中学数学教学原则

1、第二章 中学数学的教学原则教学目的 ：通过本章的学习，使学生掌握数学思维、数学学习的一般理论、非智力因素在数学学习中的重要作用以及数学学习的原则和方法，了解数学学习理论的发展情况以及对当今数学教育改革的启示。掌握数学教学的四大基本原则，为将来的教学实践服务。教学内容 ： 1、 数学思维； 2、 数学学习的一般理论； 3、 数学学习的记忆和迁移；4、数学学习中的非智力因素；5、数学学习原则和学习方法；6、数学学习心理研究的发展及启示； 7、四大教学基本原则：抽象与具体相结合原则；严谨性与量力性相结合原则；理论与实际相结合原则；巩固与发展相结合原则。教学重、难点： 数学学习的一般理论、数学学习原则

2、和教学基本原则为本章教学的重点；数学思维及数学学习中的非智力因素、如何在教学中贯彻教学原则为本章的难点。教学方法： 讲授法教学过程：数学教育心理学的核心内容是数学学习心理学数学学习心理学又可称之为数学活动的心理学或数学学习论 数学学习过程是数学学习论的重要内容 它研究的内容丰富多彩，涉及范围广泛本章仅对数学学习过程的一般理论作探讨数学学习对学生来说是一个特殊的认知过程，思维是认知的核心因此，本章从数学思维开始，继而研究数学学习的一般理论等，最后对数学学习理论的发展作了简单介绍 2 1 数学思维数学学习，不仅要求学生深刻而又牢固地掌握系统的数学学科的基础知识和形成一定的基本技能，更重要的是通过数

3、学学习发展学生的数学思维和提高他们的数学思维能力，所以，在学生的数学学习过程中，强化数学思维、培养数学思维能力具有非常重要的意义2 1 1 思维思维是指客观世界中事物的本质和事物之间规律性的关系在人的头脑中的反映过程，是人类在感性直观的基础上，凭借已有的知识为中介，进行推断和解决问题的过程，是通过分析综合而在人的头脑中对客观现实全面、本质的反映因此，思维是对客观现实的概括的、间接的反映，它反映的是一类事物的共同的本质特征的人的最本质的特征在于思维 人的全部认识活动的重心在于他的思维活动，人的认识能力的发展主要也在于思维能力的发展因此，作为智育教育方面的数学教育，应以思维教育为主，并以思维教育带

4、动其它方面的教育，如知识教育、技能教育、数学美育、数学应用教育等等而数学学科本身的特点恰好在于学习它也许能有效地促进学生思维的发展因此，现代课程的基本理念之一就是“注重提高学生的数学思维能力” 思维不是一个自发的过程，它和有机体的其它行为一样，是一个有规律的过程认识、掌握思维规律并能在教学过程中加以应用，对提高教育质量有着十分重要的意义知识是在思维活动中获得的， 知识只有成为思维的组成部分时， 才有价值，只有当知识水平与思维水平相适应时，才能获得较好的教学效果，教学工作只有在认清了中学生思维发展规律和特点的情况下，才能做到有的放矢2 1 2 数学思维的定义数学是一门研究空间形式和数量关系的以极

5、度抽象形式出现的学科，它完全脱离了现实世界的物质内容和具体形式各门纯数学研究的对象都是纯粹的量，因此，所谓数学思维，是指数学对象“纯粹的量”的本质和数学对象之间“纯粹的量”的规律性的关系在人的头脑的反映数学思维既是思维的一种，就不仅具有思维的一般特性，而且具有自身的特性，这种特性是由数学本身的特点以及数学用以认识现实世界现象的方法决定的所以又可以简单地说，数学思维是数学活动中的思维，是人脑和数学对象交互作用，并借助数学语言，以抽象和概括为特点，对客观事物的数学结构和模型的间接概括的反映也就是说，数学思维是对数学对象（空间形式、数量关系、结构关系等）的本质属性和内部规律的间接反映，并按照一般思维

6、规律认识数学内容的理性活动数学思维是以高度概括和极度抽象的形式出现的，它的这种特点，恰恰反映了人类一般抽象思维的典型特征，从而保证了数学思维存在的普遍性和广泛的适应性现代科学技术发展的一个明显特征是，数学思维正在到处渗透，生活在当代社会的每一个公民，如果不具备一定的数学思维能力是难以在当代社会得以生存和发展的2 1 3 数学思维的品质苏联教育家巴班斯基，通过实验研究，证实了中学生学习是否顺利与他们的思维是否具备下列品质密切相关这些思维品质是：思维的独立性（相关系数 0 89） ， 分清实质性（ 0 87） ， 思维的合理性（ 0 85） ， 思维的灵活性（ 0 85） ，语言的逻辑性（ 0 8

7、5） ，思维的批判性（ 0 84） ，而与记忆力和注意力的发展水平关系并不十分密切一般说来，思维品质都为一般科学思维所需要，当然也为数学思维所需要结合数学本身的特点，我们把思维的灵活性、独创性、深刻性、概括性、批判性、敏捷性、逻辑性和合理性等称为数学思维品质数学思维的品质在数学思维中处于彼此相互关联的有机统一体中，发展任何一个思维品质对数学思维都非常重要为此，我们对数学思维的这些品质逐一阐述：1、数学思维的广阔性与深刻性思维的广阔性是指思路开阔， 善于全面地考虑问题 表现为在思考问题时，能全面地从多方面看问题，着眼于事物之间的联系和关系，照顾到问题各方面的条件思维的广阔性是以丰富的多方面的知识

8、经验为前提的，只有具备大量的丰富的知识经验，才能从事物的不同角度、不同方面全面地去考虑问题，避免狭隘性和片面性思维的深刻性是指善于深入地思考问题，善于从纷繁复杂的表面现象中发现最本质最核心的问题它表现为思维活动的深刻程度和抽象程度，善于概括归纳，逻辑抽象性强，善于分清事物的实质，洞察事物的本质，系统地展开理性活动，善于深入理解现象和现象发生的原因，发现他人没有发现过的问题，并能预见事物的发展过程，善于系统地深入地揭示事物的本质和内在规律性关系具有思维深刻性品质的学生，善于从简单的、普通的、司空见惯的现象中，看出问题，从中揭示出事物重要的规律来，与此相反，思维肤浅的人，常被一些表面现象所迷惑，看

9、不出问题的本质，不善于深思熟虑，常凭一知半解就下结论2、数学思维的独立性与批判性思维的独立性是指善于独立思考、善于独立发现问题和解决问题思维独立性是人们进行创造活动的前提，也是创新人才必备的思维品质思维的独立性突出地表现为三个特点：独特性、发散性和新颖性思维的独立性是以思维的批判性为前提的思维的批判性是指有分析地估价思维材料和严密审慎地检查思维过程的品质在解题过程中，思维的批判性特征在于有能力评价解题思路选择得是否正确以及评价这种思路可能导致的结果如何在教学过程中，学生思维的批判性，表现为一种趋向，愿意进行各种各样的检验，检验已得到的粗略结果以及对归纳、分析和直觉的推理过程进行检验等数学思维的

10、批判性品质常表现为分析性、策略性、全面性、独立性、正确性五方面的特点，这些特点在学生解题过程中表现得尤为突出具体地， （ 1）分析性，即在数学思维活动中不断地分析解决问题所依据的条件，反复验证业已拟定的假设、计划和方案；（ 2）策略性，即能够根据当前任务的需要，调动自己已有的知识经验，将它们组织为相应的解题策略或手段，并使它们在解题中发挥作用；（ 3）全面性，即在数学思维活动中能够客观地从各个方面考虑问题，把握问题的进展情况，善于进行自我评价，坚持正确计划，随时修改错误方案；（ 4）独立性，即不为情景性暗示所左右，不迷信权威，敢于对权威的观点提出疑问，不人云亦云、盲目附和； （ 5 ）正确性，

11、即思维过程严谨，条理清晰，思维结果正确，结论实事求是总之，在数学教育中，我们既要遵循思维独创性、批判性的一般规律，又要积极鼓励创新思维，不失时机地培养和发展学生的创新意识3、数学思维的逻辑性和论证性思维的逻辑性，是指善于在思考问题时严格遵循逻辑规律与法则数学思维的逻辑性充分表现为思维的论证性思维的论证性主要是指根据给定条件，合乎逻辑地开展论证，逐步推理到结论思维的逻辑性和论证性具体表现为：提出和回答问题时明确而不含混；推理时遵守逻辑顺序，合乎逻辑规则；论证时层次明晰，有理有据，结论准确如中学生证明数学题时论题明确，论据充分，论证得法，思路清楚，层次分明，就是具有思维的逻辑性和论证性的具体体现在

12、教学中，教师应有计划、有步骤地帮助学生掌握各种思维方法和培养发展逻辑思维能力教学不仅重视知识的传授，更要重视各种思维能力的培养，不仅重视结果，更要重视产生这一结果的推理过程为此，要求教师讲解要合乎逻辑，以身示范，同时要注意引导学生运用思维方法和逻辑规律去获得新知识如引导学生掌握一个新概念时，要经过分析、综合、比较、抽象、概括等过程；学习一条新定理或新法则时要应用归纳法得出初步结论，再用演绎法进行推导；解答一道应用题应经过明确问题、分析题意、明确问题性质、解题定向以及验算、验证等步骤4、数学思维的灵活性与敏捷性数学思维灵活性主要是指摆脱旧的思维序列的束缚影响，机动灵活地从一种思维过程转向另一种思

13、维过程这种思维的灵活性表现为能够根据客观事物的发展与变化，及时调整自己的思路，改变已有的思维过程，寻找新的解决问题的方法也就是说，数学思维的灵活性主要是学生在数学思维活动中，思考的方向多、过程活、思维技巧能够适时转换，即思维的应变能力强数学学习中思维灵活性往往表现在根据具体条件而确定解题方向，并能随着条件的变化而有的放矢地转化解题方法；表现在从新的高度、新的角度看待已知知识；还表现在从已知的数学关系中看出新的数学关系思维的灵活性与思维的发散性有一致的地方，因此，有人提出培养数学思维的灵活性从培养学生的发散思维开始，有一定的道理发散思维具有多端性、灵活性和新颖性这些基本特征正是思维的灵活性所要求

14、的例如，能够给出一个数学问题的多种不同解答，就是思维具有发散性或灵活性的表现，因此， “一题多解” 常作为训练发散思维和数学思维灵活性的有效方法思维的灵活来自于求异思维，而求异思维又来自于迁移因为灵活性越大，思维的发散性越好，越能多解，说明迁移的效果越显著 “举一反三”是高水平的发散，正是因为有知识的迁移，而迁移又来自于概括成语有“触类旁通” ， “旁通”是灵活迁移，而“旁通”的得来需要“触类” ，这个“类”又需要通过概括才能获得思维的敏捷性是指思维过程中正确前提下思维的迅速和简捷有了思维的敏捷性，在处理和解决问题的过程中就能根据具体情况进行积极思考，正确做出判断并迅速做出选择这就要求人的认知

15、结构系统化、结构化， 具有清晰性、稳定性和可利用性，一旦需要便能迅速而正确地进行检索和提取在数学学习中，思维的敏捷性主要表现为能够缩短运算环节和推理过程，而这又有赖于在正确前提下的速度训练经过练习，从中总结经验，进而概括出规律，并通过应用而达到熟练的程度，从而产生思维的敏捷性因此，敏捷性又与概括性紧密相联， 推理的缩短取决于概括， “能 立即 进行概括的学生，也能立即进行推理的缩短 ”上述的数学思维品质，广阔性与深刻性、独立性与批判性、逻辑性与论证性、灵活性与敏捷性构成一个相互联系的综合体它们之间既互相联系，又密不可分思维的深刻性是一切思维品质的基础，思维的灵活性和独立性首先是在深刻性的基础上

16、引申发展起来的；而就灵活性和独立性这两种品质而言，它们又具有交叉关系，二者互为条件，不过前者更具有广度和富有应顺性，后者则更具有深度和新颖的生产性，从而获得创造力前者是后者的基础，后者是前者的发展思维的批判性、逻辑性是在深刻性的基础上发展起来的，只有深刻的认识，周密的思考，才能全面而准确地做出判断，进行合理的论证，同时只有不断自我批判，调节思维过程，才能使主体更深刻地揭示事物的本质和规律思维的敏捷性是以其它几个思维品质为前提，同时又是其它思维品质的具体体现2 1 4 数学思维能力的培养提高学生的数学思维能力是数学教育的基本目标之一，也是数学新课程标准特别指出的基本理念学生在学习数学和运用数学解

17、决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断数学思维能力对形成理性思维有着独特的作用因此，本节的最后特别谈一谈数学思维能力的培养1、找准数学思维能力培养的突破口心理学家认为，培养学生的数学思维品质是培养和发展数学能力的突破口思维品质包括思维的深刻性、敏捷性、灵活性、批判性和创造性，它们反映了思维的不同方面的特征，因此在教学过程中应该有不同的培养手段数学思维的深刻性品质决定了数学教学既要以学生为基础，又要培养学生的思维深刻性

18、数学思维的敏捷性主要反映了正确前提下思维的速度问题因此，数学教学中，一方面可以考虑训练学生的运算速度，另一方面要尽量使学生掌握数学概念、原理的本质，提高所掌握的数学知识的抽象程度为了培养学生思维的灵活性，应当增强数学教学的变化性，为学生提供思维的广泛联想空间，使学生在面临问题时能够从多种角度进行考虑，并迅速地建立起自己的思路，真正做到 “举一反三 ” 创造性思维品质的培养，首先应当使学生融会贯通地学习知识，养成独立思考的习惯 在独立思考的基础上， 还要启发学生积极思考， 使学生多思善问 能够提出高质量的问题是创新的开始数学教学中应当鼓励学生提出不同看法，并引导学生积极思考和自我鉴别新的课程标准

19、和教材为我们培养学生的创造性思维开辟了广阔的空间批判性思维品质的培养，可以把重点放在引导学生检查和调节自己的思维活动过程上2、教会学生思维的方法现代教育观点认为，数学教学是数学活动的教学，即思维活动的教学如何在数学教学中培养学生的思维能力，养成良好思维品质是教学改革的一个重要课题孔子说： “学而不思则罔，思而不学则殆” 在数学学习中要使学生思维活跃，就要教会学生分析问题的基本方法，这样有利于培养学生的正确思维方式要学生善于思维，必须重视基础知识和基本技能的学习，没有扎实的双基，思维能力是得不到提高的3、善于调动学生内在的思维能力一要培养兴趣，让学生迸发思维教师要精心设计，使每节课形象、生动，并

20、有意创造动人情境，设置诱人悬念，激发学生思维的火花和求知的欲望，还要经常指导学生运用已学的数学知识和方法解释自己所熟悉的实际问题二要分散难点，让学生乐于思维对于较难的问题或教学内容，教师应根据学生的实际情况，适当分解，减缓坡度，分散难点，创造条件让学生乐于思三要鼓励创新，让学生独立思维鼓励学生从不同的角度去观察问题，分析问题， 养成良好的思维习惯和品质； 鼓励学生敢于发表不同的见解， 多赞扬、肯定，促进学生思维的广阔性发展2 2 中学数学的学习本节主要阐述数学学习的特点和分类、数学学习的一般过程理论、数学学习与数学思维发展的关系等方面同时给出了一些新课程理念下学生学习数学的特点及数学学习过程，

21、供读者研究、讨论2 2 1 数学学习的特点和分类在新的教育理念下，数学教师已不再是单一数学知识的传授者，而是逐步转向数学学习的组织者、引导者和合作者，教师教给学生的不只是“学会” ，更重要的是“会学” 一方面，随着学习化社会的到来，学生的终身学习已成为一种必然趋势，学生在数学学习过程中的主体地位也将表现得越来越明显；另一方面，随着数学的应用日益广泛，科学数学化已成为必然趋势，数学方法作为一种认识事物和研究问题的有力工具，正愈来愈深入地向着自然科学和社会科学等各个领域渗透，许多重大的科学发现，都是科学理论与数学方法结合的结果，因此，数学学习将会越来越重要，潜力越来越大所以，数学教师就更应该深入探

22、索、掌握学习与数学学习的全部意义，以引导学生更好地进行数学学习1、关于学习对于学习， 国外许多心理学家和学者给出过各种各样的解释， 出发点不同、立场不同、材料不同、方法不同，对学习的理解就不同，从而所形成的理论也不同桑代克的联结说认为 “学习就是刺激和反应之间形成的联结” ； 布鲁纳的认知说则认为 “学习是学习者认知结构的组织与重新组织” 联结主义学习理论与认知学习理论是较有影响的两大学派中国古代的教育史中， “学”和“习”是分开的 说文中讲到： “习，数飞也”，意思是鸟反复地练习飞孔子的“学而时习之，不亦乐乎？”，就是把“学”与“习”看成是获取知识、技能的两种不同方式， “学”是知识、技能的

23、获得， “习”是对已学的知识、技能的练习与巩固，强调“学习”是一个反复实践并获得真知的过程.这一点从“学”与“习”的象形文字就可以看出.篆体字“习”上半部为两个手把着的算筹(或占卜用 的蓍草茎)，下半部为一个专门的场 所.引申为；从书本上，从教师口头上上面为“羽”，代表雏鹰，雏鹰离开巢臼 试着飞行称之为羽.比喻为：从经验中, 从个体实践中获得知识.获取间接知识.我们一般所说的学习是从心理学的角度来阐述的，也就是说，学习是指动 物和人类所共有的一种心理活动.对人类来说，学习是“知识经验的获得及行 为变化的过程”.这里需要说明的是：(1)并非所有的行为变化都是学习，积累知识经验基础上的行为变化，才

24、 是学习.(2)学习的结果产生行为变化，但有的行为变化是外显的，有的行为变化 是内隐的.例如，技能学习，所导致的行为变化就是外显的，就称为“外显学 习”，思想意识的学习大多是内隐的，叫做“内隐学习” .(3)学习是一个渐进的过程.(4)行为的变化有时表现为行为的矫正或调整.(5)学习后的行为变化不仅包括体现在实际操作上的行为变化，而且还包括体现在态度、情绪、智力上的行为变化.2、学生数学学习的特点(1)学生学习的特点学生的学习是在教育情境中进行的，是凭借知识经验产生的、按照教育目 标有计划、有组织地进行的比较持久的行为变化.学生的学习特点主要表现在 以下几方面.学生的学习是在人类发现基础上的再

25、发现学生的学习是在教师的指导下有目的进行的 学生的学习是依据一定的课程和教材进行的学生的学习主要目的是为终生学习奠定基础中学阶段是基础教育阶段，学生的学习目的主要不在于创造社会价值，而在于为终生学习和将来参加社会劳动奠定基础所以，除了让学生学会一定的基础知识和基本技能外，还应该让学生学会学习（ 2）新课程理念下学生数学学习的特点数学知识的特点作为学生学习的数学知识， 不应当是独立于学生生活的“外来物” ， 不应当是封闭的 “知识体系” ， 更不应当只是由抽象的符号所构成的一系列客观数学事实（概念、公式、法则等） 它大体上有这样四个特点：I）数学知识尽管表现为形式化的符号，但它可视为具体生活经验

26、和常识的系统化，它可以在学生的生活背景中找到实体模型现实的背景常常为数学知识的发生提供情景和源泉，这使得同一个知识对象可以有多样化的载体予以呈现另一方面，数学知识的形成过程有时可以在教师的引导下，通过学生的自主活动来体验和把握n）数学知识具有一定的结构，这种结构形成了数学知识所特有的逻辑顺序，而这种结构特征又不只是体现为形式化的处理，它还可以表现为多样化的问题以及问题与问题之间的自然联结和转换，这样，数学知识系统就成为一个互相关联的、动态的活动系统田）多数知识都具有两种属性，即它们既表现为一种算法、操作过程，又表现为一种对象、结构 IV）知识的抽象程度、概括程度表现出层次性低抽象度的元素是高抽

27、象元素的具体模型学生数学学习的情感因素有效的数学学习来自学生对数学活动的参与，而参与的程度却与学生学习时产生的情感因素密切相关如学习数学的动机与数学学习价值的认可，对学习对象的喜好，成功的学习经历体验，适度的学习焦虑，成就感、自信心与意志等学生数学学习中认知、情感发展阶段特点虽然不同的个体，其认知发展、情感和意志要素不完全相同，但相同年龄段的学生却有着整体上的一致性，而不同年龄段的学生在整体上有比较明显的差异.具体说来：小学低年级一一中年级的学生更多关注“有趣、好玩、新奇”的事物.因 此，学习素材的选取与呈现以及学习活动的安排都应当充分考虑到学生的实际 生活背景和趣味性（玩具、故事等）使他们感

28、觉到学习数学是一件有意思的事 情，从而愿意接近数学.小学中年级一一高年级的学生开始对“有用”的数学更感兴趣.此时，学 习素材的选取与呈现以及学习活动的安排更应当关注数学在学生的学习（其他 学科）和生活中的应用（现实的、具体的问题解决），使他们感觉到数学就在自 己身边，而且学数学是有用的、有必要的（长知识、长本领），从而愿意并且想 学数学.小学高年级 初中的学生开始有比较强烈的自我和自我发展的意识，因此 对于与自己的直观经验相冲突的现象，对“有挑战性”的任务很感兴趣.这使 得我们在学习素材的选取与呈现以及学习活动的安排上除了关注数学的用处以 外，也应当设法给学生经历“做数学”的机会（探究性问题、

29、开放性问题） ，使 他们能够在这些活动中表现自我、发展自我，从而感觉到数学学习是很重要的 活动，并且初步形成“我能够而且应当学会数学的思考” .可见，处于不同发展阶段的儿童，其思维水平、思维方式与思维特征有着 显著的差异，而处于同一发展阶段的儿童则具有较为明显的一致性，这种匹配 是客观存在的，而且其发展又主要通过学习活动来实现.与此相适应，学生有 效的数学学习也应当经历不同的阶段.处于每一发展阶段的学生应当有适合他 们自己思维水平和思维方式的学习素材，应当经历对他们来说有意义的学习活动.例如，同底数幕的除法：am an amn, m n 0, m, n ,均为正整数. 532853mnmn,、

30、万法一：因为a aa ,aa a ，所以a a a （m n）；mm1Vn个m n个方法二：因为 am a a, an a a，所以，am anan个a a a am n ,a a（m n）；方法三：由幕乘法法则得an amn an（mn） am（m n）,再根据除法是乘法的逆运算，可得，am a n amn,以下再去证明商的唯一性.上述三种方法显然在思维水平上体现了完全不同的要求2 2 2 数学学习的分类关于数学学习的分类，在心理学上存在着各种不同的分类法例如，奥苏伯尔从认知过程出发，把学习分为三类：符号学习、概念学习和命题学习；加涅根据学习水平的高低以学习内容的复杂程度把学习分为八类：信号

31、学习、刺激反应学习、连锁学习、言语联合学习、辨别学习、概念学习、规则学习和问题解决学习；布鲁姆按学习目标将学习分成六类：知识学习、理解学习、应用学习、分析学习、综合学习和评价学习；李镜流从学生的不同的智力特点出发，将学习分成三类：知识学习、技能学习和问题解决学习分类的标准不同，其结果也不尽相同数学学习是一种特殊的学习，这一特殊性主要体现在所学习的内容上因此，按数学内容的表现形式，可分为知识、数学活动经验和创造性数学活动经验三类 这三类内容不是独立的， 而是不同层次的数学内容 数学知识就是数学的基本概念，基本规律（定理、法则）和术语等；数学活动经验就是相应的数学知识发生、发展和应用过程的经验；而

32、创造性数学活动则是在数学知识，数学活动经验基础上，创造性地解决问题的经验通过对数学学习的分类，能够弄清影响同类学习的因素，揭示出该类学习过程的心理过程，掌握学习过程的一般规律，有利于教师更好地引导学生进行数学学习因此，对数学学习进行分类十分必要7 2 3 数学学习一般过程理论关于学习过程，存在着两种基本观点：一是以桑代克、巴甫洛夫、斯金纳为代表的刺激反应联结观点；另一个是布鲁纳、奥苏伯尔等为代表的认知观点第一种观点认为，学习过程就是形成刺激和反应之间的联结过程，因而，要研究学习过程，主要就是要研究刺激和反应进行的关系，以及它们之间发生了什么第二种观点认为，学习过程是学生原有的认知结构中的有关知

33、识和新学内容相互作用（同化） ， 形成新的认知结构的过程 以下我们在认知观点的基础上来探讨数学学习过程1、数学认知结构认知心理学认为，刺激和反应的联结，是以主体的某种“结构”为中介的，这种“结构”对信息加工和改造起着积极的作用认知心理学把这种主体中存在的结构称为认知结构学生在数学认知活动中，也同样存在着某种结构，这种结构称之为数学认知结构所谓数学认知结构，就是学生头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度，结合着自己的知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构实践表明，学生的数学认知结构有其固有的特点，即：学认知结构是数学知识结构和学生心理结构相互作用的产物数学认知结构

34、是学生头脑中已有数学知识、经验的组织它既可以是学生头脑里所有数学知识、 经验的组织， 也可以是特殊数学知识内容的组织 前者所指的是学生数学学科的全部知识、经验的组织特征，这些特征影响它在数学学科中的一般学习后者所指的是某一数学知识、经验的组织特征也就是说，数学认知结构既是专门化的概念，又是一个带有普遍性的概念，它体现了数学知识和数学认知的统一数学认知结构可以在各种抽象水平上来表征数学知识 即数学认知结构是一个有层次的阶梯高层次是由所有数学知识、经验有机结合而成的认知结构每一个学生的认知结构各有特点， 个体认知结构在内容和组织方面的特征称为认知结构变量，数学认知结构具有三个变量： （ 1）在认知

35、结构中是否有适当的起固定作用的观念可以利用； （ 2 ）新的学习材料和起固定作用的观念之间的可辨别程度； （ 3）原有起固定作用的观念的稳定性和清晰性数学认知结构不是一种消极的组织，而是一种积极的组织，它在数学认知活动中，乃至一般的认知活动中发挥着作用形成了一定的数学认知结构后，一旦大脑接收到新的数学信息，人们就能不自觉地、甚至是自动地用相应的认知结构对新信息进行处理和加工数学认知结构是一个不断变化的动态组织 随着数学认知活动的进行，学生的认知结构不断分化和重组，并逐渐变得更加精确和完善正是因为数学认知结构具有这样的特点，所以通过数学教学能促进学生数学认知结构的完善和发展学认知结构是在数学认知

36、活动中形成和发展起来的从功能上来说， 学生既能借助已有的认知结构去掌握现有的知识，又能借助原有的认知结构创造性地去解决问题.数学认知结构是数学学习过程中的一个中心心理成份.2、数学学习过程的一般模式数学学习作为一种学习活动，有其发生、发展的过程，这个过程具有一般 的模式.在一般的学习理论中，心理学家提出了学习过程的模式：苏联心理学家列昂节夫依据对活动结构的分析认为， 学习过程是一个环状结构，它由定向环节、 行动环节和反馈环节三个基本环节组成；美国心理学家加涅运用现代信息加工 理论，提出了学习过程结构的八级阶梯模式.不管什么样的模式，总离不开两 大基本的学习理论，刺激一反应理论和认知理论.根据学

37、习的认知理论，数学学习过程是一个数学认知过程，即新的学习内 容和学生原有数学认知结构相互作用，形成新的数学认知结构的过程.依据学 生认知结构的变化，数学学习过程的一般模式可用下图 7-1表示：产生新的数学认知结构形成新的数 学U知结构图7-1 :数学学习过程的一般模式从图7-1可以看出数学学习过程包括三个阶段：输入阶段、新旧知识相互 作用阶段和操作阶段.3、新课程标准理念下的数学学习过程数学教育的价值并非单纯地通过积累数学事实来实现，它更多地通过对重 要的数学思想方法的领悟、对数学活动经验的条理化、对数学知识的自我组织 等活动来实现.因此，数学学习的主题应当是基本的、重要的数学观念，数学 思想

38、方法和数学活动（如数感、符号感、空间感、统计观念、推理能力、应用 意识等），而不是单纯的数学事实.而对上述“主题”的学习应当通过对具体数 学知识的了解、应用、思考、表达等学习活动来进行.从本质上说，学生的数学学习过程是一个自主构建自己对数学知识的理解 过程：他们带着自己原有的知识背景、活动经验和理解走进学习活动，通过独 立思考、与他人交流和反思等，去建构对数学的理解.因此，学生数学学习的过程可以说是一种再创造过程，而且是真正意义上：学生从事对数学知识的提炼和组织通过对低层次活动本身的分析， 再经过提炼和组织而形成更高层次的知识， 如此循环往复；再把数学放到现实中去加以应用在这一活动过程中，获得

39、经验、对经验的分析与理解、对获得过程方式的反思至关重要具体说来，学生的有效数学学习活动主要呈现如下一些特点1）学生数学学习的过程是建立在经验基础上的一个主动建构的过程2）学生数学学习的过程是充满了观察、实验、猜想、验证、推理与交流等丰富多彩的数学活动。3）学生的数学学习过程应当是富有个性、体现多样化的学习需求过程。为此，数学课程要把学生的一般发展视为首要目标，要极为关注学生数学学习的个体差异教科书不应当采用目标为本的模式要求所有的学生把教科书所呈现的知识形态作为模本，复制到自己的头脑中去教科书应当作为学生学习数学的起点和素材，使他们在对内容的处理过程中获得发展重要的数学观念、数学思想方法和数学

40、活动应当成为教科书的主线，并且尽可能早的以不同的形式，反复出现在学生的数学活动中，呈现出一种螺旋式这一方面可以使学生有机会建构对同一知识的不同层次的理解，另一方面也和处于不同认知发展阶段的学生的思维方式相适应2 2 4 数学学习与数学思维发展的关系数学学习与学生数学思维发展的关系是辩证的，两者相互制约、相互促进一般地从以下几个方面来把握这种关系：1、数学思维的发展对数学学习的制约作用前面讲过，数学学习的实质是数学认知结构的建构过程，这种建构是在同化与顺应的作用下，将新的数学知识与已有数学认知结构相整合而实现的这样， 学生必须具备一定的数学知识、 技能和数学学习动机才能进行有效学习 所以，数学学

41、习依赖于学生数学认知结构的发展水平同时，数学思维的发展也受到个体心理发展规律的制约布鲁纳说， “在发展的每个阶段，儿童都有他自己的观察世界和解释世界的独特方式 ” 因此， 如果提出的学习要求超越了学生的思维发展阶段，那么数学学习的效果就无法保证2、数学学习对数学思维发展的促进作用数学知识的获得和运用，也即数学学习的实践活动是数学思维发展的源泉这主要表现在以下几个方面： （ 1）随着数学学习的进行，对学生不断提出新的数学学习课题，在回答和解决这些新课题的过程中，数学思维得到不断发展同时，新的数学学习课题使得数学学习需要得以不断产生、发展和巩固，从而使学生不断获得数学思维发展的动力；（ 2）数学学

42、习实践为学生提供了丰富的感性材料和实践经验，通过对它们的抽象、归纳和概括，学生认识数学概念的本质和规律的能力得到不断发展； （ 3 ）数学学习的实践活动水平是衡量学生数学思维水平的唯一标准；（ 4） 数学学习也是新学得的数学知识的应用过程，这个过程可以使新知识得到进一步概括，从而内化到数学认知结构中并使之成为一种能起固着点作用的有用知识，这就导致数学思维产生质的变化，出现新的发展水平3、数学学习与数学思维发展互为条件，相互促进一方面，数学学习决定学生数学思维发展的水平和质量，不断向学生提出新的发展要求；另一方面，数学学习又必须以学生现有的数学思维发展水平为依据因此，学生的数学思维如何发展、向哪

43、里发展，主要由适合于他们的思维发展水平的数学学习活动决定在数学思维发展的已有水平与数学学习的关系上，心理学家们的看法并不一致例如，加涅的观点是新知识的学习必须在学习包含于新知识内的从属知识的基础上进行例如，为了解决数学问题，学生首先要懂得一定的数学原理和解题策略等；要理解这些原理和策略，又必须知道相应的概念；要知道这些概念，又必须建立一系列的联想和了解一系列的事实因此，掌握大量的、有组织的从属性知识是成功地解决问题的关键 而布鲁纳则认为， “任何学科的基本原理都能以某种形式教给任何年龄的任何人” ， “无论哪里，在知识的尖端也好， 在三年级的教室里也好， 智力的活动全都一样 ” 这样， 只要教

44、学方法适当，学生就可以学会任何知识，而他们的思维发展水平对学习并不重要显然，这个观点是有些极端的我们的观点是，学习是在原有的准备状态下进行的，即学生的数学思维及数学学习动机的发展水平是新学习的出发点因此，教师在数学教学中，无论是教学目标的确定、教学内容的选择、教学活动的组织，还是学习结果的检查，都要考虑到学生数学思维发展水平问题另一方面，一定的数学思维发展状态不仅为新的数学学习提供了基础，而且也为数学思维创造了新的发展可能这样，数学学习就不是消极地适应数学思维已有的发展水平，而是要积极地促进数学思维的发展，将发展的可能转变为发展的现实因此，教师在数学教学中，应当同时考虑学生数学思维的现实发展和

45、可能发展，以现实发展为出发点，以可能发展为定向，使学生通过学习把新数学知识内化为自己的经验，从而实现学习对数学思维发展的促进作用2 3 数学学习的记忆和迁移中小学数学教育是基础教育，学习者不仅希望通过数学学习掌握一些基本的数学知识和思维方法，而且希望把它们应用于进一步的数学学习中，应用于其他学科（如物理、化学等）的学习中这些都是以记住所学的数学知识和达到数学学习中的迁移为前提的因此，数学学习中的记忆和迁移一直是数学学习论研究的重要课题，在数学教育中具有重要的意义2 3 1 数学学习的记忆1、数学记忆的一般概念数学学习记忆是学生学过的数学知识、经验在头脑中的反映，是学生通过数学学习积累数学知识、

46、经验的功能表现数学记忆是数学学习的重要一环，尽管许多数学家认为非凡的记忆力对于数学家来说不是必不可少的，但是，对于学生的数学学习来说，离开了记忆，学生的数学能力就不可能得到发展因而，数学记忆是一种非常重要的技能数学记忆从形式上来分，有机械记忆、理解记忆和概括记忆三种机械记忆就是学生只能按照数学事实、数据、定理、概念、法则等所表现的形式进行记忆理解记忆是学生根据对数学学习材料的理解，运用有关的知识、经验进行记忆概括记忆是在理解的基础上，把所学习的材料进行概括，对其一般模式的概括进行记忆例如，记忆一类问题的结构及解决程式这三类记忆不仅形式上不同，而且层次上也不同最低层次的数学记忆是机械记忆，这种记

47、忆尽管在数学学习中也是必需的，但是这种记忆必须发展、上升到理解记忆，否则会很快遗忘，即使记住了，也难以在适当的情况下提取出来记忆的第二个层次是理解记忆要达到理解记忆，首先所学习的数学材料必须有意义，即材料所代表的客观事物的空间形式和数量关系能和学生的某些知识、经验建立一定的联系例如数字“ 5” ，它的意义在于它代表了一类事物的数量，并且数字“5”也和学生头脑中的数学知识有一定的联系其次，在理解记忆时要理解所记忆的数学材料，即认识所学习的材料代表着什么样的空间形式和数量关系，和自己的哪些经验有关如理解数字“5”的意义，就是理解“ 5”既代表五个苹果，又可代表五支笔；它是一个自然数；一个人的左、右

48、手都各有五个指头等等这样把记忆的材料和经验中的特定知识联系起来，就是理解记忆我们常说的要在教学中揭示概念的背景知识，这种揭示背景知识的方式，从记忆的角度来看，就是为了学生理解，达到理解记忆有时为了达到理解记忆，往往对那些意义不明确、或很难用和经验联系的数学材料，进行适当的“人为”加工，从而达到理解记忆如在记忆三倍角公式：sin3 3sin4sin3 （三三四三，四上有三，中间是减，符号不变）cos3 4cos3 3cos （三四三三，四上有三，中间是减，符号不变）时，可把最难记忆的系数和指数编成顺口溜“三三四三，四上有三，中间是减，符号不变；三四三三，四上有三，中间是减，符号不变”来记就容易多

49、了不过这种赋予的材料毕竟是人为的，使用时一定要注意最高层次的数学记忆是概括记忆它必须以理解记忆为前提，否则不可能成为概括记忆实际上，学生在理解了所学的数学材料后，建立了和原有数学知识、经验的联系，概括成为一般的模式，从而成为概括记忆从能力上来说，机械记忆能力和学生的数学能力关系不大，正如苏联数学家柯尔莫戈罗夫指出的那样，数学上的成就很少依赖对大量事实、数字、公式等的机械记忆但是理解记忆和概括记忆却和学生的数学能力有着密切的关系数学能力强的学生往往采用的是理解记忆和概括记忆，而数学能力弱的学生则在概括意义上表现差苏联心理学家克鲁切茨基经过大量实践得出结论：“数学记忆的实质就在于能概括地回忆出关于

50、推理和运算的典型模式至于对特殊材料、具体数字的记忆，对数学能力来说是中性的 ” 他还认为，上述意义下的数学记忆能力是数学能力的基本成分之一要帮助学生掌握记忆规律，以使所学的知识不遗忘或尽量少遗忘，就要研 究数学记忆过程.数学记忆过程，有各种不同的说法，前面提出了三个层次的 数学记忆.其实，从数学记忆的发展来看，它展现了数学记忆的过程.从一开 始的机械记忆，上升到理解记忆，最后达到概括记忆.认知心理学认为，记忆 的过程是人脑加工信息的过程，即信息的输入、编码和检索的过程.其模式如 下图7-2:信息 一感觉记忆 一短时记忆 一长时记忆回忆图7-2:数学记忆的模式以奥苏伯尔的认知一一同化理论来分析数

51、学记忆过程，那就是：如果数学 学习是改变原有数学认知结构，建立新的数学认知结构的话，那么记忆则是保 持数学认知结构.数学记忆包括三个阶段：获得阶段、保持阶段和再现阶段.获得阶段就是 新知识和原数学认知结构相互联系，获得新意义的阶段.获得阶段是数学记忆 的第一步，因此它在整个记忆过程起着至关重要的作用.如果原有数学认知结 构中的有关数学知识、经验本身不巩固、不清晰或者根本没有适当的知识、经 验，那么这样获得的意义（知识）一开始就含糊.研究表明，新意义的获得和 个人当时的态度、倾向密切相关.因此，一般说来，在获得阶段导致记忆错误 的主要原因在于学生原有的数学认知结构和个人当时的态度、倾向等.同样知

52、 识水平的学生，由于认知态度、倾向的不同，获得的意义则可能不同.“个人不同的认知结构，比学习材料本身在决定意义的内容方面有更大影响”.在数学知识的获得阶段，也就是，数学知识输入原数学结构以后，新知识 和原数学认知结构中的有关知识发生相互作用 （建立联系），原数学认知结构得 到了改造，学生获得了新的意义（形成新的数学认知结构）.但是这种新旧知识 的相互作用并不是在知识输入时新的意义一出现就结束，而是还在继续进行.这种继续进行的相互作用就是数学记忆过程的心理机制.保持阶段是指保持获得的意义，即保持新知识与原有数学认知结构的联 系.意义保持并不是那种机械吸收，而是新知识和原数学认知结构继续相互作 用

53、的过程.从信息论的观点来看，就是对新知识进行加工、编码、储存.保持 阶段是导致意义获得的同化过程的后一阶段，新意义不仅被保持下来，而且新意义产生了以下两方面的变化：(1)新获得的意义更加稳定；(2)新意义以与 数学认知结构中特殊的观念相连的方式保持在认知结构之中，使新知识更有条 理性.为了保持新知识和与原数学认知结构的联系，应该进行强化和复习，否 则新知识和原数学认知结构的联系就会脱离，从而失去所获得的新意义.再现阶段就是把保持的意义提取出来.这不仅和被保持的意义同它的原有 数学认知结构中的分离程度有关，而且和学生当时的任务、兴趣、情绪状态等 有关.3、记忆规律在数学学习中的应用从上面的分析讨

54、论可知，数学记忆是有一定的规律的.所以，在数学学习 中，应该不断与遗忘作斗争，加强数学知识的保持.一般地说来，我们应该注 意下面几点：(1)明确记忆的目的和任务(2)理解所学的知识内容并概括成系统(3)合理安排复习(4)借助直观形象和语言的作用加强数学记忆例如，行列式的性质：把行列式的某一行乘以同一个数后加到另一行上去， 行列式值不变.这个性质要学生从文字上记着的话就比较困难，但若在理解的基础上，用 下面的直观表示，记起来就容易了.ainK4ajnailai2ai3ain0i1Ka-12 K 2aj1ajnaj1aj2若用三阶行列式作代表，那就更容易记了.a11a12a13a11a 12a13

55、a21a 22a 23a 21 Ka 11a 22 Ka 12a 23Ka 13a31a 32a 33a31a 32a33另外，由于语言是概括的，用语言可以把复杂的事物概括起来，这就使记 忆变得容易.比如我们前面举到的三倍角公式，这个“人为”的顺口溜把公式的特点概括了，从而使得记忆变得容易了（ 5）在发展中巩固知识在发展中巩固知识是指在新知识的学习中复习巩固旧知识新旧知识是相互联系的，在新知识的学习中，复习旧知识，不但使新知识的学习有了基础，而且使旧知识在数学认知结构中更加牢固在发展中、在广泛的知识背景中把握数学知识间的联系，不仅能理解深刻，而且还记得牢固2 3 2 数学学习的迁移学习能够迁移

56、，这是学习中的普遍现象例如学好数学，有助于理、化的学习学习了方程的知识有利于不等式的学习有关学习迁移的认识，在我国已有很长的历史，早在两千多年前，孔子就指出“举一隅，不以三隅反，则不复也” ， “回也，闻一以知十 ”意思是说，学习可以“举一反三” ， “触类旁通” ，使学生达到“由此及彼” 国外直到十九世纪末，二十世纪初，才借助于实验对迁移进行了研究到了上世纪六十年代，美国心理学家布鲁纳第一次把迁移问题作为教育问题的核心提到日程上来之后，受到各国的心理学家和教育学家的关注，甚至把它作为一个教育、教学的原则，提出要“为迁移而教” 数学教育的目的是为了让学生牢固地掌握基础知识、基本技能和发展学生的

57、能力、 态度， 以期对学生的在校学习、 参加社会劳动以及终生学习奠定基础 从这个意义上来说，数学教育的目的无非是为了举一反三，追求一种学习对另一种学习的促进作用因此，在数学学习中研究迁移问题，有其特殊的、深刻的意义1、迁移的一般概念一种学习对另一种学习的作用，在心理学上称为学习的迁移学习之间的迁移有时是积极的，有时是消极的凡一种学习对另一种学习起促进作用，叫做正迁移凡一种学习对另一种学习起干扰或抑制作用，称为负迁移从数学教育的目的来说，追求的应该是一种数学学习对另一种数学学习起促进作用，即正迁移学习的正迁移量越大，说明学生通过学习所产生的适应新学习情境或解决新问题的能力越强，教学效果就越好关于

58、数学学习的迁移可作如下分类：瓶向正正桥场正迁碍迁再VL逆向点迁移如阻、犍能的撷向正迁移t敌擎思崖方法的瓶向正迂德 演李堂口态度的原国正在勒和H.栈能的亚冏正正停r赖孽思里方戌前四向正逢格 族学学H：M的逆向正迁临和职、帙能的怖商我近海趣学思涯升4的质冏负还4 I匏雪堂口态度的加向负if科知源、桢他的逆同喷还移4颤学感速打费的电向负if移 I燃学学习标度的邂商负迁科2、影响数学学习迁移的因素分析影响数学学习的因素是多方面的，既有客观因素，又有主观因素，下面作 一简单分析.(1)两种学习之间的类似性若两种学习活动之间存在着许多类似的东西，那么这两种学习之间容易产 生相互间的影响.学习活动的类似性包

59、括学习情境类似性、学习材料的类似性 和反应结果的类似性.当这两种学习情境类似时，由于学习者对前一学习活动 的熟悉感，就会指引他们进行类似的学习，就是说迁移容易在情境类似的两种 学习问发生.当两种学习活动的材料彼此类似时，也容易实现迁移.例如，解 二元一次方程组的学习活动和解三元一次方程组的学习活动之间很容易产生相 互影响.这是因为学习内容的相似性，学生很容易做出概括，从而对类似的刺 激(学习内容)作出相似的反应.反应结果类似的两种学习活动同样也可互相 影响.如前说到的“日常的垂直”概念会影响“几何垂直”概念的学习，这种 学习迁移就是由于它们的反应结果类似一一“垂直”一一而引起的.(2)教学活动

60、在数学教学中，教师的教学方法不仅直接关系到学习的成败，而且直接影 响迁移的效果.实验表明，若采用适当的方法，迁移量可大大增加.所以在数 学教学中应采用合适的教学方法.教师应从学生熟悉的，已经掌握的知识经验 出发，帮助学生理解知识，教师还应揭示一般原理的形成过程， 帮助学生概括、 总结经验，增进迁移的效果.(3)知识的概括水平学生头脑里知识的概括程度是影响迁移的重要因素之一.美国心理学家贾 得(Judd)的迁移实验表明，掌握一般原理有利于迁移.曾有人作了关于“教学生解题策略”的实验研究，他教两组大学生解同样的数学问题，但教的方法不一样，一组学生获得了一般的解题策略（如优先考虑特殊性，从特例中获得