开放式基金决策问题的优化

1、开放式基金投资最优决策一、问 题某开放式基金现有总额为 15亿元的资金可用于投资，目前共有 8 个项目可 供管理人选择， 每个项目可重复投资。 根据专家经验， 对每个项目投资总额不能 太高，应有上限。 这些项目所需要的投资额已知， 一般情况下投资一年后各项目 所得利润也可估算出来，如表 1 所示。表 1单位：万元项目编号A1A2A3A4A5A6A7A8投资额67006600485055005800420046004500年利润11391056727.51265116071418401575上限3400027000300002200030000230002500023000请帮该公司解决以下问题

2、：（1）就表 1 提供的数据，应该投资哪些项目，使得第一年所得利润最高？（2）在具体投资这些项目时，实际还会出现项目之间互相影响的情况。公 司咨询有关专家后，得到以下可靠信息：同时投资项目A1，A3，它们的年利润分别是 1005 万元，1018.5万元；同时投资项目 A4，A5，它们的年利润分别是 1045 万元， 1276万元；同时投资项目 A2，A6，A7，A8，它们的年利润分别是 1353 万 元， 840万元， 1610 万元， 1350万元，该基金应如何投资？（3）如果考虑投资风险，则应如何投资，使收益尽可能大，而风险尽可能 小。投资项目总体风险可用投资项目中最大的一个风险来衡量。

3、专家预测出各项 目的风险率，如表 2 所示。表2项目编号A1A2A3A4A5A6A7A8风险率 （%）3215.52331356.54235（4）开放式基金一般要保留适当的现金，降低客户无法兑现的风险。在这 种情况下，将专家的信息都考虑进来，基金该如何决策，使得尽可能降低风险， 而一年后所得利润尽可能多？（5）这个项目投资，是必须资金全部到位才有利润，还是只要第一期资金到位启动后就可以随便投资，然后利润率按第一期利润和投资之比来计算？二、模型的建立及求解1模型 1（线性整数规划）（1）假设1）不考虑其他因素，单纯追求利润最大；2）预计利润能正确反映各项投资的利润；3）若对某项目投资，则该项目的

4、总投资额必须是该项目投资额的整数倍；4）投资过程中交易费为 0；5）该基金中无“庄家”或“金融大鳄”之类恶意操纵。（2）建模设xi为对项目 Ai的投资股数， H表示基金总额， mi表示项目 Ai的投资上限， bi表示项目 Ai每股的预计年利润， ci表示项目 Ai每股的投资额，则一年后总投资 88利润Rbi xi ，基金总额约束： cixi H ，各项目投资额上限约束： cixi mii1 i 1（i=1，2， 8），从而建立如下模型。8max Rbi xii18ci xi Hi1s.t. ci xi mi ,i 1,2, ,8xi N,i 1,2, ,8（3）求解使用 Lindo 软件包，以

5、题中所给数据为例，编程求得结果，如表 3 所示。表3项目编号A1A2A3A4A5A6A7A8投资股数（股）51145255投资额3350066004850220002900084002300022500总投资149850年利润56951056727.550605800142892007875利润率（ %）1716152320174035总利润36841.5从表 3 可以看出，基本上利润率较高的投资项目对应较强的投资势头， 但有 的投资项目虽然利润率较高， 却未得到相应的投资势头， 这说明利润率并不是影响投资的唯一因素，还有另外的因素尚未考虑到，需要继续深入讨论2模型 2（非线性整数规划） 考虑

6、到专家的信息，投资项目之间相互影响，修正模型 1（1）假设1）专家的信息有较高的可信度，单纯追求利润最大2）满足模型 1 的假设 2） 5）。（2）建模01 变量由于不知道是否各相互影响的项目同时投资时，利润较大，引入1,0,A1 , A3同时投资1,，z否则 ， 0,A4 , A5同时投资否则，u1,0,A2 , A6 , A7 , A8同时投资否则设bi 表示受同时投资影响时项目 Ai 每股的预计年利润，可建立如下模型max R y(b1x1 b3x3) (1 y)(b1x1 b3x3) z(b4x4 b5x5) (1 z)(b4 x4 b5x5 )u(b2 x2 b6 x6 b7x7 b

7、8x8 ) (1 u)(b2x2 b6x6 b7x7 b8x8)8ci xi Hi1cixi mi ,i 1,2, ,8 y x1x3 30ys.t. z x4x5 20z u x2x6x7x8 500u xi N,i 1,2, ,8 y,z,u 0或1其中 中的 30 表示 A1，A3 各最多投资 5 股， 6 股； y x1x3 30y 中的 20 表示 A4，A5各最多投资 4股，5 股；z x4x5 20z u x2x6x7x8 500u 中的 500 表示 A2，A6，A7，A8各最多投资 4股，5股，5股，5 股。当 A1，A3同 时投资时， x1x30， y=1；当 A1， A3

8、 不同时投资时， x1x3=0， y=0，故得 A1，A3 是否相互影响的约束可表示为： 。同理可得其他两个是否相互影响y x1x3 30y的约束。（3）求解使用 Lingo 软件包，以题中所给数据为例，编程求得结果，如表 4 所示。表4项目编号A1A2A3A4A5A6A7A8投资股数10645455投资额67000291002200029000168002300022500总投资额149100年利润10050611141806380285692007875利润率（ %）1516211922174035总利润37607从表 4 可以看出，随着利润率的提高，投资势头也相应增强，利润率下降，投资势

9、头也相应减弱，这又一次反映了利润率对投资势头的强大影响。3模型 3（多目标规划 &非线性整数规划） 考虑到专家提供的风险损失率方面的约束，进一步修正模型2。（1）假设1）考虑专家预测出的各项目风险率，总体风险用投资项目中最大的一个风 险来度量，追求利润尽可能大、风险尽可能小；2）满足模型 2 的假设 2）。（2）建模设 qi 表示项目 Ai的风险率，则总体风险 Q max qi ci xi ，投资总利润 R 同1 i 8模型 2，从而可建立如下模型。max Rmin Qs.t. 同模型 2利 用 法 构 造 评 价 函 数 P R （1 ）Q ， 其 中 权 系 数Q* Q(0)R(0) R*

10、 Q* Q(0)R*，Q* 分别为 R，Q 的最优值，R（0），Q（0）分别为 Q，R取最优值时 R，Q 的取值，可以把上述双目标规划化为如下单目标规划 max P R （1 ）Qs.t. 同模型 2不过确定权系数的常用方法是根据专家意见和经验给出（3）求解引入变量 s=Q，目标函数化为 P R （1 ）s ，在满足上述约束条件的基 础上，还要对 s 加以约束： qi ci xi s，i=1，2， 8。使用 Lingo 软件包，以 题中所给的数据为例， 编程求得结果， 如表 5 所示，即在考虑利润和风险的基础 上，均衡两者的权，得出的最佳折中方案。表5项目编号A1A2A3A4A5A6A7A8投

11、资股数54040055投资额3350026400022000002300022500总投资额127400利润率 （%）1716152320174035风险率 （%）3215.52331356.54235年利润59654224050600092007875总利润32054总体风险10720（ A1 的风险 ）从表 5 可以看出，利润率和风险率对投资的影响都很大， 对利润率和风险率 都大的项目应谨慎投资，对风险大，利润过小的项目应少投资，甚至不投资。但 对风险较大而利润较小的项目 A1 投资最多，说明权系数的选择不适当。4模型 4（多目标规划 &非线性整数规划）模型 3 中未考虑保留适当的现金，

12、从开放式基金具有由投资者随时赎回的特 性来理解， 相比交易所挂牌上市的证券， 开放式基金以其单位基金净值作为赎回 标准，可以在有效规避二级市场的股价波动风险的同时保证其流动性。 对于突发 性的赎回请示， 基金管理人往往会通过保留一定的资金来应付。 基于此， 我们在 模型 3 的基础上追加考虑保留适当的现金， 用以降低客户无法兑付的风险， 进一 步修正模型 3。（1）假设1）考虑保留部分资金，追求利润最大、风险最小；2）不考虑原始投资人 1%的认购费率、 0.5%的赎回费率；3）考虑保留资金的存储利润；4）满足模型 3 中的假设。（2）建模模型 3 中未考虑投资者的风险偏好，而这个因素直接涉及投

13、资方向和势头， 对模型结果的影响很大。在实际中， 对于不同风险偏好的投资者， 其最佳投资方案有所不同。 为了反映实际情况，我们把投资者偏好合并分类， 各自对应的权值为： 高度冒险：WR=0.8， WQ=0.2；比较冒险： WR=0.6，WQ=0.4；中性冒险： WR=0.5，WQ=0.5；比较保守： WR=0.4，WQ=0.6；高度保守： WR=0.2， WQ=0.8。WR，WQ在满足 WR+WQ=1 的条 件下，具体取值可适当调整，这并不影响算法的实现。1)风险偏好和效用函数。投资的目的是为了将来更大的消费，即财富的增 加。不同的财富水平投资者获得的效用是不同的， 同样的财富增加量对不同的投

14、 资者，其带来的效用增加也有所不同。财富 x 和效用 U 之间的数量关系通常称 为财富的效用函数，记为 U(x)。U(x)一般是增函数，即 U (x) 0 ，但对于不同的 投资者其增长的形态不同。以下是三种典型效用函数形态。风险回避型 这种人对财富的增加不很敏感， 或财富增加的边际效用是递减 的，通常不愿意为增加财富而冒大风险，如图 1 所示。风险中性型 这种人对财富增加的态度始终是相同的，边际效用是一常数， 如图 2 所示。风险偏爱型 这种人对财富具有强烈的渴望， 越富越想富， 财富增加的边际 效用是递增的，因而愿意为增加财富而承担较大的风险，如图 3 所示。以上三种基本形态均可用下列二次效

15、用函数表示：0：风险回避型U(x) x x20：风险中性型0：风险偏爱型 虽然实际的效用函数有可能不是二次的， 但二次效用函数具有更好的概率特 性。2)投资心理曲线。一般来说，人们的心理变化是一个模糊的概念，在此， 对一个投资方案的看法(即对投资者的吸引力) 的变化就是一个典型的模糊概念。 通过查找心理学的相关资料，我们定义投资者的心理曲线为 u(x) 1 e (x/ )2 ( 0) ，其中 表示投资者平均收入的相关因子，称为实力因子，一般为常数。实力因子是反映不同投资者的平均收入和消费水平的标准。 确定一个投资方案应 该尽力考虑所有不同投资者的实力因子， 而在我国不同地区的收入和消费水平是

16、不同的，因此不同地区的实力因子也不尽相同， 要统一来评估这些方案的合理性， 就应该对同一实力因子进行研究。 为此我们以中等地区的收入水平为例， 根据相 关网站的统计数据，不妨取人均年收入为 1.5 万元，按我国的现行制度，平均工 作年限为 35年，则人均收入为 52.5万元。取 u(52.5) 1 e (52.5/ ) =0.5(即吸引 力的中位数)，则 6.30589。保留现金比例。设保留现金比例为 g，不同投资者所占人群比例为 i ， 又得知他们的风险偏好不同，主观风险权系数为 WQi，i=1，2，3，4，5，则 55gi (WQi / WQi )i 1 i 1根据投资心理曲线， 参照风险

17、偏好和效用函数， 并根据网上调查， 得知投资 者基本上划分为 5 种类型，通过代入模型计算，得到相关信息如表 6 所示。表6风险偏好高度冒险比较冒险中度冒险比较保守高度保守所占人群比例 (%)8.524.53326.57.5风险权系数归一化0.080.160.200.240.32保留现金比例 (%)19.96保留的资金存入银行比闲置更有利， 这笔资金是用来应对突发性的赎回请求的，随时都可能用到它，因此采用活期存款的方式，存款年利润按0.72%计。将8此代入模型 3，并把基金总额约束修正为：ci xi (1 g)H ，得模型 4i1求解使用 Lingo 软件包，以题中所给数据为例，编程求得结果，

18、如表 7 所示。表7项目编号A1A2A3A4A5A6A7A8投资股数50040455投资额3350000220000168002300022500总投资额117800年利润56950050600285692007875保留资金29940存款利润215.568总利润30901.568总体风险10720以上是在假设这一年中未发生突发性的赎回请求， 保留资金未被动用的情况下的总利润。 考虑到最不好的情况， 即保留资金还未存入银行就被动用， 无存款 利润可言。综上所述，我们认为用于保留的资金为 29940万元比较合适， 总利润 应该在( 30686，30901.568)范围内。5模型 5(非线性整数规

19、划)假设1)不考虑风险因素，单纯追求利润最大；2)投资额是连续的；第一期资金到位启动后就可以随便投资，然后利润率按第一期利润和投 资之比来计算。建模设 xi为对项目 Ai 的投资金额， i=1，2， 8。考虑到假设 2)、3)，项目之间有 无影响时的利润率分别为 aibi ，aibi。引入 01 变量 vi1, Ai ，i=1，ici ici i0,否则2， 8，则 Ai的投资金额的上下限约束为： civi xi mivi ，可建立如下模型。 max R y(a1x1 a3x3) (1 y)(a1x1 a3x3) z(a4x4 a5x5) (1 z)(a4x4 a5x5 ) u(a2x2 a6

20、x6 a7x7 a8x8) (1 u)(a2x2 a6x6 a7 x7 a8x8)8xi Hi1civi xi mivi ,i 1,2, ,8y x1x3 102 107 ys.t. z x4x5 66 107 zu x2x6x7x8 357075 1012 uxi 0,i 1,2, ,8y,z,u,vi 0或1,i 1,2, ,8其中 7 中的 102107 表示 A1，A3 各最多投资 34000y x1x3 102 107 y万元， 30000 万元。当 A1，A3同时投资时， x1x3 0,y 1；当 A1，A3不同时投 资时， x1x3 0,y 0 。同理可得其他两个是否相互影响的约

21、束。求解使用 Lingo 软件包，以题中所给数据为例，编程求得结果，如表 8 所示。表8项目编号A1A2A3A4A5A6A7A8投资金额27000030000220000230002500023000总投资额150000年利润405006300506003910100008050总利润37370从表 8 可以看出，这种投资方案将资金全部抛出，未留“适当”现金，不符合开放式基金的特点， 欠妥。比较模型 5 和模型 2 的结果，可知模型 5 的方案中 总投资额、总利润和利润率分别为 150000 万元、 37370万元、 24.9%，而模型 2 的方案中总投资额、总利润和利润率分别为 149100

22、万元、 37607万元、 25.2%， 显然模型 2 的投资方案比模型 5 的更好。这说明在投资时， 只有投资以单位投资 额的整数倍投入， 利润才会以相应倍数增大。 如果投资不是以单位投资额的整数 倍投入，利润的增长则明显滞后，利润率明显偏低，是不合算的方案。同时模型 2 的方案中留下了一部分资金备用， 符合开放式基金客户投资、 撤资自由的特点， 而模型 5 的方案中未留下任何备用资金， 一旦客户要求撤资， 开放式基金就有失 信的风险，不利于其长久发展。三、灵敏度分析决策变量 xi相应的影子价格称为缩减成本 RCi，i=1，2，8，RCi 的值表示当 xi增加一个单位（其他变量保持不变） 时，

23、目标函数增加的量， 如表 9 所示。 表9股份x1x2x3x4x5x6x7x8模型 1RCi11391056727.51265116071418401575模型 2RCi100510561018.50127671418401575模型 3RCi1930224.4400246.540391.1334.7模型 4RCi1930000246.54151.7391.1334.7从表 9 可以发现， x1 的变化对各目标函数最优值的影响最大， x7次之 四、模型的进一步分析实际上，投资的收益和风险都是随机的，考虑如下问题。 某投资公司经理欲将 50 万元基金用于股票投资，股票的收益是随机的。经 过慎重考

24、虑，他从所有上市交易的股票中选择了 3 种股票作为候选的投资对象，从统计数据的分析得到：股票 A 每股的年期望收益为 5 元，标准差（均方差） 为 2 元；股票 B 每股的年期望收益为 8 元，标准差为 6 元；股票 C 每股的年期 望收益为 10元，标准差也为 10元；股票 A，B收益的相关系数为 5/24，股票 A， C 收益的相关系数为 - 0.5，股票 B，C 收益的相关系数为 - 0.25。目前股票 A，B， C的市价分别为 20元， 25 元，30元。（1）如果该投资人期望今年得到至少 20%的投资回报，应如何投资可使风 险最小（这里用收益的方差或标准差衡量风险）？（2）投资回报率

25、和风险的关系如何？1建模设 x1，x2，x3分别表示投资股票 A，B，C 的数量。国内股票通常以“一手” （100 股）为最小单位出售，故此处设股票数量以 100股为单位。相应地，期望 收益和标准差以百元为单位。记股票 A，B，C 每手的收益分别为 s1，s2，s3（百元），根据题意， si（i=1， 2，3）是随机变量，投资的总收益 s x1s1 x2s2 x3s3也是随机变量。用 E和 D 分别表示随机变量的数学期望和方差 （标准差的平方），r 和 cov 表示两个随机变 量的相关系数和协方差，则Es1 =5， Es2 =8， Es3 =10， Ds1 =4， Ds2 =36， Ds3 =

26、100， r12 =5/24， r13 =- 0.5， r23=-0.25， cov（s1,s2） r12 Ds1 Ds2 2.5 ， cov（s1 , s3 ） r13 Ds1 Ds3 10， cov（s2,s3） r23 Ds2 Ds3 15。故投资的总期望收益为 z1 Es x1Es1 x2Es2 x3Es3 5x1 8x2 10 x3 ，投 资 总 收 益 的 方 差 为 z2 Ds x12Ds1 x22 Ds2 x32Ds3 2x1x2 cov（s1, s2 ） 2 2 22x1x3 cov（s1 , s3 ） 2x2x3 cov（s2, s3 ） 4x1 36x2 100 x3 5

27、x1x2 20 x1 x3 30 x2 x3 。 实际上投资者可能面临许多约束条件，如是否需要将资金全部用来购买股 票，没有购买股票的资金是否可以存入银行或做其他投资。 此处假设不一定需要 将资金全部用来购买股票， 没有购买股票的资金也闲置不用， 而只考虑可用于投 资的资金总额的限制，即 20 x1 25x2 30 x3 5000 。问题（ 1）的模型为二次规划：min z220 x1 25x2 30 x3 5000s.t. 5x1 8x2 10 x3 1000 x1,x2,x3 N问题（ 2）的模型为：min z z2 z120 x1 25x2 30 x3 5000s.t. 5x1 8x2 10 x3 1000 x1,x2,x3 N其中 为风险偏好系数，为统一量纲取 0 0.1 （在目标函数中最好取 z2 的平方根，以便统一单位）。