专题18 二次函数的图像和性质-2021年广东地区中考数学真题与模拟试题精选汇编【含答案】

1、专题18：二次函数的图像和性质-2021年广东地区中考数学真题试卷与模拟试题精选汇编一、单选题1（2021广东中考真题试卷）抛物线经过点、，且与y轴交于点，则当时，y的值为（ ）ABCD5A先利用待定系数法求出抛物线解析式，再求函数值即可解：抛物线经过点、，且与y轴交于点，解方程组得，抛物线解析式为，当时，故选择A【点评】本题考查待定系数法求抛物线解析式，和函数值，掌握系数法求抛物线解析式方法和函数值求法是解题关键2（2021广东广州市九年级二模）将二次函数的图象向上平移3个单位，再向左平移2个单位后得到的图象的顶点坐标是（ ）ABCDA根据二次函数平移规律“上加下减，左加右减”可知平移后的函

2、数关系式，再求出其顶点坐标即可；二次函数 向上平移3个单位长度，向左平移2个单位长度，平移后的函数解析式为： ，平移后的二次函数的顶点坐标为：(0，4)，故选：A【点评】本题考查了二次函数的平移变换以及求顶点坐标，正确掌握知识点是解题的关键；3（2021广东深圳市九年级二模）如图，已知抛物线与轴交于、两点，将该抛物线向右平移（）个单位长度后得到抛物线，与x轴交于、两点，记抛物线的函数表达式为则下列结论中错误的是（ ）A若，则抛物线的函数表达式为：BC不等式的解集是D对于函数，当时，随的增大而减小D利用平移规律求出将该抛物线向右平移个单位长度后得到抛物线的解析式为当n=2即可直接求出的解析式，即

3、可判断A；对于，令，即，解出x，即可知点C、D坐标，即可求出CD的长，即可判断B；，即，解出不等式即可判断C；由的解析式为，可知其对称轴为，根据抛物线开口向下，即可知当时，y随x的增大而减小，即可判断D将改为顶点式为则将该抛物线向右平移个单位长度后得到抛物线的解析式为当n=2时，抛物线的解析式为，整理得：，故A正确，不符合题意；对于，令，即，解得：即C(，0)、D(，0)，故B正确，不符合题意；，即，故C正确，不符合题意；的解析式为，其对称轴为，该抛物线开口向下，当时，y随x的增大而减小故D错误，符合题意故选D【点评】本题考查二次函数的平移，二次函数的图象和性质掌握其平移规律“上加下减，左加右

4、减”是解答本题的关键4（2021广东深圳市九年级二模）二次函数的图像如图所示，其对称轴是直线x1，则函数yaxb和y的大致图像是（ ）ABCDA先由的开口向下，对称轴是直线x1，与轴交于正半轴，判断的符号，再确定的图像分布，从而可得答案解： 的开口向下，对称轴是直线x1，与轴交于正半轴， 即的图像过一，二，四象限，且过 的图像在一，三象限，选项 ：的图像过一，二，四象限，且过 的图像在一，三象限，符合题意，选项 ：的图像过一，二，四象限，但不过过 的图像在一，三象限，不符合题意，选项 ：的图像过一，二，三象限，但不过过 的图像在一，三象限，不符合题意，选项 ：的图像过一，二，四象限，过的图像在

5、二，四象限，不符合题意，故选：【点评】本题考查的是一次函数，反比例函数，二次函数的图像与性质，掌握利用函数图像分析问题是解题的关键5（2021广东肇庆市九年级一模）如图是二次函数（是常数，）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是对于下列说法：；当时，其中正确的是（ ）ABCDB根据抛物线的开口向下可确定a的符号，根据图象知， ，故由a的符号可确定b的符号，根据抛物线与y轴交点的位置可确定c的符号，从而可判定；由抛物线的对称轴为直线x=1，可得，从而可判定；根据抛物线的对称轴及抛物线与x轴的交点A的位置，由抛物线的对称性可判定抛物线与x轴的另一个交点的位置范围是在(

6、-1,0)和原点之间，从而可对作出判断；由抛物线与x轴的两个交点的位置可对作出判断解：抛物线的开口向下，所以a0，抛物线与y轴交点在y轴的正半轴上，故c0，从而正确；由于抛物线的对称轴为直线x=1，可得，即b+2a=0，从而正确；根据抛物线的对称轴及抛物线与x轴的交点A的位置，由抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点的位置范围是在点(-1,0)和原点之间，当x=1时，y=a-b+c，故点(-1,a-b+c)在x轴的下方，所以正确；由抛物线与x轴的两个交点的位置可知，当时，y的值可正可负，故不正确故选：B【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，数形结合思想，几个常见式子符号的判断：看抛物线

7、的开口方向定a的符号；看抛物线的对称轴是在y轴的左边还是右边定b的符号；看抛物线与y轴交点的位置定c的符号；看抛物线与x轴的交点定的符号6（2021广东佛山市九年级一模）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为下列结论中，正确的是（ ）ABCDD由抛物线开口方向得到a0，由对称轴得到b=a0，由抛物线与y轴的交点得到c0，则abc0；当x=1时，y0，则a+b+c0，把a=b代入得2b+c0；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点的横坐标小于-2，则x=-2时，y0，所以4a-2b+c0，即4ab+c0，抛物线开口向上，对称轴为直线x=-，抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)；当-4ac0,

8、抛物线与x轴有两个交点;当-4ac=0,抛物线与x轴有一个交点;当-4ac0，抛物线与x轴没有交点7（2021广东佛山市九年级一模）二次函数ya+bx+c（a0）的图象如图所示，对称轴为直线x1，下列结论不正确的是（）A4acBabc0Cac0Da+bmab （m为任意实数）D根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案解：由图象可得：a0，c0，4ac0，1，b2a0，4ac，故A选项正确，abc0，故B选项正确，当x1时，y0，ab+c0，a+c0，即ac0，故C选项正确，当xm时，ya+bm+c，当x1时，y有最大值为ab+c，a+bm+cab+c，a+bmab，故D选项不正确，故选：D【

9、点评】本题考查了二次函数的图像，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的最值，熟练掌握二次函数图像与各系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，理解最值的意义是解题的关键8（2021广东广州市九年级一模）如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点、点下列结论：；正确的有（ ）A4个B3个C2个D1个B把A、B两个点的坐标分别代入中，求得b=-2a及c=-3a，由图象知a0，从而可分别对前3个结论作出判断；根据抛物线在顶点处取得最大值，从而可对最后一个结论作出判断抛物线分别过点A、B 解得： 由图象知：a0，c0abc0，故均正确，且a2或0 x1时，该函数y随x增大而增大，故正确；，由函数图象可

10、知当时，即，无法判断的值，故错误综上可知正确，共2个故选D【点评】本题考查二次函数的图象和性质利用数形结合的思想是解答本题的关键12（2021东莞市东莞中学初中部九年级一模）二次函数yax2bxc（a0）的部分图象如图，图象过点（1，0），对称轴为直线x2，下列结论：4ab0；abc0；当y0时，x的取值范围是x1或x5；5ac0；当x1时，y的值随x值的增大而增大其中正确的结论有（ ）ABCDD根据抛物线的对称轴即可判断；图象经过（1，0）即可判断；由抛物线的对称轴为直线x2，与x轴的一个交点为（1，0），得出抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0），再根据抛物线开口向下得出当函数值y0时，自

11、变量x的取值范围是x1或x5即可判断；根据对称轴得到b2a，且abc0即可判断；由于对称轴为直线x2，根据二次函数的性质得到当1x2时，y的值随x值的增大而增大，当x2时，y随x的增大而减小，即可判断解：抛物线的对称轴为直线x2，b4a，即4ab0，故本结论正确；图象过点（1，0），abc0，故本结论错误；抛物线与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为直线x2，抛物线与x轴的另一个交点为（5，0），抛物线开口向下，当y0时，x的取值范围是x1或x5，故本结论正确；对称轴为直线x2，b4a，abc0，5ac0，故本结论正确；对称轴为直线x2，当1x2时，y的值随x值的增大而增大，当x2时，y随x的

12、增大而减小，故本结论错误故选：D【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由决定，=b2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点；=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；=b2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点13（2021广东广州市九年级一模）如图

13、，抛物线yax22ax3a（a0）与x轴交于点A，B与y轴交于点C连接AC、BC已知ABC的面积为3将抛物线向左平移h（h0）个单位，记平移后抛物线中y随着x的增大而增大的部分为H当直线BC与H没有公共点时，h的取值范围是（ ）AhB0hCh2D0h2C先根据抛物线的解析式可得点的坐标，从而可得长，再利用三角形的面积公式可得的长，从而可得点的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式和一次函数的解析式，然后根据二次函数图象的平移规律、增减性求解即可得解：对于抛物线，当时，解得或，则，的面积为3，即，解得，将点代入抛物线解析式得：，解得，则抛物线的解析式为，将抛物线向左平移个单位所得抛物线为，当时

14、，随的增大而增大，设直线的函数解析式，将点代入得：，解得，则直线的函数解析式，当直线与没有公共点时，则只需时，直线的函数值大于抛物线的函数值，即，解得，故选：C【点评】本题考查了二次函数与一次函数的综合等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键14（2021广东广州市九年级一模）如图，抛物线与轴交于，两点，将抛物线向上平移个单位长度后，点，在新抛物线上的对应点分别为点，若图中阴影部分的面积为8，则平移后新抛物线的解析式为（）ABCDC利用二次函数图象上点的坐标特征求出抛物线与轴交点的横坐标，由阴影部分的面积等于矩形的面积可求出的长度，再利用平移的性质“左加右减，上加下减”，即可求出平移后

15、新抛物线的解析式解：当时，有，解得：，.，平移后新抛物线的解析式为.故选：C【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、矩形的面积以及二次函数图形与几何变换，观察图形，找出阴影部分的面积等于矩形ABCD的面积是解题的关键15（2021广东雷州市教育局九年级一模）已知，抛物线的部分图象如图所示，则下列说法：对称轴是直线；当时，；方程无实数根正确的说法有（ ）ABCDA根据抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，与y轴的交点以及二次函数与一元二次方程的关系逐项进行判断即可解：由抛物线在坐标系中的位置可知，图象过（-1，0），（0，-3），对称轴为x=1，因此正确；由抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交

16、点为（3，0），当-1x3时，y0，因此正确；对称轴，2a+b=0，抛物线过（0，-3），（-1，0），c=-3，a-b+c=0，a=1，b=-2，c=-3，抛物线的关系式为y=x2-2x-3=(x-1)2-4，顶点坐标为（1，-4），a+b+c=-4，因此正确；由a=10，顶点坐标为（1，-4），所以当y=-5时，一元二次方程ax2+bx+c=-5无实根，即一元二次方程ax2+bx+c+5=0无实根，因此正确；综上所述，正确的结论有，故选：A【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，与y轴的交点以及二次函数与一元二次方程的关系是正确判断的前提二、填空题16

17、（2021广州市第十六中学九年级二模）抛物线交轴于点、下列结论：；当时，无论取何值都有；若时，抛物线交轴于点，且是等腰三角形，或；抛物线交轴于正半轴，抛物线上的两点、且，则；则其中正确的是_根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与轴交于点、，可知二次函数的对称轴为直线，即，可得与的关系，可判断；根据对称轴公式，将点代入可得、的关系，即可判断；函数开口向下，时取得最大值，可判断；由图象知时，当时，两种情况利用勾股定理即可求得的值，可以判断；根据抛物线图象上点的坐标特征即可判断解：二次函数与轴交于点、二次函数的对称轴为，即，故正确；二次函数与轴交于点、，又，故错误；，抛物线开口向下时，二次函数有最

18、大值即故正确；由图象可得，当时，则，解得，当时，则，解得故是等腰三角形时，或，故错误；抛物线交轴于点、，交y轴于正半轴，开口向下，点E在点F左侧，EF中点横坐标为，则EF中点在对称轴右侧，点，比，更接近对称轴，故正确；故答案为【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，关键是找出图象中和题目中的有关信息，来判断问题中结论是否正确17（2021广东肇庆市九年级二模）如图为二次函数的图象，则下列说法：；当时，其中正确的是_（填写序号）由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由x=1时的函数值判断a+b+c0，然后根据对称轴推出2a+b与0的关系，根据图象判断-1x3时，y的符号解：图象开口向下，能得到a

19、0，错误；对称轴在y轴右侧，x=1，则有-=1，即2a+b=0，正确；当x=1时，y0，则a+b+c0，正确；由图可知，当-1x3时，y0，正确故【点评】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用18（2021广东韶关市九年级一模）如图为二次函数的图象，则下列说法：；，其中正确的为_（填序号）根据图象的开口方向可判断a的符号，由抛物线与x轴的交点坐标可得对称轴为直线x=1，从而可判断b与2a的关系，当x=1时，根据图象可判断此时函数值a+b+c的符号，根据图象与x轴的交点可判断的符号，从而可对结果作出判断观察图

20、象知，抛物线的开口向下，所以a0时，随的增大而增大，这个函数的表达式可以是_（只要写出一个符合题意的答案即可）根据一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质写出一个满足条件的函数即可.某个函数具有性质：当0时，随的增大而增大，这个函数的表达式可以是，故答案为(答案不唯一).【点评】本题考查了函数的性质，熟练掌握一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质是解本题的关键.23（2021东莞市东莞中学初中部九年级一模）把抛物线向左平移2个单位，则平移后所得抛物线的解析式为_或；根据题意直接根据“左加右减”的原则进行解答即可由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2向左平移2个单位，所得抛

21、物线的解析式为：y=（x+2）2或，故答案为或【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键三、解答题24（2021广东东莞市九年级一模）如图在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点、交反比例函数的图像于点，点在反比例函数的图像上，横坐标为，轴交直线于点，是轴上任意一点，连接、（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求面积的最大值（1）；（2）（1）利用点、求解一次函数的解析式，再求的坐标，再求反比例函数解析式；（2）设 则再表示的长度，列出三角形面积与的函数关系式，利用函数的性质可得答案解：（1）设直线AB为把点、代入解析式得： 解得： 直线为 把代

22、入得： 把代入： ， （2）设 轴，则 由， 即当时， 【点评】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，以及利用二次函数的性质求解面积的最值，掌握以上知识是解题的关键25（2021广东九年级一模）如图,二次函数经过点和点,与轴交于点 求抛物线的解析式; 为轴右侧抛物线上一点,是否存在点,使若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由(1) ；(2) 存在，D（1，3）或（2，3）或（5，-3）（1）利用待定系数法将点A和点B的坐标代入，求出a和b的值即可；（2）求出ABC的面积，根据求出ABD的面积，得出ABD中AB边上的高，从而分点D在x轴上方和x轴下方分别求出点D的

23、坐标.解：（1）把点和点代入中,得，解得：，抛物线的解析式为；（2）存在，理由是：A（-1，0），B（4，0），C（0，2），在ABD中，AB=5，AB边上的高，即点D到x轴的距离为3，抛物线表达式为，若点D的纵坐标为3，令y=3，解得x=1或2，点D的坐标为（1，3）或（2，3）；若点D的纵坐标为-3，令y=-3，解得x=5或-2（舍），点D的坐标为（5，-3）.综上：存在，使得.【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数上点的坐标，解题的关键是注意分类讨论思想的运用.26（2021广东深圳市九年级二模）如图1，已知抛物线的顶点坐标为（1，）与y轴交于A（0，3），交直线：x2

24、于点B，点C（0，2）在y轴上，连接BC并延长，交抛物线于点D（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，E为直线上位于点B下方一动点，连接DE、BD、AD，若，求点E的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，P为射线EB上一点，作PQ直线DE于点Q，若APQ为直角三角形，请求出P点的坐标；（1）；（2）E(-2,-1)；（3）（-2，1）或（-2，9）（1）由于已知抛物线的顶点坐标，故可设抛物线解析式为顶点式：，代入A点坐标可得，从而可得答案；（2）数学典型题型“面积问题”，解题突破口：紧盯面积方法；先求解的坐标，再求解的解析式及的坐标，设 再利用面积关系列方程，解方程可得答案；（3）二次函数典型题

25、型“二次函数与特殊三角形分类讨论题型”，注意分类讨论；当APQ=90时，即PQAP，由PQDE可得AP/DE，可以采用代数方法“两平行线K相等”的方法求解P坐标；当PAQ=90时，由直线DE的解析式为y=x+1可知PED=45，PQE是等腰直角三角形，如图构造“一线三垂直模型”，则NPQMEQ，且NPQ、MEQ均为等腰直角三角形，四边形PEMN是矩形，由Q在直线DE上，设Q(a，a+1)，则EM=QM=NQ=PN=a+2，则PE=MN=2a+4，则PB=2a；在RtPBA中可得，在RtPNQ中可得，由两点的距离公式可得，在RtPAQ中由可得，从而可得答案解：（1） 抛物线的顶点坐标为 设抛物线

26、解析式为顶点式：，代入A点坐标： 则抛物线解析式为.（2）如图1，当时，y=， 令 AB/y轴，设直线BC的解析式为： 而 ，解得： ，所以直线BC的解析式为：y=，则联立方程，解得或 (舍去)，则D点坐标为，设，则 ，解得，（3）PQDE，由PQ与AQ不会垂直，当APQ为直角三角形时，存在以下两种情形：当APQ=90时，即PQAP，如图， PQDE， AP/DE， 同理可得：直线DE的解析式为：y=x+1， 设直线AP的解析式为y=x+b，代入A点坐标得b=3，则直线AP的解析式为y=x+3，当时y=1，；当PAQ=90时，如图，过作轴的平行线，分别过作轴的平行线，分别交过与轴的平行线于则

27、则四边形PEMN是矩形， 直线DE的解析式为y=x+1，设 PQE是等腰直角三角形， 同理可得：PNQ是等腰直角三角形， NPQMEQ，而Q在直线DE上，设则EM=QM=NQ=PN=a+2，则PE=MN=2a+4， PB=2a；在RtPBA中可得，在RtPNQ中可得, ，在RtPAQ中由 ，解得a=3或a=0(舍去)， 则；综上所述，当APQ为直角三角形时，P点坐标为（-2，1）或（-2，9）.【点评】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，二次函数的解析式，坐标与图形面积，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，作出适当的辅助线，分类讨论思想的掌握是解题的关键27（2021广东韶

28、关市九年级一模）已知抛物线经过点，与轴交于点求这条抛物线的解析式；如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，求点的坐标；如图2，线段的垂直平分线交轴于点，垂足为为抛物线的顶点，在直线上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由(1) ;（2）点的坐标为；（3）（1） 用待定系数法即可得到答案;（2）连接，设点，由题意得到即可得到答案.（3）用待定系数法求解析式，再结合勾股定理即可得到答案.解：抛物线经过点，解得抛物线解析式为；如图1，连接，设点，其中，四边形的面积为，由题意得，开口向下，有最大值，当时，四边形的面积最大，此时，即因此当四边形的

29、面积最大时，点的坐标为，顶点如图2，连接交直线于点，此时，的周长最小设直线的解析式为，且过点，直线的解析式为在中，为的中点，由图可知设直线的函数解析式为，解得：直线的解析式为解得：【点评】本题考查一次函数和勾股定理，解题的关键是掌握用待定系数法求一次函数解析式.28（2021广东九年级一模）如图，抛物线y=x2 +bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足SPAB=8，并求出此时P点的坐标（1）y=x22x3；（2）抛物线的对称轴x=1，顶点坐标

30、（1，4）；（3）（，4）或（，4）或（1，4）（1）由于抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，那么可以得到方程x2+bx+c=0的两根为x=1或x=3，然后利用根与系数即可确定b、c的值（2）根据SPAB=8，求得P的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得P点的坐标解：（1）抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，方程x2+bx+c=0的两根为x=1或x=3，1+3=b，13=c，b=2，c=3，二次函数解析式是y=x22x3（2）y=x22x3=（x1）24，抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，4）（3）设P的纵坐标为|yP|，SPAB=8，AB|yP|=8，AB=3+1=4，|yP|=4，yP=4，把yP=4代入解析式得，4=x22x3，解得，x=12，把yP=4代入解析式得，4=x22x3，解得，x=1，点P在该抛物线上滑动到（1+2，4）或（12，4）或（1，4）时，满足SPAB=