偏微分方程求解

1、关于偏微分方程求解第一张，PPT共四十六页，创作于2022年6月基础知识预习微分方程的求解包含：常微分方程的求解（上节课已经讲过）这里不再赘述。：偏微分方程的求解（本次教学内容）第二张，PPT共四十六页，创作于2022年6月偏微分方程概念偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）指含有未知函数及其偏导数的方程。描述自变量、未知函数及其偏导数之间的关系。偏微分方程分为线性偏微分方程式与非线性偏微分方程式，常常有几个解而且涉及额外的边界条件。常微分方程：在微分方程中，若自变量的个数只有一个的微分方程。偏微分方程：自变量的个数有两个或两个以上的微分方程。第三

2、张，PPT共四十六页，创作于2022年6月求解偏微分方程的方法求解偏微分方程的数值方法：1. 有限元法（Finite Element Method, FEM）- hp-FEM2. 有限体积法（Finite Volume Method, FVM）3. 有限差分法（Finite Difference Method, FDM）。其它：广义有限元法（Generalized Finite Element Method, FFEM）、扩展有限元法（eXtended Finite Element Method, XFEM）、无网格有限元法（Meshfree Finite Element Method）、离散

3、迦辽金有限元法（Discontinuous Galerkin Finite Element Method, DGFEM）等。第四张，PPT共四十六页，创作于2022年6月MATLAB解偏微分方程MATLAB提供了两种方法解决PDE 问题：pdepe()函数，它可以求解一般的PDEs，具有较大的通用性，但只支持命令行形式调用。PDE 工具箱，可以求解特殊PDE 问题，PDEtool 有较大的局限性，比如只能求解二阶PDE 问题，并且不能解决偏微分方程组，但是它提供了GUI界面，从繁杂的编程中解脱出来了，同时还可以通过File-Save As直接生成M代码使用pdeval()直接计算某个点的函数值

4、？第五张，PPT共四十六页，创作于2022年6月一般偏微分方程组(PDEs)的MATLAB求解直接求解一般偏微分方程(组)，它的调用格式为sol=pdepe(m,pdefun,pdeic,pdebc,x,t)问题描述函数初值条件边界条件输出参数自变量参数第六张，PPT共四十六页，创作于2022年6月【输入参数】（1）pdefun：是PDE 的问题描述函数，它必须换成下面的标准形式PDE 就可以编写下面的入口函数c,f,s=pdefun(x,t,u,du)m,x,t就是对应于(式1)中相关参数和自变量，du是u的一阶导数，由给定的输入变量即可表示出出c,f,s这三个函数第七张，PPT共四十六页，

5、创作于2022年6月【输入参数】（2）pdeic：是PDE 的初值条件，必须化为下面的形式我们使用下面的简单的函数来描述为u0=pdeic(x)第八张，PPT共四十六页，创作于2022年6月【输入参数】（3）pdebc：是PDE的边界条件描述函数，必须先化为下面的形式于是边值条件可以编写下面函数描述为pa,qa,pb,qb=pdebc(x,t,u,du)其中a 表示下边界，b 表示下边界第九张，PPT共四十六页，创作于2022年6月【输入参数】（4）m：就是对应于(式1)中相关参数x,t：就是对应于(式1)中自变量第十张，PPT共四十六页，创作于2022年6月【输出参数】sol：是一个三维数组

6、，sol(:,:,i)表示ui的解，换句话说uk对应x(i)和t(j)时的解为sol(i,j,k)第十一张，PPT共四十六页，创作于2022年6月实例讲解（题目）例：第十二张，PPT共四十六页，创作于2022年6月初值条件边界条件第十三张，PPT共四十六页，创作于2022年6月实例讲解（解法）【解】第一步根据（1）对照给出的偏微分方程，则原方程可以改写为第十四张，PPT共四十六页，创作于2022年6月输入参数（1）目标PDE函数% 目标PDE函数function c,f,s=pdefun (x,t,u,du)c=1;1;f=0.024*du(1);0.17*du(2);temp=u(1)-u(

7、2);s=-1;1.*(exp(5.73*temp)-exp(-11.46*temp);第十五张，PPT共四十六页，创作于2022年6月输入参数（2）初值条件初值条件改写为% 初值条件函数function u0=pdeic(x)u0=1;0;第十六张，PPT共四十六页，创作于2022年6月输入参数（3）边界条件边界条件改写为% 边界条件函数function pa,qa,pb,qb=pdebc(xa,ua,xb,ub,t)%a表示左边界，b表示右边界pa=0;ua(2);qa=1;0;pb=ub(1)-1;0;qb=0;1;第十七张，PPT共四十六页，创作于2022年6月（4）主调函数clcx=

8、0:0.05:1;t=0:0.05:2;m=0;sol=pdepe(m,pdefun,pdeic,pdebc,x,t);figure(numbertitle,off,name,PDE Demoby Matlabsky)%创建个窗口，窗口名字是name后边的名字NumberTitle,off是关掉默认显示名字。subplot(211)surf(x,t,sol(:,:,1)%sol(:,:,i)表示ui的解title(The Solution of u_1)xlabel(X)ylabel(T)zlabel(U)subplot(212)surf(x,t,sol(:,:,2)%sol(:,:,i)表示

9、ui的解title(The Solution of u_2)xlabel(X)ylabel(T)zlabel(U)第十八张，PPT共四十六页，创作于2022年6月第十九张，PPT共四十六页，创作于2022年6月PDEtool求解特殊PDE问题MATLAB的偏微分工具箱(PDE toolbox)可以比较规范的求解各种常见的二阶偏微分方程(特殊二阶的PDE)第二十张，PPT共四十六页，创作于2022年6月典型偏微分方程的描述 第二十一张，PPT共四十六页，创作于2022年6月 第二十二张，PPT共四十六页，创作于2022年6月 （3）双曲线型偏微分方程的一般形式 第二十三张，PPT共四十六页，创作

10、于2022年6月 （4）特征值型偏微分方程的一般形式，注 意它是（1）的变形，不能算独立的一类 第二十四张，PPT共四十六页，创作于2022年6月MATLAB 采用有限元的方法求解各种PDEMATLAB 为我们提供一个pdetool (在command window 中键输pdetool打开)的交互界面，可以求解二元偏微分u(x1,x2)(注意只能求解二元)。方程的参数由a、c、d和f确定，求解域由图形确定，求解域确定好后，需要对求解域进行栅格化(这个是自动)。第二十五张，PPT共四十六页，创作于2022年6月 第二十六张，PPT共四十六页，创作于2022年6月 第二十七张，PPT共四十六页，

11、创作于2022年6月偏微分方程边界条件的描述Dirichlet(狄利克莱)条件Neumann(纽曼)条件第二十八张，PPT共四十六页，创作于2022年6月 第二十九张，PPT共四十六页，创作于2022年6月 第三十张，PPT共四十六页，创作于2022年6月求解实例 第三十一张，PPT共四十六页，创作于2022年6月【解】由给定的PDE，可以得出d=1,c=1,a=2,f=10第三十二张，PPT共四十六页，创作于2022年6月step1:点击工具栏的【PDE】按钮，如下输入PDE的参数，注意选择Hyperbolic 第三十三张，PPT共四十六页，创作于2022年6月step2:绘制求解域对坐标轴

12、的操作可以在【Options】主菜单中操作，包括设置网格、坐标系范围等(1)【Options】-Axis Limits设置如下第三十四张，PPT共四十六页，创作于2022年6月 第三十五张，PPT共四十六页，创作于2022年6月 (2)点击工具栏上的第三个按钮【绘制椭圆】，任意绘制一个椭圆，双击椭圆，设置如下 第三十六张，PPT共四十六页，创作于2022年6月重复上面的操作，参数如下 第三十七张，PPT共四十六页，创作于2022年6月得到 第三十八张，PPT共四十六页，创作于2022年6月 (3)在set formula 中如下输入，“+”表示求并集，“-”表示求差集，注意没有直接求交接的操作

13、符第三十九张，PPT共四十六页，创作于2022年6月step3:边界条件和初值条件初值条件可以通过【Solve】-【Parameters】设置边值条件设置如下(1)点击工具栏的第6 个按钮【区域边界】，显示如下第四十张，PPT共四十六页，创作于2022年6月 (2)【Boundary】-【Remove All Subdomain Borders】移除所有子域的边界，将得到所有子域合并成一个求解域(3) 【Boundary】-【Secify Boundary Conditons】设置边界如下，注意我们这里只有Dirichlet条件第四十一张，PPT共四十六页，创作于2022年6月step4:生成

14、使用有限元方法求解方程所需的栅格点击工具栏的第8/9 个按钮，对求解域生成栅格，多次点击可以在原来基础上继续细化栅格，直到自己觉得满意为止，当然可以通过【Mesh】主菜单进行精确控制第四十二张，PPT共四十六页，创作于2022年6月 step5:求解方程点解工具栏的第10 个按钮“=”【求解方程】 step6:求解结果绘图 点击第11 个按钮【绘制图形】，里面的选项很丰富，可以绘制等高线等好多，甚至播放动画，具体大家可以自己慢慢摸索第四十三张，PPT共四十六页，创作于2022年6月动画播放设置：(1)【Solve】-【Parameters】设置合适的时间向量Time(2)【Plot】-【Parameters】选中【Animation】，点击后面的【Options】，设置播放速度和次数，比如6fp