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文档简介

1、第五节 点集间的距离维空间中的点集1点集间的距离定义 b.若 ,则 d(A,B)=0; 反之则不一定成立，如A=(-1,0), B=(0,1).注：a.若x B,则d(x,B)=0;反之则不一定成立，如x=0,B=(0,1)2证明：利用d(x,E) d(x,z) d(x,y) +d(y,z) z E例1 设E为Rn中非空点集 ，则d(x,E)是Rn上关于x的一致连续函数所以d(x,E)是Rn上关于x的一致连续函数。可得d(x,E) d(x,y) +d(y,E)，同理d(y,E) d(x,y) +d(x,E),故有|d(x,E)- d(y,E) | d(x,y)3定理：设A为非空有界闭集 ， x

2、Rn ，则必有yA,使得d(x,y)=d(x,A)闭集：与E紧挨的点不跑到E外，也即E外的点与E不可能紧挨又为闭集，故yA,对两边关于i取极限即得d(x,y)=d(x,A)证明：由 可得4定理1：设A,B为非空闭集，且A有界，则必有xA, yB,使得d(x,y)=d(A,B)由于A有界，故证明：由AB5又B为闭集，故yB,另外对两边关于j取极限得d(x,y)=d(A,B)又A为闭集，从而xA ，并可得yni 有界因为当ni充分大时， d(x, yni) d(x, xni ) + d(xni, yni) 1 + ( d(A,B) + 1/ni ）6例2：设F1， F2为Rn中两个互不相交的非空闭集，则存在Rn 上的连续函数f(x) ，使得 （1）0 f(x) 1， x Rn（2） f(x)=0， x F1; f(x)=1, x F2F2F17例3. 每个闭集必是可数个开集的交， 每个开集必是可数个闭集的并证明：设E为闭集，取则Gn为开集，1n8再由E为闭集，可得xE从而每个闭集必

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