2022届内蒙古呼伦贝尔市海拉尔第二中学高三下学期最后一模数学（理）试题（解析版）

1、试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页第 Page * MergeFormat 20 页 共 NUMPAGES * MergeFormat 20 页2022届内蒙古呼伦贝尔市海拉尔第二中学高三下学期最后一模数学（理）试题一、单选题1若全集，集合，集合，则=（）ABCD【答案】B【分析】根据不等式的解法和对数函数的性质，求得集合，再结合集合的运算，即可求解.【详解】由得或，即 由可得，即 则所以故选：B2已知命题 ，命题q：复数为纯虚数，则命题 是 的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【分析】先将命题看成真命题求出 的取

2、值，再根据充要条件与集合间的关系即可写出答案【详解】 是纯虚数， ， 故命题是的充要条件故选：C3已知实数x，y满足则的最小值是（）ABCD9【答案】B【分析】画出约束条件所表示的平面区域，由直线截距的几何意义即可求解.【详解】解：约束条件所表示的可行域如图阴影部分（包含边界），令，则，由直线截距的几何意义知，当直线经过时在轴上截距最大，此时最小，所以的最小值为，即的最小值是，故选：B.4函数的部分图象是（）ABCD【答案】D【分析】先判断的奇偶性，排除A、B；再取特殊值，排除C，即可得到正确答案.【详解】定义域为R.，为奇函数，其图像关于原点对称，排除A、B；对于CD，令，解得：，即有三个零

3、点，如图示，取，有，.排除C；故选：D【点睛】思路点睛：函数图像的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置(2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图像5已知，则的值为（）A60B60C15D15【答案】B【分析】利用换元法令，则可得，再根据二项展开式的通项代入计算【详解】令，则，可得：对可知：，则令，得故选：B6有条同样的生产线，生产的零件尺寸(单位：)都服从正态分布，且.在每条生产线上各取一个零件，恰好有个尺寸在区间的概率为（）ABCD【答案】D【分析】由正态

4、分布的对称性得，再结合独立重复试验求解即可得答案.【详解】由题知正态分布的对称轴为，又因为，故.故在每条生产线上各取一个零件，恰好有个尺寸在区间的概率为：.故选：D.【点睛】本题考查正态分布的对称性的应用，独立重复试验的概率，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据正态分布的对称性，得，进而根据独立重复试验的概率求解即可.7设数列满足，且（且），则ABCD【答案】B【详解】 令，则，所以为等差数列， 因为，所以公差，则，所以， 即，所以，故选B. 点睛：本题考查了等差数列的通项公式和等差数列的性质的应用问题，本题非常巧妙的将两个数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观

5、察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项，另外，本题的难点在于两个数列融合在一起，利用第一个数列为等差数列，得到第一个数列的通项公式，进而求解第二个数列的项，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力.8已知函数 的部分图象如图所示，将函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数 的图象，则下列关于函数的说法正确的是（）A的最小正周期为B在区间上单调递增C的图象关于直线x对称D的图象关于点中心对称【答案】C【分析】先根据函数图像求出 的解析式，利用图像变换求出 的解析式，然后对选项逐一判断即可【详解】由函数图象知，所以，所以 ，因为函数图象过点

6、，所以，则，解得，又，所以，所以，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到，的最小正周期，故A错误；当时，此时 单调递减，故B错误；令，则，当时，故C正确；因为，故D错误故选：C.9已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增.若实数满足，则的取值范围是ABCD【答案】A【分析】先得到函数f(x)是R上的增函数，再利用函数的奇偶性和单调性化简不等式，解不等式得解.【详解】因为是定义在上的奇函数，且在上单调递增，所以函数f(x)是R上的增函数，由题得，所以，所以，所以|m-1|3，所以-3m-13，所以-2m4，因为|m-1|0,所以m1，故m

7、.故选A【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10等腰直角三角形的斜边AB为正四面体侧棱，直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：（1）四面体EBCD的体积有最大值和最小值；（2）存在某个位置，使得；（3）设二面角的平面角为，则；（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，则点P的轨迹为椭圆.其中，正确说法的个数是（）A1B2C3D4【答案】C【详解】解：对于（1），当CD平面ABE，且E在AB的右上方时，E到平面BCD的距离最大，当CD平面ABE，且E在AB的左下方时，E到平面BCD的距离最小，四面体E

8、BCD的体积有最大值和最小值，故（1）正确；对于（2），连接DE，若存在某个位置，使得AEBD，又AEBE，则AE平面BDE，可得AEDE，进一步可得AEDE，此时EABD为正三棱锥，故（2）正确；对于（3），取AB中点O，连接DO，EO，则DOE为二面角DABE的平面角，为，直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，0，），DAE，），所以DAE不成立（3）不正确；对于（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，P到BC的距离为：dPBC，因为1，所以点P的轨迹为椭圆（4）正确故选：C点睛：该题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征，以几何体为载体，考查相关的空间关系，在解题的过

9、程中，需要认真分析，得到结果，注意对知识点的灵活运用.11已知是双曲线：的右焦点，直线与双曲线交于，两点，为坐标原点，的中点分别为，若，则双曲线的离心率为（）ABCD【答案】A【分析】设位于第一象限，由，得到，连接，得到，根据题意得到，求得，得出的值，结合双曲线的定义和离心率的计算公式，即可求解.【详解】如图所示，不妨设点位于第一象限，因为，所以，设为双曲线的左焦点，连接，因为，分别为，的中点，所以，所以，所以，所以，又直线的方程为，所以，所以，得，所以，所以，由双曲线的定义可知，所以双曲线的离心率故选：A【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值

10、，根据离心率的定义求解离心率；2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.12已知函数，若，则（）ABCD【答案】A【解析】先判断函数的奇偶性和单调性，再分析得解.【详解】由题得函数的定义域为R.,所以函数是偶函数.当时，因为，所以，所以函数在上单调递增，因为函数是偶函数，所以函数在上单调递减，在上单调递增.如果，则，因为，所以，与已知相符；如果，则，所以,与已知相符；如果，因为，所以，所以，与已知矛盾；如果，因为，所以，所以，与已知矛盾；当之中有一个为零时，不妨设， ，显然不成立.故选：A【点睛】方法点睛

11、：对于函数的问题，要灵活利用函数的奇偶性和单调性分析函数的问题，利用函数的图象和性质分析函数的问题.二、填空题13设向量，且，则m_【答案】【分析】结合平面向量的线性运算和数量积的坐标运算即可求出参数的值.【详解】因为，所以，又因为，所以，解得.故答案为：14“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题现有这样一个整除问题：将1到2 021这2 021个数中，能被3除余2且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列an，则此数列所有项中，中间项的值为_【答案】1007【分析】由题可得，可判断共有135项，且中间项为第68项，即可求出.【详解】由题意可知，既是3的倍数，又是5

12、的倍数，所以是15的倍数，即，所以，当时，当时，故，数列共有135项，因此数列中间项为第68项，且故中间项的值为1007故答案为：1007.15过抛物线的焦点且斜率为的直线交于点（在轴上方），为的准线，点在上且，则到直线的距离为_【答案】【分析】分析可知是等边三角形，求出该三角形的边长，即可得解.【详解】设直线交轴于点，因为直线的斜率为，则该直线的倾斜角为，由抛物线的定义可得，易知轴，则，故是等边三角形，则，因此，到直线的距离为.故答案为：.16已知正四面体ABCD的棱长为4，点E在棱AB上，且BE3AE，过E作四面体ABCD外接球的截面，则所作截面面积的最小值为_【答案】3【分析】将正四面体

13、放入正方体中求出体对角线的长度,即可得外接球半径,进而根据余弦定理求出最大的高度,进而截面最小.【详解】如图，正四面体ABCD的棱长为4，则正方体的棱长为，正四面体ABCD的外接球即正方体的外接球，设球心为O，球的半径为R，则 ,，,在中,，当垂直于截面时,此时截面最小,则截面圆的半径，截面面积的最小值为.故答案为: 三、解答题17如图，四棱锥的底面是正方形，底面，点在棱上(1)求证：平面平面；(2)当，为的中点时，求直线与平面所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）证明出平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）设，则，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空

14、间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】(1)证明：因为四边形为正方形，则，平面，平面，则，平面，平面，平面平面.(2)解：设，则，因为底面，四边形为正方形，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、，设平面的法向量为，则，取，可得，因此，直线与平面所成角的正弦值为.18设函数.（1）求的最小正周期和值域.（2）在锐角中，角的对边长分别为.若，求周长的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】（1）利用倍角公式降幂，辅助角公式化简即可求解.(2)根据条件求出，利用正弦定理边化为角，利用三角函数的值域求解即可.【详解】（1），值域为.（2）

15、由可得，因为三角形为锐角，所以即,由正弦定理得，所以因为为锐角三角形，所以，即解得所以即，所以周长的取值范围为区间【点睛】关键点点睛：在解三角形的周长范围时，将转化为含一个角的三角函数问题，利用三角函数的值域，求的周长的取值范围，是常用解法.19已知椭圆右焦点为，椭圆的左焦点为F，点A为椭圆E上一动点（不在x轴上），点B为线段与椭圆C的公共点（且B靠近点A）(1)若点F恰为椭圆C的左顶点，求椭圆E的方程；(2)令面积的最大值为，求的取值范围【答案】(1)(2)【分析】（1）易知椭圆C方程的左顶点坐标为，将，变形为，根据题意，由求解；（2）设的方程为，与联立，利用弦长公式得到，同理得到，求得点到

16、的距离，由求解.【详解】(1)解：点F恰为椭圆C的左顶点，椭圆C方程为，左顶点坐标为，为椭圆E的左焦点，即为，所以，所以椭圆E的方程为；(2)如图所示：设的方程为，联立，得，设，则，所以，同理得，点到的距离为，所以，由椭圆几何性质知：当时，即，则，所以在上递增，所以.20已知函数f（x）exaxsinx(1)求yf（x）在x0处的切线方程；(2)当a2时，设函数g（x），若x0是g（x）在（0，）上的一个极值点，求证：x0是函数g（x）在（0，）上的唯一极小值点，且e2g（x0）e【答案】(1)xy10(2)证明见解析【分析】（1）求导得在x0处的导数值，进而得切线的斜率，根据点斜式即可求切线

17、方程.（2）求导，通过导函数的正负，确定原函数的单调性，然后确定极值.根据不等式，即可求解.【详解】(1)由已知得 exa（sin xxcos x），而，f（0）1，故在x0处的切线方程为y1x，即xy10(2)当a2时，由题意得 ，则，令（x）g（x），则，当时， g（x）在（0，）上单调递增，g（1）2cos 10，使g（x0）0，当时，g（x）0，即在上单调递增，在（0，）上有唯一极小值点x0且，g（x0）g（1）e2sin 1h（1）e，又2sin x0（2，2sin 1），g（x0）2sin x0e2，综上，e2g（x0） 21在极坐标系中，曲线的方程为，以极点为原点，极轴所在直线为

18、轴建立直角坐标，直线的参数方程为（为参数），与交于，两点（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）设点；若、成等比数列，求的值【答案】(1) 曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为 ；(2) 【分析】(1)由极坐标与直角坐标的互化公式和参数方程与普通方程的互化，即可求解曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；(2)把的参数方程代入抛物线方程中，利用韦达定理得，可得到，根据因为，成等比数列，列出方程，即可求解【详解】(1)由题意，曲线的极坐标方程可化为，又由，可得曲线的直角坐标方程为，由直线的参数方程为（为参数），消去参数，得，即直线的普通方程为； (2)把的参数方程代入抛物线方程中，得， 由，设方程的两根分别为，则，可得， 所以， 因为，成等比数列，所以，即，则，解得解得或（舍），所以实数.【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，以及参数方程与普通方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用直线的参