梅涅劳斯定理与塞瓦定理

1、精品文档塞瓦定理设 O 是 ABC 内任意一点，AB 、 BO 、 CO 分别交对边于D、 E、 F，则BD/DC*CE/EA*AF/FB=1（）本题可利用梅内劳斯定理证明： ADC 被直线 BOE 所截，CB/BD*DO/OA*AE/EC=1而由 ABD 被直线 COF 所截，BC/CD*DO/OA*AF/DF=1 :即得： BD/DC*CE/EA*AF/FB=1（）也可以利用面积关系证明BD/DC=S ABD/S ACD=S BOD/S COD=(S ABD-S BOD)/(S ACD-S COD)=S AOB/S AOC同理CE/EA=S BOC/ S AOBAF/FB=S AOC/S

2、BOC得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1塞瓦定理：设P、Q、R分别是ABC的 BC、 CA、 AB边上的点，则 AP、BQ、CR三线共点BPCQAR的充要条件是 :1ARQMABPCB1C1.CBA1精品文档证：先证必要性：设AP、 BQ、CR相交于点 M ，则：BPS ABPS BMPS ABM 同理： CQSBCM,ARS ACMPCS ACPS CMPS ACMQAS ABMRBS BCM以上三式相乘，得： BPCQAR 1PCQARB再证充分性：若BPCQARPCQARB1，设 AP与 BQ相交于 M ，且直线 CM 交 AB于 R，由塞瓦定理有：BPCQAR拻ARARPCQA1

3、，于是： RB因为 R和 R 都在线R BR B段 AB上，所以R必与 R重合，故 AP、 BQ、 CR相交于一点点 M ；例1：证明：三角形的中线交于一点；证明：记ABC的中线 AA ，BB， CC，我们只须证明AC1BA1CB11111C BACB A111而显然有：AC1C1B, BA1AC ,CBB1 A即 AC1BA1CB1成立，ABC交于一点；111C BACB A11A1A【练习 1】证明：三角形的角平分线交于一点；【练习 2】证明：锐角三角形的高交于一点；B1C1例2：在锐角ABC中, 角C的平分线交C1B1于 AB于 L，从 L作边 AC和 BC的垂线，垂CC足分别是 M 和

4、 N，设 AN 和 BM 的交点是BA1BA1P，证明： CPAB证：作CKAB下证CK、BM、AN三线共点，且为点，要证CK、BM、AN三线共点，P依塞瓦定理即要证： AMCNBK1又MCCNCMCNBAK即要证明： AMBK1AMLAKCAMALNAKNBAKACBNLBKCBKBC即要证 ALBC1MNBBLACBL依三角形的角平分线定理可知：ALBC1AKLBACBLCK 、 BM 、 AN三线共点，且为 P点CPAB例 设AD是的高，且D在BC边上，若 是AD上任一点，、分别与、3.ABCPBP CPAC交于 和F，则FDAABEEDA证：过 A作 AD的垂线，与 DE、 DF 的延

5、长线分别交于 M 、N。欲证EDAFDA，可以转化为证明 AMANADBC故，可得AME，ANFBDFMN / BCCDEAMAE,ANAF,于是AMAE CD ,ANAF BDCDCEBDBFCEBFAD、BE、CF 共点于 P，根据塞瓦定理可得： BDCEAF1DCEAFBAE CDAF BDEDAFDACEAM ANBF.精品文档【练习 】已知外有三点M、 ，且BARCAN, CBM3ABCN RABR,ACNBCM，证明：AM、BN、三线共点；CR例4.在 ABC的边 BC、CA、AB上取点 A1、 B1、 C1，证明：AC1BA1CB1sinACC1sinBAA1sinCBB1C1

6、BAC1B1 AsinC1CBsinA1 AC sin B1 BA证：如图对ACC1和 BCC1应用正弦定理，可得：AC1 sinACC1 CC1sinB即：AC1sinACC1 sin BC1CsinAC1 Bsin C1CBC1Bsin C1CB sin A同理： BA1sinBAA1sinC , CB1sinCBB1sinAACsinA1 ACsinBB1 AsinB BAsinC11从而 AC1BA1CB1sinACC1sinBAA1sinCBB1C BACB1 AsinC1CBsinA ACsinB BA1111【练习 4】在 ABC的边 BC、CA、 AB上取点 A1、 B1、 C

7、1，使 AA1、BB1、CC1相交于一点，证明，关于角平分线对称于这些直线的直线 AA2、 BB2、CC2也相交于一点；课外作业：1.设A1、B1、 C1是 ABC的内切圆与边 BC、CA、AB的切点，证明 : 直线 AA1、BB1、CC1三线共点；2.从圆上的点 A、D引切线，相交于点 S。在 AD弧上取点 B和C，直线 AC和BD相交于P， AB和 CD相交于点 Q，证明，直线 PQ过点 S；3.在 ABC的边上向外作正方形， A1、 B1、C1是正方形的边 BC、CA、AB的对边的中点，证明，直线 AA1、 BB1、CC1相交于一点；练习 答案：证：记的角平分线分别是AA1 , BB1,

8、CC1,AC1bBA1c CB1a1ABCC B,b,caACB A111AC1BA1CB11 三角形的角平分线交于一点；C1B AC1B1 A练习 答案：证：记锐角ABC的角平分线分别是AA1 ,BB1, CC1 ,2设 ，那么x,则：c2(bx)2BB1a2x2CB1xa 2b2c 2CB1 xAB1 b2b则： B1Ac2b2a2同理可得： AC1b2c 2a 2, C1Ba 2c2b22b2c2cBA1c2a 2b2, A1Cb2a2c 2AC1 BA1 CB112a2aC1B A1C B1 A锐角三角形的三条高交于一点；.精品文档练习3的答案：证：设 AM 与BC交于 M , BN与

9、AC交于 N ， CR与 AB交于 R,ABC的三个内角分别记为A、B、CSAB BMsin(A1AB sinBAM)ABsinsin(B)BMABMAM1CMSAC sinCAMAC CMsin(CAC sinsin(C)ACM)AMAB sinsin(B)CN BC sinsin(C)CAsinsin(A)BMAR即： AC sinsin(C)同理：BA sinsin(A,CBsinsin(B)CMAN )BR将以上三式子相乘可得：BM CN AR 1, 根据塞瓦定理可知： AM 、 BN 、CR 三点共线。 CM AN BR练习4的答案：证： A2、 B2、 C2位于ABC的边上，根据例

10、 4的结论有：AC2 BA2 CB2sinACC2sinBAA2sinCBB2C2B A2C B2 AsinC2CBsinA2 ACsinB2BA又 AA2、BB2、 CC2关于角平分线对称于 AA1、 BB1、CC1，则ACC2C1CB , ACC1C2CB ,sinACC2sin BAA2sinCBB2sin C1CB sinA1 ACsinB1BAsinC2CBsinA2 ACsinB2 BAsin ACC1 sinBAA1sinCBB1C1B A1C B1 A1AC1 BA1 CB1从而 AC2BA2CB21AA 、 BB 、 CC 三线共点C2 BA2 CB2 A222课后练习答案：

11、1.证：显然 AC1B1 A,BA1C1 B,CB1A1CAC1BA1CB11即： AA1、BB1、CC1三线共点C1B A1C B1AsinASPsinDAP sinSPPsinASQsin CAQsinSDQ2.证：PSCsinPAS sinPPA1QSC sin QAS sin QDAsinsin又DAPSDQ , SDPDAQ ,PASQDA ,PDAQAS ,sinASPsinASQS、 P、 Q位于一条直线上sinPSDsinQSD.精品文档3.证：记直线 AA1、 BB1、 CC1与边 BC、 CA、 AB的交点分别为A2、 B2、 C 2BASABA1ABBAsinABAABs

12、in(B)211A2 CS ACA1ACCA1sinACA1ACsin(C)其中 CBA1BCA1arctan 2同理：CB2BCsin(C)AC2ACsin(A)B2 AABsin(A)C 2 BBCsin(B)将上面三条等式相乘可得：BA2CB2AC2 1AA1、 BB1、 CC1共点A2CB2 AC 2 B.精品文档说明：赛瓦定理的逆定理是证明线共点类问题的一把利器！如三角形中 三条高、 三条角平分线、三条中线共点都可以利用塞瓦定理的逆定理很轻松地解决。.精品文档.精品文档说明：恰当的选择截线是应用梅涅劳斯定理的关键，其逆定理常用于证明点共线，应用很广泛。解决比较复杂的问题时注意赛瓦定理

13、与梅涅劳斯定理联用。.精品文档个一、一、选择题A1、如图：设一直线与ABC 的边 AB 、 AC 及 BC 延长线分别交于X、Y、Z，则AX BZ 与 AY 的关系为X（）YXB ZCCYAXBZAYAXBZAYAXBZAYA 、ZCCYB 、ZCCYC、ZCD 、XBXBXBCY不能确定2、如图：设 X 、Y 、 Z 分别是 ABC 的边 BC 、 AC、 AB 上的点， AX 、 BY 、CZ 相交于点 O，则 AZBX 与 AY 的关系为（）ZBXCYCA、 AZBXAY ；B 、AZBXAY ；C、AZBXAY ；D、ZBXC YCZBXCYCZBXCYC不能确定ZBC第 1 题AZYOBX第 2C题A3、如图，在 A