中考数学《三角形中位线》拓展课本例题

1、第 页共5页精心设计重在思维勤于训练从一道题目的拓展训练说起三角形中位线是初中数学中的重点也是难点之一笔者通过精心的教学设计，为学生编织有效的知识网，达到了事半功倍的教学效果.现呈现如下，旨在与大家交流提高.一、例题及跟进训练例题如图1,在ABC中，M是BC的中点，AB=CD,F是AD的中点，MF的延长线交BA的延长线于E点，求证:AE=AF.略解如图2，连BD，取BD中点P，连PF、PM，则有PF/AB，PF=1AB；2，PM/CD，PM=1CD.2/.ZPFM=ZE，ZPMF=ZMFC.AB=CD，/.PF=PM./ZPFM=ZPMF,/ZE=ZMFC=ZAFE,/.AE=AF.反思在本问

2、题的解答过程中，由中点产生联想，构造中位线，将看似本无关联的两条线段联系在一起，是解决问题的关键.为帮助学生熟识此“模式”，笔者安排了以下跟进训练.训练1如图3,在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别为AD和BC的中点，FE的延长线分别交CD的延长线和BA的延长线于点N、M.求证:ZBMF=ZCNF.图3图4略解连AC（或BD）并取其中点P，再连PE、PF，如图4.利用例题方法很容易得结论.反思从学生的反馈来看，学生还处在简单的模仿期，能否创新，并内化为自己的能力还有待检验考核于是进一步探讨下面的问题：训练2如图5,在ABC中，ACAB，在它的两边AB,AC上分别截取BD=CE,F、G分别

3、是BC，DE的中点，又AT是上BAC的平分线求证:FGIIAT.MANDD,GEEBCB图5图6略解方法1:如图6，连DC，并取其中点P，再连PG、PF，延长FG、BA交于点M，FG交AC于点N.则易用类似例题方法证得FGIIAT.方法2:如图7，连结DF，并延长到H点，使FH=DF，连CH、EH，则有BDF仝aCHF,得BD=CH，ZB=ZBCH,CE=CH，.aZCEH=ZCHE.由三角形内角和定理，知ZCEH+ZCHE=ZBAC,于是由ZTAC=ZHEC,得FG/AT.方法3:如图8,过D点作AT的垂线分别交AT、AC于M、P点，过B点作AT的垂线分别交AT、AC于N、Q点，连MG、NF

4、.由AT是ZBAC的平分线，很容易得:M、N分别为DP、BQ的中点,BD=PQ=CE,aPE=CQ.F、G分别是BC、DE的中点，MG/AC,MG=-PE,NF/AC,NF=-CQ,22MG/NF，且MG=NF.四边形MNFG为平行四边形，故得结论FG/AT.反思方法1构造中点在预设之中，延长FG与BA交于M点在生成之外显然是学生在模仿利用了前面的经验而构造的中点，在矛盾冲突中才尝试构造出延长线.这是学生一个很大的进步和创新.训练2比训练1又进了一个梯度，这能真实的反映学生的点滴收获.方法2比方法1更有创意.事实上，利用F这个中点构造全等三角形是我们常讲的方法,也是学生能熟练运用的方法.解法3

5、是最能体现命题者意图的方法，其中涉及角平分线，作垂线，等腰三角形“三线合一”性质，是我们解决此类问题的有效思路.二、课内练习1.已知:如图9,在RtABC中,ZACB=90，D为AB中点，连CD.求证CD=2AB.图9图10设置这个问题，因为它是一个简单的与中点有关的重要问题，实际上就是后面将要学习的“直角三角形斜边中线等于斜边一半”的问题.学生的表现可谓精彩纷呈:学生1:如图10,延长CD到E，使DE=CD，连AE.学生2:如图11，延长AC到F，使CF=AC，连BF.A学生3:如图12,延长BC到G，使CG=BC，连AG，2.已知:ZACB和aAED都是等腰直角三角形，ZAED=ZACB=

6、90,M、N分别是BD、CE的中点.如图13,若D点在线段AB上，判断MN与CE之间的关系，并说明理由.学生1:如图14,连EM并延长到F,使MF=ME,连FC,则有zsEDM二皿BM,得BF=DE=AE.由aEAC二卜FBC，得CF=EC，因MN是EFC的中位线而得MN丄EC，且MN=1EC2C4C图14图15学生2:如图15,连CM并延长到G，使MG=CG，连EG，类似同学1方法得结论.学生3:如图16,连DN并延长到H，使NH=DN，连BH.（实际上在问题解决的过程中，我们发现:H点在线段AC上，因此可以优化辅助线作法:连DN并延长交AC于H点，连BH.）BB图16图17学生4:如图17

7、，延长EA、BN交于点P，连DP，贝I可证AECEDP，得EP=AC=BC；再证ENP=CNB得N为BP中点，利用中位线得结论.如图18,将图13中的AAED绕A点逆时针旋转一个锐角，的结论是否仍然成立?请说明理由.三、课后反思提倡自主学习，是我们的共识自主学习是提高学习成绩的最佳策略.教师有效的教会学生怎样解题，培养学生基本数学素养和能力是我们的目的.我们教会学生做一千道题，但当一千零一道题出现时，学生可能还是不会，所以教学中要强调教会学生掌握必要的数学思想方法.这是新课标将“三基”扩展到“四基”的初衷，也是我们的共同追求.恰当设置问题，是激活学生思维的最好平台实践证明，一题多解，变式训练，都是培养学生数学思维的有效的途径或手段.上述在解决中位线这个比较难的问题时，教师组合了一个问题串，传递的信息有很强的指向性:连线段，取中点，作中位线，改变问题呈现形式，循序渐进，逐层推进，高频率，强刺激，收到了很好的效果.解题常用方法须强化和深化解决线段间的数