中学数学建模教学及应用

1、中学数学建模教学及应用21世纪课程改革的一个重要目标就是要加强综合性、应用性内 容，重视联系学生生活实际和社会实践。这是在课程、教学中注入素 质教育内容的具体要求。因此，进入 21世纪以后，数学应用题的数 量和分值在会考和高考中将逐步增加，中、低档题目将逐渐齐全，并 将在命题中转变传统的学科体系观念， 结合生活实际和社会实践，突 出理论与知识结合，理论与实践结合，引导学生关心社会、关心未来， 实现高考命题改革与中学教育、教学观念改革的结合，成为推动素质 教育发展的重要内容。重视和加强中学数学建模与应用， 是数学教学 为实现上述目标的突破口和出发点。首先，数学应用问题，就是指用数学的方法将一个表

2、面上非数学 问题或非完全的数学问题转化成完全形式化的数学问题。求解数学应用问题的思路和方法，其一般步骤是：.解读：领会题意，并把题中的普通语言，译成数学语言；.建模：根据题目要求，分析量与量之间的关系，建立恰当的 数学模型，并注意题目对变量的限制条件，加以括注；.解模：对已经数学化的问题，用所学过的数学知识处理， 求出解答；.验核：将数学问题的解代入实际问题核查，舍去不合题意的 解，并作答。我们可以用示意图表示为：|求祠魔|壁暨、薇学模型!:推理 演 苴 * 1不爆流啊 1I实际1冗镀的解T:载字模郊的群其次，根据大纲要求和现行教材内容，中学数学建模教学的主要 内容有：集合交、并、补的应用，不

3、等式的应用，函数的应用，指数 函数和对数函数的应用，三角函数的应用，向量的应用，复数的应用， 线性规划的应用，圆锥曲线的应用，等差数列和等比数列的应用，较 复杂的计数问题举例，立体几何的应用等。止匕外，结合时代发展的特 点，涉及现代生活的经济统计图表（识别、分析、绘制），数据拟合 （最小二乘法），动态规划（货郎担问题，生产计划问题等），网络规 划（绘制、计算、优化），矩阵对策，股票、彩票发行模型，风险决 策，市场预测，存贮原理，供求模型，蛛网模型，法律与犯罪问题， 就业与失业，广告与税款等，以及有关跨学科的生态平衡、环境保护、 人口生命等方面的问题的建模。在此基础上，应对上述内容，对其建模的主

4、要类型进行化归。一、建立或化归为函数模型如现实生活中普遍存在着最优化问题-最佳投资、最小成本 等，常常归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变 量的限制条件，运用函数知识和方法解决。例：在NBA勺一场比赛中，某球员跳起投篮，球沿抛物线y =1x2+3.5运行（如图所示），然后准确落入篮框内。已知篮框5的中心离地面的距离为3.05米。（1）球在空中运行的最大高度为多少米？ （2）如果该球员跳投时，球出手离地面的 高度为2.25米，请问他距离篮框中心的水 平距离是多少？前言：在我们接触到的与二次函数有关的实 际问题中，有部分题目，其特点是题中给出 解析式，要求学生通过对解析式的观察、分

5、 析，画出图象，并根据图象找出正确的数量 关系，建立数学模型。分析：（1）由解析式可知，抛物线的开口方向向下，故函数有最大值3.5 ,此时的值即为球在空中运行的最大高度；（2）由篮框的中心离地 面的距离为3.05米，可知此时的函数值是3.05,可求出篮框的中心 所对应的自变量的值，即可求出篮框中心与对称轴的水平距离；由该球员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，可知此时的函数值是 2.25 ,可求出该球员所在位置对应的自变量的值，即可求出该球员与对称轴的距离。两距离之和即为该球员与篮框中心的水平距离。解：（1）因为抛物线y = 1x2+ 3.5的顶点坐标为（0, 3.5）,所以5球在空中运行

6、的最大高度为3.5米；在 y=-1x2+3.5 中，y= 3.05 时，3.05 = 1 X2+3.5 ,解得 x2 = 2.25, 55所以x= 1.5 ,又因为x0,所以x= 1.5 ,当丫= 2.25 时，2.25 = -1x2 +3.5,解得 x2 = 6.25 ,所以 x=2.5,5又因为x0,所以x= - 2.5 ,故运动员距离篮框中心水平距离为11.5 | + 1 - 2.5 | = 4米。反思：通过对解析式的分析，画出图象，并通过图象将生活与数学联系起来，本题是这类题中最具代表性的。教学中，应先让学生把“球运行的最大高度”及“人手、篮框的高度”转化为数学语言。抓 住这两点，学生

7、就能很容易地找出数量关系，建立起正确的数学模型。二、建立或化归为方程或不等式模型现实世界中广泛存在着数量之间的相等或不等关系，如投资决策、 人口控制、资源保护、生产规划、交通运输、水土流失等问题中涉及 的有关数量问题，常归结为方程或不等式求解。例（2007山东卷）某公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时 间不超过300分钟的广告，广告费用不超过9万元。甲、乙电视台的 收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟。假定甲、乙两个电视台 为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元。问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能 使公司的收益最大？最大收益是多少

8、万元？前言：这是高考中继江苏卷线性规划大题后第二个线性规划大题。要 解决这一题，学生需掌握如何用线性规划解决实际问题的解题思路： 首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目 标函数。然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行 域内求得使目标函数取得最值的解。 最后，还要根据实际意义将数学 模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解。操作步骤：教师引导学生列出如下表格:甲乙合计时间x分钟y分钟300收费500元/分钟200元/分钟9万元理清了量与量间的关系，紧接着建立模型。设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x分钟和y分x y 300, y 0.钟

9、，总收益为Z元。根据题意可列出约束条件500 x 200y 90000, x 0,目标函数为z 3000 x 2000y二元一次不等式组等价于x y 300,5x 2y 900,x 0,y 0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，如图。作直线 l :3000 x 2000y 0,即3x 2y 0平移直线l,从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值x + y = 3005x+2y = 900，解得 x=100, y=200点M的坐标为（100,200）二 Zmax =3000 x+2000y=700000 （元）回归实际问题。因此该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟

10、 广告，公司的收益最大，最大收益是 70万元。反思：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找 出约束条件和目标函数是关键。教学中，教师应注意指导学生学会处 理数据（分类、列表格），应让学生切实学会从实际问题抽象出约束 条件及目标函数。建立或化归为数列模型现实生活中的许多经济问题，如增长率、利息（单利、复利） 、 分期付款等与时间相关的实际问题；生物工程中的细胞繁殖与分裂等 问题；人口增长、生态平衡、环境保护，物理学上的衰变、裂变等问 题，常通过建立相应的数列模型求解。例：据估计，由于伊拉克战争的影响，伊拉克将产生 100万难民, 联合国难民署计划从4月1日起为伊难民运送食品。第一天运

11、送 1000t,第二天运送1100t,以后每天都比前一天多运送100t,直到达 到运送食品的最大量，然后每天减少 100t,总共运送21300t,连续 运送15天，求在第几天达到运送食品的最大量？教师引导学生观察，这是一道以国际时事为背景的应用题，从题中给出的信息我们发现了等差数列的模型。分析：由于前段时间每天都比前一天多运送 100t,后段时间每天 减少100t,所以每天运送的食品量构成两个等差数列。易知第一个等 差数列的首项与公差，从而求出通项公式。构造出第一个等差数列后， 以此为基础再构造第二个等差数列。题中连续15天，总共运送21300t,即给出了两个数列的总项数与总和， 所以可划归为

12、等差数列的求和问题。构建模型：设在第n天达到运送食品的最大量，则前 n天每天运送的食品量 是首项为1000,公差为100的等差数列，所以a nT000 十(n 1)x100 100n十900从第(n+1)天起每天运送的食品量是首项为 100n+800,公差为-100的等差数列，项数为 15-n。所以bn =(100n十800)十(14n)(100)解答并检验模型：依题意，得n 100000n +900 + (15 n) (100n +800) -(100n+ 800) + (14 n)( 100)22二 21300整理化简得n2 31n+198=0 ,解得n=9或n=22 (舍去)问题回归：因

13、此在第9天达到运送食品的最大量。反思：此题的难点在构建模型以及求解问题两步， 应注意点拨学 生分析首项、公差、项数，从而得出数列的通项公式。其次，教学时， 应特别提点学生注意分清所要涉及的量是 an ,还是Sn ,同时应理清 项数，切不可多一项或少一项。建立或化归为几何模型现实世界中涉及一定图形属性的应用问题，如航行、建筑、测量、 人造卫星运行轨道等，常需建立相应的几何模型，应用几何知识，转 化为用方程或不等式，或三角知识求解。 TOC o 1-5 h z 例、我舰在敌岛A南偏西500相距12海里的B处，发现敌舰正由 岛沿北偏西100的方向以10海里/时的速度航行。问我舰需以多大速 度、沿什么

14、方向航行才能用2小时追上敌舰？C前言：本题是一个解斜三角形的实际问题， 要在理解一 八 些术语(如坡角、俯角、方位角、方向角等)的基础上，/ 正确地将实际问题中的长度、角度看成三角形相应的边/1：和角，创造可解的条件，综合运用三角函数知识以及/正弦定理和余弦定理来解决。/ 7A A活动：首先，教师应与学生一起弄清“南偏西 /，丁500”及“北偏西100”这两个方位角如何画？由图 / /*可以看出，要求我舰的追及速度及方向，必须 /X 先求BC及 /ABC;由于在 ABC 中，AB=12, b以 AC=20,Z BAC= 400 +800 = 1200,于是问题归 结为”已 知三角形的两边和它们

15、的夹角，求第三边”这一数学模型。解析：如图，在 ABC中，由余弦定理得BC2 二 AC2 I AB2 2ACABcos/BAC221人=20 112 -2 X20X12X（一）= 784, BC = 28我舰的追及速度为14海里/时。又在 ABC中，由正弦定理得AC _ BCsin B sin A即 sin BAC sin A20X,32BC 285.314/ABC = arcsin5-14答：我舰需以14海里/时的速度沿北偏东500arcsin5巨的方向才能用142小时追上敌舰。反思：此类题将解三角形作为几何度量问题来处理，突出几何背景，因此教学时要充分利用数形结合的方法，可充分利用多媒体课件给学生 以动态演示，加强直观感。建模能力是解题者对各种能力的