高数(工)2测试卷(曲线积分)解答

1、高等数学（工）2测试卷（曲线积分）(附解答)一单项选择题（每小题2分，共10分）1 设 SKIPIF 1 0 为椭圆 SKIPIF 1 0 ，其周长记为 SKIPIF 1 0 ，则曲线积分 SKIPIF 1 0 （ B ）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 2设 SKIPIF 1 0 为曲线段 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则曲线积分 SKIPIF 1 0 （ A ）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 3下列命题中不正确的是（ C ）A设函

2、数 SKIPIF 1 0 有连续的导数，则 SKIPIF 1 0 在全平面与路径无关B曲线积分 SKIPIF 1 0 在全平面与路径无关C设函数 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在某平面区域 SKIPIF 1 0 内有连续的一阶偏导数，且在 SKIPIF 1 0 内恒有 SKIPIF 1 0 ，则曲线积分 SKIPIF 1 0 在区域 SKIPIF 1 0 内与路径无关D设 SKIPIF 1 0 是含原点的平面区域，则 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上与路径无关4设曲线 SKIPIF 1 0 ： SKIPIF 1 0 （ SKIPIF 1 0 具有一阶连续偏导

3、数），过第 = 2 * ROMAN II象限内的点 SKIPIF 1 0 和第 = 4 * ROMAN IV象限内的点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 上从点 SKIPIF 1 0 到点 SKIPIF 1 0 的一段弧，则下列积分小于零的是（ B ）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 5 设 SKIPIF 1 0 为某函数的全微分，则常数 SKIPIF 1 0 （ D ）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 二.填空题（

4、每小题3分，共15分）6设 SKIPIF 1 0 是圆周： SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 7设 SKIPIF 1 0 是连接 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 的直线段，则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 8设 SKIPIF 1 0 是点 SKIPIF 1 0 到点 SKIPIF 1 0 的直线段，则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 9设 SKIPIF 1 0 是圆周 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上对应 SKIPIF 1 0 从 SKIPIF 1 0 到 SKIPIF

5、1 0 的一段弧，则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 10设 SKIPIF 1 0 ： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是关于区域 SKIPIF 1 0 的正向边界，则曲线积分 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 三计算题（每小题7分，共63分）11计算曲线积分 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 是抛物线 SKIPIF 1 0 上的由原点到 SKIPIF 1 0 之间的一段弧解： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SK

6、IPIF 1 0 SKIPIF 1 0 12设 SKIPIF 1 0 是由直线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 所围成的三角形区域的边界，求 SKIPIF 1 0 解： SKIPIF 1 0 由三条线段组成： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （如图所示） SKIPIF 1 0 ： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ： SKIPIF 1 0 ， SKIP

7、IF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 13计算 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 在第一象限自点 SKIPIF 1 0 到点 SKIPIF 1 0 的一段弧解：将 SKIPIF 1 0 写成参数式 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1

8、0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 14计算 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 是椭圆 SKIPIF 1 0 从点 SKIPIF 1 0 沿着上半周到点 SKIPIF 1 0 的一段弧解： SKIPIF 1 0 的参数式方程为： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 1

9、5 已知曲线 SKIPIF 1 0 的方程为 SKIPIF 1 0 （ SKIPIF 1 0 ），起点是 SKIPIF 1 0 ，终点是 SKIPIF 1 0 ，计算曲线积分 SKIPIF 1 0 解： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 16计算 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 为曲线 SKIPIF 1 0 自 SKIPIF 1 0 到 SKIPIF 1 0 的有向弧段 SKIPIF 1 0

10、 解： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 17计算 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为区域 SKIPIF 1 0 ： SKIPIF 1 0 的正向边界解：应用格林公式 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 18计算 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 是曲线 SKIPIF 1 0 从 SKIPIF 1 0 到 SKIPIF

11、 1 0 的一段 解：令 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 19计算积分 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 为（1）圆周 SKIPIF 1 0 的正向；（2）正方形边界 SKIPIF 1 0 的正向解：由于 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 故在 SKIPIF 1 0 时有 SKIPIF

12、1 0 （1）当为 SKIPIF 1 0 时，所围区域 SKIPIF 1 0 中不含 SKIPIF 1 0 ，故可利用格林公式得： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 （2）当 SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 时，所围区域 SKIPIF 1 0 包含原点，不可 直接用格林公式作一小圆 SKIPIF 1 0 ，中心在原点，半径为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，例如可取 SKIPIF 1 0 ，则小圆在 SKIPIF 1 0 内由 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 围成区域 SKIPIF 1 0 就不含原点，可用格林公式得

13、到 SKIPIF 1 0 而小圆可表示 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，有 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 因而 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 四、综合题（12分）20设可导函数 SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ，在全平面上与路径无关，求 SKIPIF 1 0 ，并计算 SKIPIF 1 0 解： SKIPIF 1 0 在全平面上与路径无关， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 ，得到 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKI