重金属污染分析扩散模型-XXXX建模

1、.：.；数学建模分散模型承 诺 书他们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规那么.他们完全明白，在竞赛开场后参赛队员不能以任何方式包括、电子邮件、网上咨询等与队外的任何人包括指点教师研讨、讨论与赛题有关的问题。他们知道，抄袭他人的成果是违反竞赛规那么的, 假设援用他人的成果或其他公开的资料包括网上查到的资料，必需按照规定的参考文献的表述方式在正文援用途和参考文献中明确列出。他们郑重承诺，严厉遵守竞赛规那么，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规那么的行为，他们将遭到严肃处置。他们参赛选择的题号是从D/E/F中选择一项填写： 他们的参赛报名号为假设赛区设置报名号的话： 所属学校请填写完好的全

2、名： 参赛队员 (打印并签名) ：. . . 指点教师或指点教师组担任人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号由赛区组委会评阅前进展编号：重庆邮电大学数学建模第二次模拟编 号 专 用 页赛区评阅编号由赛区组委会评阅前进展编号：赛区评阅记录可供赛区评阅时运用：评阅人评分备注全国一致编号由赛区组委会送交全国前编号：全国评阅编号由全国组委会评阅前进展编号：放射性气体分散浓度预估模型【摘要】本文是以日本地震引起的福岛核电站的核走漏为背景，并以给出的数据为根底，研讨某一假设核电站的核走漏问题。他们经过搜集相关的资料，并结合标题给出的数据，建立了高斯模型、延续点源高斯分散模型处理了标题提出的四

3、个问题。针对问题一：思索到走漏源是延续、均匀和稳定的，他们运用散度、梯度、流量等数学概念，经过“走漏放射性物质质量守恒、“气体走漏延续性定理、 Guass公式及积分中值定理得到了无界区域的抛物线型偏微分方程，然后再经过电源函数解出空间恣意一点的放射性物质浓度的表达式，把此表达式定为模型一的前身。鉴于放射性物质的分散遭到诸多要素的影响，如：走漏源的实践高度、地面反射等。他们以走漏口为坐标原点建立三维坐标系，经过“像源法处置地面反射对放射性物质浓度的影响，并由此对模型一的前身进展修正完善，得到模型一：高斯模型，即放射性物质浓度的预测模型。最后他们模拟了放射性物质无风分散仿真图。针对问题二：当风速为

4、k m/s时，他们根据放射性核素云团在大气中迁移和分散的数值计算的根本方法和步骤，并以走漏点源在地面的投影点为坐标原点，以风向方向为轴，铅直方向为轴，与轴程度面垂直方向为轴建立三维坐标系，地面的反射作用同样利用“像源法进展处置，得到延续点源高斯分散模型。思索到地面反射、烟云抬升、放射性物质本身的沉降及雨水的吸附等对浓度的影响，他们对延续点源高斯分散模型进展了修正，建立了修正的延续点源高斯分散模型。最后利用大气稳定度确定了分散参数，进而求解了模型。针对问题三：经分析，问题三的提出是以问题二为根底的，模型三的建立只需求将模型二加以调整即可。他们以风速方向为轴正方向，将风速与放射性物质的分散速度进展

5、矢量运算，此问题那么转化为求和两点处的放射性物质浓度，由此建立模型三，即上风和下风公里处放射性物质浓度浓度的预测模型。针对问题四：首先，他们经过网络搜集了相关数据，然后，他们结合模型二、模型三对数据进展整理代入，算出了日本福岛核电站走漏的放射性物质分散到中国东海岸和美国西海岸的浓度分别为、。关键词：高斯模型 延续点源高斯分散模型 核走漏 一 问题的重述. 问题背景目前，核电站的开展能带来宏大的经济效益和社会效益，但核电站一旦发生核走漏，将会给人们的生命安康和周边环境带来宏大的危害性影响。年月日本的福岛核电站的放射性气体的核走漏事件更让他们关注放射性气体走漏时的浓度问题。因此，正确的测出大气中放

6、射性物质的浓度在环境监测和平安评价中具有重要意义. 问题提出有一座核电站遇自然灾祸发生走漏，浓度为的放射性气体以速度m kg/s匀速排出，在无风的情况下，以速度s m/s匀速在大气中向周围分散. 在无风的情况下，建立一个描画核电站周边不同间隔 地域、不同时段放射性物质浓度的预测模型。 当风速为k m/s时，给出核电站周边放射性物质浓度的变化情况。 当风速为k m/s时，分别给出上风和下风L公里处，放射性物质浓度的预测模型。 将建立的模型运用于福岛核电站的走漏，计算出福岛核电站的走漏对我国东海岸，及美国西海岸的影响。计算所用数据可以在网上搜索或根据详细情况本人模拟。二 符号阐明空间恣意一点的放射

7、性物质的分散系数空间恣意一点的放射性物质浓度放射性气体的分散速度, m/ s走漏源走漏的放射性物质总量空间域空间域其体积一规那么的球面面积在内经过的流量内放射性物质的增量恣意分散时辰走漏源距地面的实践高度烟云抬升高度走漏源有效高度走漏源高度处的平均风速，m/ s源强，用浓度规范差表示的轴上的分散参数放射性气体出口流速,m/s走漏源出口的有效内径走漏源的热排放率，走漏源出口处温度，环境大气平均温度，沉降速度，空气的动力粘性系数雨水吸附系数太阳高度角三 模型假设、分散过程中浓度在、轴上的变化分布是高斯分布。、放射性物质的分散看作是空间某一延续点源向周围等强度地瞬时释放放射性物质，放射性物质在无穷空

8、间分散过程中不发生性量变化，且不计地形影响。、放射性物质分散服从分散定律，即单位时间经过单位法向面积的流量与它的浓度梯度成正比。、放射性物质在穿过降雨区域时，其强度由于雨水的吸收而减少，减少比率为常数。、假设地面对放射性气体起全反射作用，地面和海面对放射性气体没有吸附，将海面视为平原地域、假设风向为程度风向，且风向风速不随时间变化。、分散过程中不思索走漏点内部温度的变化对气体分散的影响。 四 问题的分析. 问题的分析一座核电站遇自然灾祸发生核走漏，浓度为放射性气体以速度m kg/s匀速排除，这近似于放射性物质源是延续均匀稳定的。在无风情况下，放射性气体以速度s m/s匀速在大气中向周围分散，放

9、射性气体的分散服从分散定律，即单位时间经过单位法向面积的流量与它的浓度梯度成正比。在这些条件下，他们明确了要研讨的问题是点源延续走漏的分散问题，题给条件中明确要求不思索风力的影响，但为了使建立的模型更加贴近实践，需思索地面反射、核走漏源的实践高度、降雨等要素对浓度分布的影响。由“分散定律“放射性物质质量守恒定律“气体走漏延续性定理可得出无界区域的抛物线型偏微分方程。再经过假设条件建立未思索地面反射、核走漏源的实践高度、降雨等浓度影响要素的初步模型，然后从这些影响要素对模型进展完善，最终得出核电站周边不同间隔 地域、不同时段放射性物质浓度的预测模型。. 问题的分析本问是探求风速为时，核电站周边放

10、射性物质浓度的变化情况。当环境中空气流动产生风力时，在均匀湍流场中，分散参数与下风向间隔 的关系是明确的，核走漏走漏时间较长时，可以为分散是稳定的。在下风向的湍流分散相对于风力引起的移流相可忽略不计，在流动方向建立x轴，不思索横向速度和垂直速度。根据假设，空间中放射性物质的浓度服从高斯分布，可利用延续点源放射性物质的高斯分散模型。放射性物质在大气中分散受诸多要素影响，思索走漏源有效高度、放射性物质本身重力产生的重力沉降、雨水的吸附等要素对放射性物质浓度的影响是必要的，经过这些影响要素对高斯模型进展修正，然后利用修正后的高斯模型探求核电站周边放射性物质浓度的变化情况。. 问题的分析本问是要求当风

11、速为时，建立上风和下风公里处的放射性物质浓度的预测模型。经分析，此问是问题的延伸，他们只需建立适宜的坐标系，将此问题转化为求详细两处的放射性物质的浓度，便能得出上风和下风公里处的放射性物质浓度预测模型。. 问题的分析本问要求将之前建立的模型运用于日本福岛核电站的泄走漏，计算出福岛核电站的走漏中国东海岸和美国西海岸的影响，此问实践上是将模型二、模型三详细化。经过搜集求解模型的相关数据，利用模型和数据模拟日本福岛核泄露对中国东海岸和美国西海岸的影响。五 模型的建立与求解. 模型一的建立与求解. 模型一的初步建立以核走漏点正下方的地面为坐标原点，平均风向为X轴、指向下风方向，铅直方向为Z轴，程度垂直

12、于风向轴X轴为Y向，建立空间坐标系，那么核电站走漏点距有效地面的高度为，那么走漏点位置坐标为。 图一：空间坐标系表示图将气体从走漏源走漏时辰记作t=，时辰t无穷空间中恣意一点坐标为x,y,z的浓度记为Cx,y,z,t,根据假设，单位时间经过单位法向面积的流量与浓度梯度成正比，那么： 是分散系数，表示梯度，负号表示由浓度高向浓度低的地方分散。调查空间域，其体积为，包围的曲面为，为一规那么的球面，外法线向量为。那么在内经过的流量为： 内放射性物质的增量为： 从走漏源走漏的放射性物质的总量为： 根据“质量守恒定律和“气体走漏延续性原理，单位时间内经过所选曲面的向外分散的放射性物质的量与曲面内放射性物

13、质增量之和，等于走漏源在单位时间内向外走漏的放射性物质。那么： 即：又根据曲面积分的Gauss公式： (其中是散度记号) 由以上两式得：即为： 由以上公式并利用积分中值定理得： 这是无界区域的抛物线型偏微分方程，根据假设，初始条件为作用在坐标原点的电源函数，记作 方程满足方程的解为： 此模型只是在不思索风速的情况下建立的，但为了使模型具有更加的适用性，下面他们将思索走漏源的实践高度、地面反射、降雨等要素对浓度的影响，完善模型。 . 模型一的最终建立. 地面反射对模型的完善走漏源有一定的高度，且走漏点源是延续点源，那么走漏点源可视为高架延续点源，思索到地面对分散来的放射性气体有反射作用，根据假设

14、，地面对到达地面的分散气体完全反射。这儿可以为地面就像镜子一样，对放射性气体起全放射作用，可用“像源法处置，如图，建立三个坐标系，一是以走漏源实源为坐标原点；二是以走漏源在地面的投影点为原点，点是空间的恣意一点，坐标为；三是以走漏源关于地面的像对称源像源为原点。把点放射性气体浓度看成两部分实源与像源作用之和。图二： 高架延续点源分散表示图从以上分析知，点放射性气体的浓度为实源和像源的放射性气体分散至此点浓度的叠加。那么实践走漏源实源对点的浓度奉献部分可用来表示；由于地面对分散物质完全反射，那么像对称源像源对点的浓度奉献部分可用来表示。于是对式所修正完善的模型为： 他们本人模拟一组数据，利用ma

15、tlab进展仿真模拟，可实现该模型的模拟图像。假设分散系数=.，放射性物质的初始浓度=，分散时间t=，放射源总量=。程序见附录一图三：核走漏无风分散. 模型二的建立与求解. 模型二的建立放射性核素云团在大气中迁移和分散的数值计算根本上可分为二步。第一步根据大气动力学实际进展所关怀区域中风场的计算，其实际根底是大气运动方程、延续性方程、形状方程、热力学方程和水汽方程构成的根本方程组。在大气科学研讨领域中，已有多个适用的大气环流方式。第二步进展知风场中放射性核素云团迁移和分散的计算，可采用类似于处置大气污染的方法，假设放射性核素云团不影响大气流体速度和温度，求解放射性核素的延续性方程。当风速为时，

16、利用延续点源高斯分散模型分析核电站周边放射性物质浓度的变化情况。此走漏点源是有边境点源，走漏点源的实践高度为。以走漏点源在地面的投影点为坐标原点，以风向方向为轴，铅直方向为轴，与轴程度面垂直方向为轴建立三维坐标系，由于分散过程中浓度在、轴上的变化分布符合高斯分布，所以下风向的恣意一点的浓度函数为： 根据概率统计他们可以得出方差的表达式为： 进而源强的积分公式可以根据假设得出： 把式代入积分可以得出： 将()式和式代入式可以得出： 最后再将把、式代入式可以得出： 上式为无界空间延续点源分散的高斯模型，然而在实践中，由于地面的影响，烟羽是有界的。根据假设可以把地面看做一镜面，对走漏的气体起反射作用

17、，同样他们可以利用“像源法进展处置，原理和表示图在模型一的修正中提到，因此他们得出：实源的奉献为： 像源的奉献为： 那么该处的实践浓度为： 综合上面的公式得到延续点源高斯烟羽分散模型： . 模型二的修正延续点源高斯分散模型虽然能分析风力对浓度的影响情况，但为了能更准确的探求风力对核电站周边放射性物质浓度的影响情况，他们将思索走漏源有效高度、放射性物质本身的沉降作用和雨水吸附作用对放射性物质浓度的影响，进而对延续点源高斯分散模型进展修正。. 走漏源有效高度对模型的修正如下图，走漏源的有效高度是由两部分组成，一是核走漏口距有效地面的高度；二是在实践核分散中核走漏气团从走漏口排出时，由于遭到热力抬升

18、和本身动力抬升，进而产生的一个附加高度。因此。图四： 烟云抬升表示图附加高度，主要由核走漏处走漏气体的气流具有一初始动量使他们继续垂直上升和气流温度高于环境温度产生的静浮力决议，这两种动力引起的烟云浮力运动称烟云抬升，附加高度即烟云抬升高度，烟云抬升有利于降低地面的污染物浓度。而且还遭到风速、地形地貌等多种要素的影响。A：当大气稳定度为中性时，计算烟气抬升高度利用公式 式中： ：走漏源出口处的平均风速，m/s；：放射性气体出口流速，知为m/s；：走漏源出口的有效内径；：走漏源的热排放率，；：走漏源出口处温度，；：环境大气平均温度，取当地近五年的平均值；B：当大气条件为不稳定时，利用公式计算烟气

19、抬升高度当时 当时 综上所述，走漏源的有效高度为： . 思索放射性物质本身的沉降作用对模型的修正放射性物质的沉降速度取决于空气阻力和本身重力，利用斯托克斯公式表示沉降速度： ：放射性物质粒子密度，；：重力加速度，. ；：放射性物质粒子直径，；：空气的动力粘性系数，可取；：沉降速度，含碘放射性核素的沉降速度为= . cm/ s；在分散过程中重力沉降的位移叠加在羽流中心线上，使中心线向下倾斜，放射性物质粒子那么相当于在下倾的中心线上分散，放射性物质的分散与沉降的叠加可以为是放射源以的速度向下挪动。在处向下挪动的垂直间隔 为，即走漏源的有效高度下降了，走漏源的有效高度成为，思索到地面的全反射作用，反

20、射项的有效高度也变成了。那么修正后的延续点源高斯分散模型为：. 思索雨水的吸附作用对模型的修正降雨对放射性物质的浓度有一定影响，即雨水对放射性物质有一定的吸附作用。以吸附系数来表示雨水对放射性物质吸附作用的大小，与降雨强度的关系为：，式中为降雨强度，为阅历系数。假设放射性物质含碘，那么；反之，。雨水的吸附作用导致的放射性物质浓度的减小，可对源强进展修正： 那么进一步修正的延续点源高斯分散模型为：综上所述：修正的延续点源高斯分散模型为：. 模型二的求解模型所需参数的选取对模型的求解至关重要，通常情况下气候参数的选取是利用该地域多年气候资料，采取工业平安与环保统计的方法进展有关参数确实定，而其他分

21、散参数那么以实践测定为准。A：大气稳定度的计算根据我国规范(GB/ T ) )制定地方大气污染物排放规范的技术方法的规定，大气稳定度分为级，分别为A极不稳定、B不稳定、C弱不稳定、D中性、E弱稳定、F稳定。该方法的技术道路是：根据核走漏源所在地的经度和纬度以及走漏的日期和时间计算当时的太阳高度角，利用天气条件确定辐射等级，然后利用辐射等级和风速确定大气稳定度，最后查分散参数幂函数表，确定分散参数。 首先，然后，由太阳高度角和云量查出太阳辐射等级；最后，再根据地面风速确定当时的大气稳定度。总云量/低云量夜间太阳高度角-+-+-+表一：太阳辐射等级地面风速太阳辐射等级+-.AA-BBDEEA-BB

22、CDEFBB-CCDDECC-DDDDDCDDDDD注：地面风速系指距地面m高度处min平均风速表二：大气稳定度的等级B：分散参数确实定分散参数确实定，采用给出一套分散参数幂函数表，如表三和表四：大气稳定度ABCDEF表三： 分散参数平原地域和城市远郊区大气稳定度A-BCDE-F表四： 分散参数工业区和城市中心区. 模型三的建立与求解当风速为时，建立上风和下风公里处放射性物质浓度的预测模型。此问题可以利用模型二进展求解，将模型二中的交换成,其中为风速的向量表示，为走漏点放射性气体本身分散速度的向量表示。根据假设，风速沿轴正方向，恒为正。对上风向公里处放射性气体浓度计算时，方向沿轴负方向，为负；

23、对下风向公里处放射性气体浓度计算时，方向沿轴正方向，为正。因此此问题转化为求和两处的放射性气体浓度，即风速为时，上风和下风公里处放射性物质浓度的预测模型为： 他们根据模型分别模拟下风向和上风向的放射性物质分散仿真图，如图五、图六：程序分别见附录二、三图五：核走漏下风向分散图图六：核走漏上风向分散图. 问题的求解此问题可结合模型二和模型三求解，他们经过网络搜集了相关数据，将这些数据代入模型进展模拟。数据显示，日本在核走漏时期的风向主要为偏西风，风速为-级,辐射源强度。建立如图七东海岸分散图中所示的坐标轴，那么中国东海岸的坐标大约可取为-km,km。建立如图八西海岸分散图中所示的坐标轴，那么美国西

24、海岸坐标大约取为,。根据模型二的求解方法可确定，风速为m/s，分别求解福岛核电站核走漏走漏的放射性物质分散到中国东海岸和美国西海岸的浓度：中国东海岸：=美国西海岸：=图七：东海岸分散图图八：西海岸分散图六 模型的评价及改良.模型的评价. 模型优点第一：模型一，他们思索了走漏源高度、地面反射等要素对放射性物质浓度的影响，利用这些影响要素对浓度预测模型进展了修正完善，建立的浓度预测模型具有适用性、高精度性、合理性。第二：模型二，他们建立了延续点源高斯分散模型，并思索了烟云抬升高度，求得走漏源的有效高度，经过走漏源的有效高度、放射性物质本身的沉降作用、雨水的吸附作用对模型进展修正，得到了更优化的延续

25、点源高斯分散模型。此模型能较好的求出核电站周边放射性物质浓度，并与模型一求出的浓度进展比较，从而给出核电站周边放射性物质浓度的变化情况。第三：模型三是在模型二的根底上加以修正转化的，因此模型三承继了模型二的优点，使放射性物质浓度的预测更加准确。第四：他们建立的以上模型在核事故的应急救援过程中，对救援人员划定警戒区和确定周围居民的疏散范围具有重要意义，并可为制定救援方案和应急决策提供科学根据。对放射性云团在空中迁移和分散提供浓度的定量描画，也对能够发生的核事件的放射性核素浓度监测及监测时间范围提供相关信息。. 模型缺陷第一：模型只思索了平原和城市两种情况，不利于分散参数确实定。但地形复杂多变，不

26、能找到充分的数据对其进展分析。第二：模型缺乏检验。没有相关数据和规范用于模型的检验。. 模型的改良日本是多山国家，思索山林对放射性物质分散的影响能更好的预测和估算放射性物质的浓度；放射性物质的分散，特别是向其他国家地域分散，放射性物质的分散大多要跨洋越海，思索海水对放射性物质的吸收显得至关重要，将此要素思索进去，能使模型更加贴近实践。七 参考文献 卓金武，魏永生，秦建，李必文Matlab在数学建模中的运用 M 北京：北京航空航天大学， 程勇，于林，姚安林采用高斯模型分析输气管道走漏后气体的分散 J 内蒙古石油化工， ，：- 张斌才，赵军大气污染分散的高斯烟羽模型及其GIS集成研讨J 环境监测管理与技术，：-八 附录附录一：%绘制当没有风影响时放射性物质的分散图形function =expand(k,Q,C,t,r,ws,wa,wd)R=sqrt(-)*k*t*log(C/(-r)*Q).*(*pi*k*t)(.)for i=:t/if (wd*(i/)=R R=R-wd; R