新高考一轮复习人教A版 7.3　空间直线、平面的平行 学案

1、PAGE PAGE 97. 3空间直线、平面的平行1. 借助长方体理解基本事实4，并能用基本事实4解决直线与直线平行问题. 2. 借助长方体抽象出等角定理，能用等角定理解决空间角相等问题. 3. 从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线、平面的平行关系，归纳出直线、平面平行的性质定理(并加以证明)与判定定理. 【教材梳理】1. 直线与直线平行(1)基本事实4文字语言平行于同一条直线的两条直线平行 图形语言符号语言eq blc rc(avs4alco1(ab,bc)ac 说明基本事实4表明了平行线的传递性 (2)等角定理文字语言如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两

2、个角相等或互补 图形语言符号语言OAOA，OBOBAOBAOB或AOBAOB180 2. 直线与平面平行(1)判定定理文字语言如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 图形语言符号语言a，b，aba (2)性质定理文字语言一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 图形语言符号语言a，a，bab 3. 平面与平面平行(1)判定定理文字语言如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 图形语言符号语言a，b，abP，且a，b (2)性质定理文字语言两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 图形语

3、言符号语言，a，bab 【常用结论】4. 平面与平面平行其他常用判定、性质(1)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行. (2)平行于同一个平面的两个平面平行. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面. (5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面. 5. 与平行相关的线段(角)(1)夹在两平行平面之间的平行线段相等. (2)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例. (3)同一条直线与两个平行平面所成的角相等. 判断下列命题是否正确，正确的在括号

4、内画“”，错误的画“”. (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面. ()(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线. ()(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行. ()(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面. ()(5)如果两个平面平行，且一条直线平行于其中一个平面，则该直线平行于另一平面. ()解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5). (教材习题改编)平面平面，a，b，则直线a和b的位置关系 ()A. 平行 B. 平行或异面C. 平行或相交 D. 平行或相交或异面解：因为平面

5、平面，所以平面与平面没有公共点，因为a，b，所以直线a，b没有公共点. 所以直线a，b的位置关系是平行或异面. 故选B. 过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有 ()A. 4条 B. 6条 C. 8条 D. 12条解：作出如图的图形，E，F，G，H是相应棱的中点，故符合条件的直线只能出现在平面EFGH中. 由此四点可以组成的直线有：EF，GH，FG，EH，GE，HF共有6条. 故选B. (教材习题改编)平面平面，点A，C，点B，D，直线AB，CD相交于点P，已知AP8，BP9，CP16，则CD_. 解：因为直线AB，CD相交于点P，所以A，B，

6、C，D，P共面. 根据面面平行的性质定理可知，ACBD. 若点P在平面，的外部，则eq f(AP,AB)eq f(CP,CD)，即eq f(8,1)eq f(16,CD)，解得CD2；若点P在平面，之间，则eq f(AP,BP)eq f(CP,DP)，即eq f(8,9)eq f(16,DP)，解得DP18，所以CDCPDP34. 故填2或34. 考点一平行关系的基本问题(1)(2019全国卷)设，为两个平面，则的充要条件是 ()A. 内有无数条直线与平行B. 内有两条相交直线与平行C. ，平行于同一条直线D. ，垂直于同一平面解：由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由

7、面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件. 故选B. (2)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列推断：FG平面AA1D1D；EF平面BC1D1；FG平面BC1D1；平面EFG平面BC1D1；平面EFG平面A1C1B. 其中所有正确推断的序号是 ()A. B. C. D. 解：对于，由正方体性质可知，平面AA1D1D平面BB1C1C，又FG平面BB1C1C，故FG平面AA1D1D，正确；对于，因为EF与C1D1延长线相交，故EF不平行于平面BC1D1，错误；对于，因为F，G分别为B

8、1C1和BB1的中点，所以FGBC1，又因为FG平面BC1D1，所以FG平面BC1D1，正确；对于，由知EF与C1D1延长线相交，故平面EFG不平行于平面BC1D1，错误；对于，由知，FG平面A1C1B，同理可证EG平面A1C1B，又FGEGG，所以平面EFG平面A1C1B，正确. 故选A. 【点拨】 平行关系的基本问题，应以定义、基本事实4和定理为依据，以正(长)方体、三棱柱(锥)等常见几何体为载体进行判断. (1)(2020贵州期末)已知三个不同的平面，和直线m，n，若m，n，则“”是“mn”的 ()A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件解：根

9、据面面平行的性质定理，可知当“”时，有“mn”，故充分性成立；反之，当mn时，可能相交(如图)，故必要性不成立. 所以“”是“mn”的充分不必要条件. 故选A. (2)【多选题】如图所示的四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MNP的图形是 ()eq avs4al() eq avs4al()A B eq avs4al() eq avs4al()C D解：在A中，由于平面MNP与AB所在的侧面平行，所以AB平面MNP；在C中，由于AB与以MP为中位线的三角形的底边平行，所以ABMP，又因为MP平面MNP，AB平面MNP. 所以AB平面MNP.

10、BD中，只需平移AB，即可发现AB与平面MNP相交. 故选AC. 考点二平行关系的证明问题如图，四棱锥PABCD中，ADBC，ABBCeq f(1,2)AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点. (1)求证：AP平面BEF；(2)求证：GH平面PAD. (3)在线段PD上找一点Q，使平面ABP平面ECQ，并说明理由. 证明：(1)如图，连接EC，因为ADBC，BCeq f(1,2)AD，所以四边形ABCE是平行四边形，所以O为AC的中点. 又因为F是PC的中点，所以FOAP，FO平面BEF，AP平面BEF，所以AP平面BEF. (2)连接FH，O

11、H，因为F，H分别是PC，CD的中点，所以FHPD，所以FH平面PAD. 又因为O是BE的中点，H是CD的中点，所以OHAD，所以OH平面PAD. 又因为FHOHH，所以平面OHF平面PAD. 又因为GH平面OHF，所以GH平面PAD. (3)取PD中点为Q即可. 理由如下：由上知ABEC，又因为APEQ，ABAPA. 由面面平行的判定定理可得平面ABP平面ECQ. 【点拨】 证明线线平行，可以运用基本事实4、中位线定理，也可以证明包含这两边的四边形是平行四边形，或者运用线面平行的性质定理来证明. 要证明直线和平面平行，通常有两种方法：(i)利用线面平行的判定定理，只要在平面内找到一条直线与已

12、知平面外直线平行即可；(ii)由面面平行的性质定理：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任何一条直线和另外一个平面平行. 第一种方法是常用方法，一般需要连接特殊点、画辅助线，再证明线线平行，从而得到线面平行. 第二种方法常用于非特殊位置的情形. 判定面面平行的主要方法：(i)利用面面平行的判定定理；(ii)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行). 利用面面平行的判定定理证明两平面平行时需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行. (1)(2020武汉高三联考)如图，已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，M，N，P，Q分别是AA1，BB1，AB，B1C1的中点. 求证：PC1平面M

13、NQ. 证明：如图，连接BC1，AC1. 因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以四边形ABB1A1是矩形. 因为M，N分别是AA1，BB1的中点，所以MNAB. 在B1C1B中，Q，N分别是B1C1，BB1的中点，所以NQBC1. 又因为ABBC1B，MNNQN，所以平面MNQ平面ABC1. 又因为P是AB的中点，所以PC1平面ABC1，所以PC1平面MNQ. (2)(2021重庆市第三十七中学校高一期中)如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的三等分点(M靠近B，N靠近C). ()求证：MN平面PAD. ()在PB上确定一点Q，使平面MNQ平面PAD.

14、解：()证明：如图，在线段PD上取一点G，使得PG2GD，因为N是PC上靠近C的三等分点，所以PN2NC，所以GNCD，且GNeq f(2,3)CD，又因为M是AB上靠近B的三等分点，所以AM2MB，又因为底面ABCD为平行四边形，所以ABCD，且ABCD，所以GNAM，且GNAM，所以四边形GAMN为平行四边形，所以MNAG，又因为MN平面PAD，AG平面PAD，所以MN平面PAD. ()存在点Q满足PQ2QB，证明：因为M是AB上靠近B的三等分点，所以AM2MB，且PQ2QB，所以QMPA，又因为QM平面PAD，PA平面PAD，所以QM平面PAD，由()知MN平面PAD，且QMMNM，QM

15、平面MNQ，MN平面MNQ，所以平面MNQ平面PAD. 考点三平行关系的综合问题(2020年全国卷)如图，已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点. 过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F. (1)证明：AA1MN，且平面A1AMN平面EB1C1F；(2)设O为A1B1C1的中心，若AOAB6，AO平面EB1C1F，且MPNeq f(,3)，求四棱锥BEB1C1F的体积. 解：(1)证明：因为M，N分别为BC，B1C1的中点，所以MNCC1. 又由已知得AA1CC1，故AA1MN. 因为A1B1C1是正三角形，所

16、以B1C1A1N. 又B1C1MN，故B1C1平面A1AMN. 所以平面A1AMN平面EB1C1F. (2)AO平面EB1C1F，AO平面A1AMN，平面A1AMN平面EB1C1F PN，故AOPN. 又如图，APON，故四边形APNO是平行四边形，所以PNAO6，AP ONeq f(1,3)AMeq r(3)，PMeq f(2,3)AM2eq r(3)，EFeq f(1,3)BC2. 因为BC平面EB1C1F，所以四棱锥BEB1C1F的顶点B到底面EB1C1F的距离等于点M到底面EB1C1F的距离. 如图作MTPN，垂足为T，则由(1)知，MT平面EB1C1F，故MT PMsinMPN3.

17、底面EB1C1F的面积为eq f(1,2)(B1C1EF)PNeq f(1,2)(62)624. 所以四棱锥BEB1C1F的体积为eq f(1,3)24324. 【点拨】 当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离相等. 在某点到平面的距离易求的前提下实行平行转化，将较难的点到平面的距离转化为较易求的另外一点到平面的距离是我们常用的方法，这需要首先完成线面平行或面面平行的证明. (2021长沙调研)如图，四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2eq r(17). 点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH. (1)证明：GHEF；(2)若EB2，求四边形GEFH的面积. 解：(1)证明：因为BC平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC. 同理可证EFBC，因此GHEF. (2)如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK. 因为PAPC，O是AC的中点，所以POAC，同理可得POBD. 又因为BDACO，且AC，BD都在底面内，所以PO底面ABCD. 又因为平面GE