50，x2x10有两不相等的实数根。1x3.关于x的一元二次方程x23xm10的两个实数根分别为x,x.12（1）求m的取值范围；（2）若2(xx)xx100，求m的值.1212【答案】解：（1）原方程有两个实数根，=9-4(m-1)0，1x得，x1解之，得：m134.（2）已知a、b满足a215a50，b215b50，求a的值；

20、（2）由韦达定理，得：x+x=-3，xx=m-1，12122(-3)+(m-1)+10=0，解之，得：m=-3.【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用需要注意的是当题中没有明确两根是否相等时，应两种可能都要考虑，即0。（1）因为一元二次方程有两个实数根，所以0，从而解出m的取值范围；（2）根据根与系数的关系，可以用含有m的代数式所表示出(xx)及xx，代入12122(xx)xx100即可求出m的值。12124.设a，b是方程x2x20130的两个不相等的实数根，a22ab的值【答案】2012【解析】本题主要考查了一元二次方程的韦达定理、根的定义以及初数中整体思想，解决此类

21、题型的关键是熟悉相关的知识点及初数中常见思想方法解：因为a，b是方程x2x20130的两个不相等的实数根，故由韦达定理得a+b=-1，由根的定义得a2a20130，即a2a2013再由+得a22ab2012【拔高】1.如果方程x2pxq0的两个根是x1，x2，那么x1x2p，x1x2q请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程x2mxn0(n0)，求出一个一元二次方程，使它的两根别是已知方程两根的倒数；bba（3）已知a、b、c均为实数，且abc0，abc16，求正数c的最小值【答案】解：（1）设x2mxn0(n0)的两根为x1，x211xx，x1x2m，x1x2nxxxx12121211xxm1nn12所求一元二次方程为x2mx0，即nx2mx1047当ab时，112a47或21nn（2）当ab时，由题意知a，b是一元二次方程x215x50的两根，ab15，ab5abababa2b2(ab)22ab152(5)ba5abbabba（