专题五解析几何的知识点整理归

1、知识专题五解析几何知识点归纳直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角的范围：0,)直线的倾斜角与斜率关系: ktan(其中)2规律：当(0,)时 ， k0, 倾斜角越大，斜率越大，反之亦成立2当(, )时 ， k0, 倾斜角越大，斜率越大，反之亦成立2当0 时，斜率 k0 ，当时，没有斜率2y1y2 (其中 x1 x2 )过 P1 (x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 两点的直线斜率公式：kx1x2直线的方程的几种形式名称方程形式适用的直线（局限性）点斜式yy0k( xx0 )ykxb不表示垂直于 x 轴的直线斜截式两点式yy1xx1不表示垂直于 x ， y 轴的直线y1y2x1x2截距

2、式xy1不表示垂直于 x ， y 轴与过原点的直线ab一般式Ax ByC0（ A2B20 ）直线方程最终都可以化为一般式特别提示： 过点 P（ a,0) 的直线可设为xamy即xmya(其中 m1 ) , 这样设可避免k对斜率是否存在的讨论。两直线的位置关系 :（1）利用斜率判断设直线 l1: y k1xb1和直线 l2 : y k2 x b2 ,l1 / l 2k1k2且 b1 b2 注：当两直线都没用斜率时也有l1 / l2l1 l2k1k21注：当一条直线没有斜率， 而另一条直线斜率为0 时，也有 l1 l 2（2）利用一般式方程的系数判断设直线 l1: A1 xB1 yC10和直线 l

3、2 : A2 xB2 y C20l1 / l 2A1B1C1(A2 B2 C2 0)注：当 A2B2C 2 0 时另外考虑A2B2C2l1 l2A1 A2B1B20 ( 不需要讨论）距离公式：点到点的距离：点 1(x1 , y1 )到点 P2(x2的距离d( x1 x2 )2( y1 y2 )2P, y2 )知识点到直线的距离：点P (x0 , y0 ) 到直线 l : AxByC| Ax0 By0C |0 距离 dA2B2平行线间的距离 : 设 l1 : AxByC10, l 2 : AxByC20则 d| C1C2 |A2B25. 圆的方程（1）圆的标准方程： ( x a) 2( yb)2

4、r 2 (r0)其中圆心 C( a,b) , 半径 r（2）圆的一般方程：x2y2DxEyF0(其中 D 2E 24F0)x2y2Dx Ey F 0(xD2( yE2D 2E 24F)422圆心 C(D , E ), 半径 rD 2E 24F222（3）直线与圆的位置关系代数法 （把直线方程代入圆的方程，位置关系几何法 ( 利用弦心距 d与半径 r 的大小 ）消去 x 或 y , 利用 判断 ）相 离dr0相 切dr0相 交dr0弦 长r 2d 2( l ) 2其中 l 指弦长l1k2( x1x2 )24x1 x22注：研究直线与圆的位置关系，常用几何法圆上一点 P(x0, y0 ) 引圆 C

5、 的切线有且只有一条，当切线斜率不存在时，切线方程为xx0当切线斜率存在时，切线方程为yy01(xx0 )kCP圆外一点 P(x0, y0 ) 引圆 C 的切线有两条，可先设切线方程为y y0k (xx0 )然后利用圆心C到切线的距离 d 等于半径 r(易忽略了斜率不存在的那条）设 A( x1 , y1), B( x2 , y2 ), 则以 AB 为直径的圆的方程为:(x x1 )( x x2 ) ( y y1)( y y2 ) 0证明：设 M ( x, y) 为所求圆上的任意一点，AM(xx1, yy1 ) ， BM(xx2 , y y2 )由AMBM 0易得： ( x x )( xx )(

6、 yy )( yy) 0即为所求圆的方程。1212知识（4）圆与圆的位置关系位置关系图形几何法公切线条数Rrd外 离Rrd R r4外 切相 交内切内含重要知识： 设圆 C1 : x2圆 C2 : x2当两圆相交时，公共弦ddRr3Rr2dR r d R rddR - r1ddR - r0y 2D1 x E1 y F10 -，Ny2D 2 x E2 y F20-MMN所在的直线方程求法：将两圆方程相减， 即 - 消去 x2 , y2 项，得 :Ax By C0 -,此方程就是公共弦 MN所在的直线的方程，下面解释原因：设 M ( x1, y1), N ( x2 , y2 ) 显然 M , N

7、符合方程Ax1By1C0即：By2C0Ax2由两点 M,N 确定的直线有且只有一条，方程表示的就是一条直线，故公共弦AB所在的直线的方程就是AxByC0知识椭圆的定义及其性质定义：M| MF1 | MF 2 |2a(其中 2a| F1F2 |2c)F1F2标准方程及其性质：A2B 2F2aacb图形cF2B1b B 2A1 F1OA2B 1F1标准方程焦点顶点范围性对称性质a, b, c的关系离心率通径A1x2y21(ab 0)y 2x21(ab 0)a2b2a2b2F1 (c,0), F2 (c,0) 焦距 | F1F2 | 2cF1 (0, c), F2 (0, c) 焦距 | F1F2

8、| 2cA1(a,0), A2 (a,0)B1(a,0), B2 (a,0)A1( a,0), A2 (a,0)B1 (a,0), B2 (a,0)长轴 | A1A2 | 2a,短轴 | B1B2 | 2b长轴 | A1A2 |2a ,短轴 | B1B2 | 2ba x a, b y bb x b, a y a关于 x轴 , y轴 及原点 O对称a2b2c2ec( 0,1)aba2c220，椭圆越圆，离心率1，椭圆越扁aa21e离心率过焦点且与长轴垂直的弦长即通径长d2 b2a椭圆的性质要点 ：六点（ 4 个顶点 +2 个焦点）、两线（ 2 条对称轴）、两形（椭圆上任意一点与两焦点构成的三角形

9、，原点、焦点与短轴顶点构成的三角形)焦半径公式 : 设 M (x0 , y0 )x2y21(a b 0) 上的任意一点 ,为椭圆b2a2知识则 | MF1 | a ex0 ,|MF2 |a - ex0（左加右减）2|MF1|( x0 c)2y02(x0 c)2b2 (1x02 )推导过程：a( c x0a)2| ac x0 | a ex（0a x0 a)aa双曲线的定义及其性质定义：M| MF1 | MF 2 |2a(其中 2a| F1F2 |2c)F1F2标准方程及其性质：B 2F2cA2cba图形aF1B1 Ob B2A2 F2F1 A1A1B1F 1标准方程焦点顶点性范围质x2y21(a

10、 0,b 0)a2b2F1 ( c,0),F2 (c,0) 焦距 | F1F2 | 2cA1 ( a,0), A2 (a,0)虚轴端点 B1 ( a,0), B2 (a,0)实轴 | A1A2 |2a ,虚轴 | B1B2 | 2bxa或 xa, y Ry 2x21(a 0,b 0)a2b2F1 (0, c), F2 (0, c) 焦距 | F1 F2 |2cA1 ( a,0), A2 (a,0)虚轴端点 B1 ( a,0), B2 ( a,0)实轴 | A1A2 | 2a ,虚轴 | B1B2 |2bx R, ya或 y a,对称性a, b, c的关系离心率渐近线通径关于 x轴 , y轴 及

11、原点 O对称c2a2b2ec(1, )bc 2a 2e2 1离心率越大，b 越大即张口越大aaa2ayb xya xab过焦点且与实轴垂直的弦长即通径长db22a知识双曲线的性质要点 ：(1)六点（ 2 个顶点 +2 个焦点 +2 个虚轴端点）、四线（ 2 条对称轴 +2条渐近线）、两形（双曲线上任意一点与两焦点构成的三角形，原点、实轴顶点与虚轴端点构成的三角形)(2)与 双曲线 x2y2 1共渐近线的双曲线可设为x2y2(0)a2b2a2b 2(3)在双曲线中，焦点到渐近线的距离bcbcbdb2ca2抛物线的定义及其性质定义：MdMlF|MF |d 定点 F 叫做抛物的焦点，定直线l 叫做抛

12、物的准线准线 l标准方程及其性质 :MMMMFM图形OFFOMOOMFM标准方程y22(0)y22 px( p 0)x22 py( p0)22 py( p0)px px焦点F ( p ,0)F (p ,0)F (0, p)F (0,p )2222准线方程xpxppyp22y22范围x 0, y Rx 0, y Ry 0, x Ry 0, x R对称性关于 x 轴对称关于 y 轴对称顶点原点 (0,0)离心率e1通径过焦点且与对称轴垂直的弦长即通径长d2p抛物线的性质特点： （ 1）标准方程中，一次项定焦点，一次项系数符号定开口;（2）焦点的非零坐标是一次项系数的1/4,准线方程中的数是一次项系

13、数的-1/4;(3)|MF|=d利用此结论， 可实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间相互转化.(4) 抛物线y22(0)的焦点弦AB性质：设A(x , y ), B( x, y)px p1122| AB | | AF | | BF | ( x1ppx2pAA) ( x2) x1p222x1 x2， y1y224p圆心以 AB 为直径的圆与准线相切F112| AF | BF |pBB知识直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系可分为相交、相切、相离判断方法：设直线 l : Ax By C0( A2B20), 圆锥曲线 C : f ( x, y) 0,由 AxByC 0,即f (

14、 x, y)0将直线 l 方程与圆锥曲线C的方程联立 , 消去 y 得关于 x的一元二次方程ax 2bx c0( 当然，也可以消去 x 得关于 y的一元二次方程),通过一元二次方程的解的情况判断直线l 与圆锥曲线 C 的位置关系，见下表：方程 ax2bx c0 的解位置关系a若曲线是双曲线，有1 个解 , 直线与渐近线平行01 个解 , 直线与对称轴平行相交若曲线是抛物线，有0两个不相等的解相交a00两个相等的解相切0无实数解相离圆锥曲线的弦长公式若直线 l 的斜率存在，不妨设直线方程为：ykxb , 圆锥曲线 C : f ( x, y)0 ,联立方程组ykxm ，消去 y 得关于 x的一元二

15、次方程ax 2bxc0 ，f (x, y)0设直线 l 与曲线 C 的交点 A(x1, y1 ) ,B( x2 , y2 ) , 则 x1, x2 是方程 ax 2bxc0 的两根，记b24ac（1）由韦达定定理可得：x1x2b ,x1 x2caa（2）弦长 | AB |1k2| x1x2 |1k 2( x1x2 )24 x1 x21k2| a |若消去 x ，得关于 y的一元二次方程ay2byc0则|AB| 11| y1y2 |k 211( y1y2 )24 y1 y2k 211k 2| a |知识10. 解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：直线 l1,l 2 的倾斜角互补k1 k20O

16、P OQ(O为原点 )OP OQ0 x1x2 y1 y2 0 （其中 P( x1, y1 ), Q (x2 , y2 ) )在 ABC中, 给出 BAC 900 ,等于己知 AB AC 0 在 ABC中, 给出 BAC为锐角 , 等于己知 AB AC 0在 ABC中, 给出 BAC为钝角 , 等于己知 AB AC 0给出MAMBMP ，等于己知 MP 是AMB 的平分线MAMB在平行四边形ABCD 中，给出 ( ABAD) ( ABAD)0 ，等于已知 ABCD 是菱形 ;uuuruuuruuuruuur在平行四边形ABCD 中，给出 | ABAD| |ABAD |，等于已知 ABCD 是矩形 ;2OB22ABC 的外心（三角形外接圆的在ABC 中，给出 OAOC ，等于已知 O 是圆心，三角形的外心是三角形三边垂