ch3静态电磁场及其边值问题的解全解

1、ch3静态电磁场及其边值问题的解全解3.1 静电场分析 学习内容 静电场的根本方程和边界条件 电位函数 导体系统的电容与局部电容 静电场的能量 静电力3.1.1 静电场的根本方程和边界条件 静电场根本方程积分形式微分形式本构关系 静电场边界条件 两种一般电介质分界面上 两种理想电介质分界面上讨论：分界面上场矢量的折射关系介质2介质1 在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，那么导体外表的边界条件为 或导体外表的边界条件 对静电场，由 ，即静电场可以用一个标量的梯度来表示。标量称为标量位或标量电位。3.1.2 电位函数 电位函数定义 电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数； “表示电场指向电位

2、减小最快的方向； 在直角坐标系中关于电位函数的讨论即：电位的泊松方程在无源区域，电位的拉普拉斯方程 电位方程通过求解电位方程可求得空间中电位分布，进而求得电场分布。优越性：求矢量函数的问题转化为求标量函数的问题介质2介质1电荷区 电位差反映了电场空间中不同位置处电位的变化量。 电位差的计算： 电位差电压电场空间中两点间电位差为： 电位参考点仅仅根据电位函数的定义无法唯一确定电位分布，同一电场可对应无限多电位分布，为使空间各点电位具有确定值，必须选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即选参考点令参考点电位为零电位确定值

3、(电位差)两点间电位差有定值电位参考点的选择原那么: 应使电位表达式有意义 应使电位表达式最简单 同一个问题只能有一个参考点几种根本分布电荷的电位 点电荷的电位选取Q点为电位参考点，那么遵循最简单原那么，电位参考点Q在无穷远处，即那么：点电荷在空间中产生的电位说明：假设电荷分布在有限区域，一般选择无穷远点为电位参考点 无限长线电荷的电位 电位参考点不能位于无穷远点，否那么表达式无意义。 根据表达式最简单原那么，选取r=1柱面为电位参考面，即得：无限长线电流在空间中产生的电位体电荷：面电荷：线电荷：式中：说明：假设参考点在无穷远处，那么c=0。 分布电荷体系在空间中产生的电位假设B点为参考点 不

4、同媒质分界面上的静电位设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为1和2。当两点间间隔 l0时lP1P2理想介质外表理想导体是等位体3.1.3 导体系统的电容 电容是导体系统的一种根本属性，是描绘导体系统 储存电荷才能的物理量。电容器在实际问题中的作用：典型的有利作用： 储能、滤波、移相、隔直、旁路、选频等典型的不利作用： 电容耦合系统和部件产生的电磁兼容问题孤立导体的电位与其所带的电量成正比。孤立导体电容定义：孤立导体所带电荷量与其电位之比。即 孤立导体电容 电容C只与导体几何性质和周围介质有关，与q 和 无关 空气中半径为a的孤立带电球，关于孤立导体电容的说明： 两个导体构

5、成电容器。两导体间电位分别为 和 ，导体带电量分别为Q和-Q，那么定义电容器电容为： 双导体的电容 *多导体的电容(局部电容)式中：导体与地之间电容，称导体自电容导体之间的电容，称导体互电容 (4) 求比值 ，即得出所求电容。 (3) 由 ，求出两导体间的电位差；计算电容的步骤： (1) 假定两导体上分别带电荷+q 和q ； (2) 计算两导体间的电场强度E； 电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介 质的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。 计算电容的步骤：计算同轴线内外导体间单位长度电容。解：设同轴线内外导体单位长度带电量分别为 和 ，那么内外导体间电场分布为：那么内外导体

6、间电位差为：内外导体间电容为：例 同轴线3.1.4 静电能量 静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。静电场最根本的特征是对电荷有作用力，这说明静电场具有能量。 带电系统从没有电荷分布到建立某种最终电荷分布的过程中，外加电源必须抑制电荷之间的互相作用力而做功。 分布电荷静电场能量 空间电荷分布为 ，在空间中产生电位为 。空间中总电场能量为：点电荷系统的电场能量对N个点电荷组成的系统，电荷体密度为利用函数的选择性点电荷互相作用能带电导体系统的能量对N个带电导体组成的系统，各导体的电位为i，电量为qi,，外表积为Si，那么导体系统的电场能量为 电场能量密度电场能量密度：电场总能量：积分

7、区域为电场所在的整个空间对于线性、各向同性介质，有：由边界条件知在边界两边 连续。解：设同轴线内导体单位长度带电量为Q。 同轴线内外导体半径分别为a,b，导体间局部填充介质，介质介电常数为 ，如以下图。内外导体间电压为U。求：1) 导体间单位长度内的电场能量 2)内外导体间电容。例 两种方法求电场能量：或应用导体系统能量求解公式静态电场问题按电荷静止或运动情况分类静电场恒定电流场静止 任意匀速运动 有限3.2 导电媒质中的恒定电场分析 学习内容 恒定电场的根本方程和边界条件 恒定电场的边界条件 漏电导 恒定电场与静电场的比较 什么情况下会产生恒定电流场的问题？导电媒质中存在电场的时候！ 恒定电

8、场与静电场的区别： 1恒定电场可以存在于非理想导体内部，而静电场不能 2恒定电场中有电场能量的损耗,要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。 恒定电场和静电场一样点：1、均为有源无旋场 2、大小均不随时间改变 恒定电场和静电场比较3.2.1 恒定电场的根本方程 恒定电场的根本量： 恒定电场根本方程微分形式：积分形式： 本构关系：3.2.2 恒定电场的边界条件 用类比关系推导恒定电场边界条件。比较可知，将静电场根本方程中的 代换为 ，那么两者根本方程形式完全一样。 的边界条件 的边界条件讨论：媒质2媒质1 导电媒质2 1：介质外表上电场既有法向分量又有切向分量，电场并

9、不垂直于导体外表，导电媒质外表不是等位面； 媒质2为良导体2 1：10，即电场线近似垂直于与导体外表。此时，良导体外表可近似地看作为等位面； 媒质1为理想介质10：那么J1=0，故J2n= 0 且 E2n= 0，即导体中的电流和电场与分界面平行。关于恒定电场边界条件的几点说明电阻和电导3.2.3 恒定电场与静电场比较 假设两种场具有一样形式场的方程、一样的边界形状、等效的边界条件，那么其解形式也必一样；如能求出一种场的解，那么可通过交换对应物理量而得到另一种场的解。恒定电场与静电场的比较根本方程静电场（ 区域） 本构关系位函数恒定电场电源外比较法思路：对应物理量静电场恒定电场 静电比较法应用：

10、 一样导体构造分别填充理想介质和导电媒质时，可通过改变表达式中对应量，可由G求C，或由C求G。恒定电场与静电场的比较根本方程静电场（ 区域） 本构关系位函数恒定电场电源外例1 同轴线内外导体半径分别为a和b，填充介质0，具有漏电现象。同轴线外加电源电压为U，求漏电介质内单位长度的漏电电导。解法一：静电比较法：填充理想介质时：内外导体电势差：由静电比较，得同轴线内外导体单位长度漏电导为：解法二： 设同轴线单位长度由内导体流向外导体电流强度为 ,那么 内外导体间电位差为：内外导体间单位长度漏电导：内外导体间电场分布：内外导体间电位分布： 导体媒质的功耗 功耗密度和功耗 一、静止电荷产生的场静电场

11、导体内部的静电场为零 导体外表的切向电场为零 等势体 导体内部的电荷为零 电荷只能位于导体外表，密集于外表锋利局部 应用：静电感应，静电屏蔽，避雷针， 静态电场的典型现象和结论 二、运动电荷产生的直流电场恒定电场 导电媒质 内部可存在电场 导电媒质外表的切向电场一般非零 非等势体 导电媒质内部可有运动电荷，但净电荷量为零 净电荷只能位于导体外表 理想导体 内部电场为零，电流为零 理想导体边界上的电场垂直于外表 等势体静态电场的典型现象和结论 恒定磁场的根本方程和边界条件 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位 电感 恒定磁场的能量 磁场力3.3 恒定磁场分析出发点Maxwell方程组条 件本构关系边界条

12、件静态恒定磁场问题2. 边界条件一般性问题微分形式：本构关系：1. 根本方程一般性问题积分形式：或3.3.1 恒定磁场的根本方程及边界条件 在两种理想磁介质分界面上在理想导体分界面上3.3.2 恒定磁场的矢量磁位 矢量磁位的引入式中： 称为恒定磁场的矢量磁位。 库仑标准要求： 与 间满足一一对应关系。 矢量位的任意性 矢量位A不是唯一确定的，它加上任意一个标量的梯度以后，仍然表示同一个磁场。 库仑标准条件 在恒定磁场中，一般采用库仑标准条件，即令 注意：标准条件是人为引入的限定条件。 应用库仑标准 ，得： 矢量磁位的微分方程由矢量恒等式：上式变为：矢量泊松方程在无源区：矢量拉普拉斯方程 矢量磁

13、位的求解 无限大均匀媒质空间中的问题类比方法求解 矢量磁位的求解续 存在不同媒质分界面的问题磁矢位的边界条件磁通与磁链3.3.3 电感 C回路 磁通 磁链CI电流回路与所有电流回路铰链的总磁通计入电流存在的所有回路每个回路是计入与之铰链的全部磁通In为与磁通 铰链的总电流对载流为I 的回路之比 单匝线圈 多匝线圈CI细回路 粗导线回路iCIo粗回路 磁链计算o :外磁链； i :内磁链假设为细导线线圈密绕，n等于线圈匝数N整数 电感的定义定义：穿过某电流回路的磁链与回路中电流强度之比。 自感 假设某回路C载流为I，其产生的磁场穿过回路自身C所形成的自感磁链为 ，那么定义回路C的自感系数为：特征

14、：磁链是I自已产生的 回路自感仅与回路自身的几何形状、尺寸和媒质磁导率有关，与回路中载流无关。 假设回路为N匝线圈密绕，那么 假设回路导线直径较粗，那么回路自感为内自感和外自感之和关于回路自感的讨论 为回路外自感，即导体外磁场与回路交链所形成电感式中： 为回路内自感，即导体内部磁场与局部电流交链所形成电感CI细回路iCIo粗回路 例 求双传输线单位长度自感。设导线半径为a，导线间距为D。(Da)分析：导线为细导线，故只需考虑导体间的互感。解：由安培环路定律，可以求得在导体间磁感应强度分布：那么导体间单位长度的磁通量为PII 互感 回路C1与回路C2交链的磁通量为 ，那么回路C1对C2的互感系数

15、为：同理定义回路C2对C1的互感系数为：C1C2I1I2C1 中总磁链:1总 =1+12C2 中总磁链:2总 =2 +21考虑： 1总 =？； 2总 =？纽曼公式互感性质：1、互易性：2、大小只与回路几何性质、相对位置和周围介质有关。 纽曼公式C1C2R12I1dl1I2dl2诺伊曼公式给出了两个简单回路间互感的计算方法。诺伊曼公式同理：3.3.4 恒定磁场能量 假设电流为体电流分布，那么其在空间中产生的磁能为： 式中： 为体电流 在dV处产生的磁位。 V为整个空间。 体电流的磁场能量关于体电流磁场能量表达式的说明 只适用于恒定磁场积分可以只在 0的区域进展 被积函数 不代表能量密度，虽然积分

16、是在有电流的空间中进展，但能量是分布在整个有磁场存在的空间 电流回路系统的磁场能量 N个回路系统，i回路自感为 ，i回路与j回路间互感为 ，i回路电流为 ，那么磁回路系统的磁场能量为: 假设回路为单回路系统，那么 假设回路为双回路系统，那么关于电流回路系统磁场能量的讨论磁场能量密度：磁场能量：积分区域V内的磁场能量对于线性各向同性媒质，那么有 磁场能量密度假设回路载流为I，其在空间中产生的磁场为H，那么由能量关系，可得讨论：利用磁能求单回路电感例 求半径为a的无限长直导线单位长度内自感。解：设导体内电流为I，那么由安培环路定律那么导体内单位长度磁能为例 求内外半径分别为a和b的无限长同轴线单位

17、长度的自感解：在内外导体之间，a0b由上题例1得3.4 静电场的边值问题及唯一性定理出发点Maxwell方程组条 件本构关系边界条件直接针对场量计算的静态电磁场分析方法 电位函数满足Poisson方程 基于电位求解分析静态电场问题的方法 电位的边界条件通过位函数间接计算静态电磁场的分析方法磁矢位的边界条件 磁矢位函数满足Poisson方程 基于磁矢位求解分析静态磁场问题的方法3.4 静态场的边值问题 讨论内容 3.4.1 边值问题的类型 3.4.2 惟一性定理边值问题：在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程或拉普拉斯方程3.4.1 边值问题的类型 第一类边值问题：电位函数在全部边界面上的分布

18、值。狄里赫利问题 第二类边值问题：函数在全部边界面上的法向导数。纽曼问题 第三类边值问题：一局部边界面上的函数值，和另一局部边界面上函数的法向导数。混合边值问题例：第一类边值问题第三类边值问题3.4.2 唯一性定理假设区域V内的电荷分布和介质分布 确定，在场域V 的边界面S上给定 或 的值，那么拉普拉斯方程或泊松方程在区域V内的解唯一。唯一性定理的意义1、给出了静态场边值问题具有惟一解的条件2、为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论根据3、为求解结果的正确性提供了判据静态场局部典型例题 同轴线内导体半径为a，外导体半径为b。内外导体间充满介电常数分别为 和 的两种理想介质，分界面半径为c。已知外导体接地，内导体电压为U。求:(1)导体间的 和 分布； （2）内外导体间电位分布； (3)同轴线单位长度的电容 （4）单位长度电磁能量分析：电场方向垂直于边界，由边界条件可知，在媒质两边 连续例