正方形与全等模型(含答案)

1、正方形与全等模型1.(垂直相等) 如图，在正方形 ABCD中.(1)若点E、F分别在AB、AD上，且AE=DF .试判断DE与CF的数量及位置关系，并说明理由；(2)若P、Q、M、N是正方形 ABCD各边上的点，PQ与MN相交，且 PQ=MN ,问PQXMN成立吗？为什么?5C B Q C.(三垂)如图，直线 MN不与正方形的边相交且经过正方形ABCD的顶点D, AM MN于M, CNXMN于N,BRXMN 于 R.(1)求证：ADMDCN:(2)求证：MN=AM+CN ;(3)试猜想BR与MN的数量关系，并证明你的猜想.(三垂)如图，在平的直角坐标系中， 直线y=-2x+2与x轴、y轴分别相

2、交于点 A、B,四边形ABCD是正方形, 曲线y=上在第一象限经过点 D.求双曲线表示的函数解析式.A, B, C三点，且11 / 12/ 13,若11与12的距.(三垂)如图，四边形 ABCD是正方形，直线11, 12, 13分别通过离为5, 12与13的距离为7,则正方形ABCD的面积等于()C. 144B. 74A. 70D. 148.(三垂)如图在平面直角坐标系中正方形OABC的边OC, OA分别在x轴正半轴上和y轴的负半轴上，点 B在双曲线y= - ,直线y=kx - k (k0)交y轴与F.(1)求点B、E的坐标；(2)连接BE, CF交于M点，是否存在实数 k,使得BEXCF?若

3、存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；F在线段OA上，连BF,作OM，BF于M , AN，BF于N,当F在线段 OA上运动时(不与 O、A重合)的值是否变化.若变化，求出变化的范围；若不变，求其值.O小vEC.(对角互补) 已知：如图，正方形 ABCD中，对角线 AC和BD相交于点O. E、F分别是边AB、BC上的点,若 AE=4cm , CF=3cm,且 OEOF,则 EF 的长为 cm.(对角互补) 在图1到图3中，点O是正方形ABCD对角线AC的中点，4MPN为直角三角形，/ MPN=90 .正 方形ABCD保持不动，4MPN沿射线AC向右平移，平移过程中 P点始终在射线 AC上，且保

4、持PM垂直于直线 AB于点巳PN垂直于直线 BC于点F.(1)如图1,当点P与点。重合时，OE与OF的数量关系为 ;(2)如图2,当P在线段OC上时，猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明；(3)如图3,当点P在AC的延长线上时，OE与OF的数量关系为 ;位置关系为 .(对角互补)如图，正方形 ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B,直角顶点P在射线AC上移动，另一边交 DC于Q.(1)如图1,当点Q在DC边上时，猜想并写出 PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；(2)如图2,当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出 PB与PQ满足的数量关

5、系，请证明你的猜想.（对角互补） 如图，正方形 ABCD，点P是对角线 AC上一点，连接 BP,过P作PQXBP, PQ交CD于Q,连 接BQ交AC于G,若AP=版,Q为CD中点，则下列结论：/PBC=/PQD;BP=PQ;/BPC=/BQC; 正方形 ABCD的面积是16;其中正确结论的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1.（对角互补） 如图1,直角/EPF的顶点和正方形 ABCD的顶点C重合，两直角边 PE, PF分别和AB , AD所 在的直线交于点 E和F.易得PBE/PDF,故结论 PE=PF”成立；（1）如图2,若点P在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结

6、论是否仍然成立？说明理由；（2）如图（3）将（2）中正方形 ABCD改为矩形ABCD其他条件不变，若 AB=m , BC=n ,直接写出骂的值.PF11.（对角互补）如图，边长一定的正方形ABCD , Q为CD上一个动点，AQ交BD于点 M ,过M作MN XAQ交BC于点N,作NPXBD于点P,连接NQ,下列结论: AM=MN ; MP=-1bD ; BN+DQ=NQ ;2为定值.其中一定成立的是（）A .B .（等角共顶点）（1）如图，4ABC中，AB=AC , / BAC=90 ,点D为BC边上一点（与点 B、C不重合）， 连接AD ,以AD为一边且在 AD的右侧作正方形 ADEF .可猜

7、想线段 CF, BD之间的数量关系是 位置关系是;（2）当点D在线段BC的延长线时，如图 ，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，给出证明，如果不成立, 说明理由.(等角共顶点) 已知点。为正方形ABCD的中心，M为射线OD上一动点(M与点O, D不重合)，以线段AM 为一边作正方形 AMEF ,连接FD.(1)当点M在线段OD上时(如图1),线段BM与DF有怎样的数量及位置关系？请判断并直接写出结果；(2)当点M在线段OD的延长线上时(如图 2), (1)中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由.(等角共顶点)以4ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形.他们分别是正方形 ABDI ,

8、BCFE , ACHG ,试探究：(1)如图中四边形 ADEG是什么四边形？并说明理由.(2)当4ABC满足什么条件时，四边形 ADEG是矩形？(3)当4ABC满足什么条件时，四边形 ADEG是正方形？.(等角共顶点)在直角三角形 ABC中，/ C=90, BC=2 ,以AB为边作正方形 ABDE ,连接AD、BE交O,CO=%2 , 则AC的长为()A. 2B. 3C. 4D, 3216.(等角共顶点) 如图，已知正方形 ABCD(1)连接 GD,求证：ADGABE;(2)连接 FC,求证：/FCN=45;(3)请问在AB边上是否存在一点由.占八、Q,使得四边形E是BC上一点，以 AE为边作

9、正方形 AEFG .DQEF是平行四边形？若存在，请证明；若不存在，请说明理17.（等角共顶点）如图1, 2,四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A, B重合），另一条直角边与 / CBM的平分线BF相交于点F. （1）如图1,当点E在AB边的中点，N为AD边的中点位置时：通过测量DE, EF的长度，猜想 DE与EF满足的数量关系是 ;请证明你的上述猜想.（2）如图2,当点E在AB边上的任意位置时，猜想此时 DE与EF有怎样的数量关系，并证明你的结论.A E 3 M4 E 3 n .（对角互补分半） 已知，四边形

10、ABCD是正方形，/MAN=45 ,它的两边 AM、AN分别交CB、DC与点M、 N,连接MN ,作AH LMN ,垂足为点H（1）如图1,猜想AH与AB有什么数量关系？并证明；（2）如图 2,已知 Z BAC=45 , AD，BC 于点 D,且 BD=2 , CD=3 ,求 AD 的长；小萍同学通过观察图 发现，4ABM和4AHM关于AM对称，4AHN和4ADN关于AN对称，于是她巧妙运用 这个发现，将图形如图 进行翻折变换，解答了此题.你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？.（对角互补分半）（1）如图，在正方形 ABCD中，4AEF的顶点E, F分别在BC, CD边上，高AG与正方 形的边

11、长相等，求 ZEAF的度数.（2）如图 ，在RtAABD中，/ BAD=90 , AB=AD，点M , N是BD边上的任意两点， 且/ MAN=45 ,将4ABM 绕点A逆时针旋转90至4ADH位置，连接NH,试判断MN , ND, DH之间的数量关系，并说明理由.（3）在图中，连接BD分别交AE, AF于点M , N ,若EG=4 , GF=6 , BM=3 JL 求AG , MN的长.（图）俚）B.（对角互补分半） 如图，将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠，使点B落在边AD的中点G处，那么 四边形BCFE的面积等于 ;若GH与CD交点为I,那么 GBI= .（等角共顶点拓展） 如图

12、，四边形ABCD是正方形，以CG为一边在正方形 ABCD外作正方形 CEFG ,连接BG , DE.猜想图中线段 BG、DE的数量和位置关系，并说明理由.22.（等角共顶点拓展）如图，正方形ABDE和ACFG是以4ABC的AB、AC为边的正方形，P、Q为它们的中心,M是BC的中点，试判断 MP、MQ在数量和位置是有什么关系？并证明你的结论.如图所示，四边形 ABCD为正方形，4BEF为等腰直角三角形（/ BFE=90 ,点B、E、F按逆时针顺序），P 为DE的中点，连接PC、PF.（1）如图（1）, E点在边BC上，则线段PC、PF的数量关系为 ,位置关系为 （不需 要证明）.（2）如图（2）

13、,将4BEF绕B点顺时针旋转 ，（0V aBC）,取线段AE的中点M .（1）探究线段MD、MF的位置及数量关系，直接写出答案即可；（2）将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45 （如图乙），令CG=2BC其他条件不变，结论是否发生变化，并加以证明；（2）将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图丙），其他条件不变.探究：线段 MD, MF的位置及数量关系， 并加以证明.【巩固练习】.已知点E是正方形 ABCD外的一点，EA=ED ,线段BE与对角线 AC相交于点F,(1)如图1,当BF=EF时，线段AF与DE之间有怎样的数量关系？并证明；(2)如图2,当4EAD为等边三角形时，写出线段 AF、B

14、F、EF之间的一个数量关系，并证明.B26.如图1, (1)如图1 (2)如图2 (3)如图3四边形ABCD为正方形，E在CD上，/ DAE的平分线交 CD于F, BGXAF于G,交AE于H./ DEA=60 ,求证：AH=DF ;E是线段CD上(不与C、D重合)任一点，请问： AH与DF有何数量关系并证明你的结论；E是线段DC延长线上一点，若 F是4ADE中与/ DAE相邻的外角平分线与 CD的交点，其它条件不变，请判断AH与DF的数量关系(画图，直接写出结论，不需证明).在直角坐标系中，直线 y=2x+4交x轴于A,交y轴于D(1)以A为直角顶点作等腰直角 4AMD ,直接写出点 M的坐标

15、为 (2)以AD为边作正方形 ABCD，连BD, P是线段BD上(不与B、D重合)的一点，在 BD上截取PG=J! 过G作GFXBD ,交BC于F,连AP则AP与PF有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的结论；(3)在(2)中的正方形中，若 / PAG=45,试判断线段PD、PG、BG之间有何关系，并证明你的结论.如图，一个直角三角形的直角顶点 P在正方形ABCD的对角线AC所在的直线上滑动，并使得一条直角边始终 经过B点.(1)如图1,当直角三角形的另一条直角边和边CD交于Q点，理=;FQ(2)如图2,当另一条直角边和边 CD的延长线相交于 Q点时，上&二;PC (3)如图3或图4,当直角顶

16、点P运动到AC或CA的延长线上时，请你在图 3或图4中任选一种情形，求 上身的FQ值，并说明理由.已知，如图在正方形 OADC中，点C的坐标为(0, 4),点A的坐标为(4, 0), CD的延长线交双曲线 y*于点B.(1)求直线AB的解析式；(2) G为x轴的负半轴上一点连接 CG,过G作GEXCG交直线AB于E.求证 CG=GE ;(3)在(2)的条件下，延长 DA交CE的延长线于F,当G在x的负半轴上运动的过程中，请问 生理的值是否 DF为定值，若是，请求出其值；若不是，请说明你的理由.30.如图，四边形 ABCD位于平面直角坐标系的第一象限，B、C在x轴上，A点函数尸Z上，且AB/CD

17、/y轴,AD / x 轴，B (1, 0)、 C (3, 0).(1)试判断四边形ABCD的形状；(2)若点P是线段BD上一点PELBC于E, M是PD的中点，连 EM、AM .求证：AM=EM ;(3)在图(2)中，连接AE交BD于N,则下列两个结论:小 EN+DM/古丁士M不变；旭，1回1又22814的值不变.其中有且仅有一个是正确的，请选择正确的结论证明并求其值.参考答案与试题解析一.选择题(共16小题)1.如图，在正方形 ABCD中.(1)若点E、F分别在AB、AD上，且AE=DF .试判断DE与CF的数量及位置关系，并说明理由；(2)若P、Q、M、N是正方形 ABCD各边上的点，PQ

18、与MN相交，且 PQ=MN ,问PQXMN成立吗？为什么?CB 0 C考点：正方形的性质.专题：探究型.分析：(1)由已知易得 DAE ACDF,故有 DE=CF .(2)由点N, Q 分别向AB , AD 作垂线，构造两 直角三角形全 等，由角的等量 代换，易得 QPXMN .解答：解：(1)在正方形ABCD中，AD=DC , AE=DF , / EAD= / FDC所以 EAD AFD C,故 DE=CF ,/ EDA= / FCD, 又 / DCF+ / DF C=90, / ADE+ / DFC=90,/ DGF=90 即 DEXCF.(2)由点N, Q 分别向AB , AD 作垂线，

19、.PQ=MNRN=SQ, .MNRAQPS (HL),/ PQS=Z MNR,又Z1+Z PQS=90所以Z1+Z MNR=9 0,即 MN PQ.点评:$ 殳 CDBC解答本题要充 分利用正方形 的特殊性质.注 意在正方形中 的特殊三角形 的应用，搞清楚 矩形、菱形、正 方形中的三角 形的三边关系， 可有助于提高 解题速度和准 确率.BRXMN2.如图，直线MN不与正方形的边相交且经过正方形ABCD的顶点D, AM LMN于M, CN，MN于N,于R.(1)求证：ADMDCN:(2)求证：MN=AM+CN ;(3)试猜想BR与MN的数量关系，并证明你的猜想.考点：止方形的性质； 全等三角形的

20、 判定与性质.专题：证明题；探究 型.分析：此题分三问进 行，三问都与三 角形全等直接 相关，所以要紧 扣三角形全等 的判定方法进 行思考.(1)要证 ADM ADC N,由于它们都 是直角三角形， 所以首先有直 角相等，又由 ABCD是止方 形有AD=DC , 再找一个条件 即可，而由图形 很容易分析得 出ZADM= / DCN；(2)的关键是 合理添加辅助 线，通过等量代 换等到结论；(3)首先结合 前四的结论再 结合图形合理 猜想，然后再结 合前四的结论 认真推理，细致 证明即可.解答：(1)证明：. AM，MN 于 点 M , CNXMN 于点N （已知），Z AMD= ZD NC=9

21、0。（垂直的 定义）. / MAD+ / M DA=180 - 90=90（三角形 内角和定理）.四边形 ABCD是正方 形（已知），/ ADC=90 , AD=DC . / MDA+ / N DC=180-90 =90 （平角的 定义）. / MAD+ / M DA= / NDC+ / NCD ./ MAD= / N DC.在4AMB和 DNC 中， ./AMD= ZD NC,/ MAD= / ND C, AD=DC , .AMD DNC （AAS ）.（2）证明：由 （1） AMD ADN C, .AM=DN , MD=NC .（全等 三角形对应边 相等） .MD+DN=AM +CN.即M

22、N=AM+CN .(3)猜想BR=MN .证明如下：作AE，BR于E. BRXMN , CNXMN （已 知）.BR / CN （垂 直于同一直线 的两条直线平 行）/ 1 = 7 2 （两 直线平行同位 角相等）又四边形ABCD是正方 形AB XBC, DC BC ,/ ABE= ZD CN=90 - Z 1, 在 ABE和 DCN 中， AB=DC ,ZABE= / DCNZAEB= / DNC =90 .ABEADCN （AAS）由（1） ADM ADCN.ABEAADM.AM=AE （全 等三角形对应 边相等）.又 AE / MR ,AM / ER, .BR=BE+ER=CN+AM=D

23、M+DN=MN .点评：此题三问紧密相连，第一问正确解出后，后两 问就顺理成章 求出来了.3.如图，在平的直角坐标系中，直线 y=-2x+2与x轴、y轴分别相交于点 A、B,四边形ABCD是正方形，曲线 y二上在第一象限经过点 D.求双曲线表示的函数解析式.考点：反比例函数综合题.专题：探究型.分析：过点D作DEx轴于点E,先由直线y=-2x+2 与 x轴，y轴相交于点A、B求出OB及OA的长，再由全等三角形的判定定理得出 AOB ADEA,故可得出D点坐标，再由待定系数法即可求出反比例函数的解析式.解答：解：过点D作DEx轴于点E,直线y=-2x+2 与 x 轴,y 轴相交于点A、B,当 x

24、=0 时， y=2,即 OB=2; 当 y=0 时，x=1 , 即 OA=1 , 四边形 ABCD是正方 形，/ BAD=90 , AB=AD . / BAO+ / DAE=90 ; / ADE+ / DAE=90 , / BAO= / ADE, / AOB= / D EA=90 ,.AOBADEA,DE=AO=1 , AE=BO=2 , .OE=3, DE=1 . ，点D的坐标 为（3, 1）把（3, 1）代入y=中，得 k=3, 故反比例函数 的解析式为：点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到一 次函数的性质、 正方形的性质及全等三角形 的判定与性质， 根据题意作出 辅助线，构造出 全

25、等三角形是 解答此题的关 键.4.如图，四边形 ABCD是正方形，直线11, 12, 13分别通过A, B, C三点，且11/ 12/ 13,若11与12的距离为5,12与13的距离为7,则正方形ABCD的面积等于（D. 148考点：勾股定理；全等 三角形的判定 与性质；止方形 的性质.分析：画出L1到L2,L2到L3的距离， 分别交L2, L3 于巳F,通过 证明 ABE ABCF,得出 BF=AE , 再由勾股定理 即可得出结论.解答：解：过点A作AEX11,过点 C 作 CFX12, / CBF+ / BC F=90, 四边形ABCD 是止方形，.AB=BC=CD=AD ,/ DAB=

26、/ A BC= / BCD= / CDA=90 , / ABE+ ZC BF=90,.Il / 12/ 13,/ ABE= ZBCF, 在 ABE和 BCF 中， NAEE = NBFCZABE=ZBCFAB 二 BC.ABEABCF (AAS)(画 出 Li 至I L2, L2 到L3的距离, 分别交L2, L3 于巳F)BF=AE , .bf2+cf2=bc 2,-.BC2=52+72=74.故面积为74. 故选B.点评:本题主要考查 了正方形的性 质，全等三角形 的判定与性质 以及正方形面 积的求解方法， 能够熟练掌握.5.如图在平面直角坐标系中正方形OABC的边OC, OA分别在x轴正

27、半轴上和y轴的负半轴上，点 B在双曲线同y二-二上，直线 y=kx - k (k0)交 y 轴与 F.(1)求点B、E的坐标；(2)连接BE, CF交于M点，是否存在实数 k,使得BEXCF?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；(3) F在线段OA上，连BF,作OM，BF于M , AN，BF于N,当F在线段 OA上运动时(不与 O、A重合)的值是否变化.若变化，求出变化的范围；若不变，求其值.考点：专题： 分析：反比例函数综 合题.开放型.(1)把正方形 的面积用B点 坐标表示求解；(2)用分析法 求解.根据直线 解析式的特点， 求k只需求满足 条件时OF的 长；得结论为1,所 以不变化

28、.解答:解：(1)根据题 意，设B (x,-x),4B 在 y=的X图象上，x2=4, x=及，根据图形得B (2, 2),. E在X轴上，1. kx k=0 ,x=1 ,即 E 11, 0)；(2)假设存在 k,使 BEXCF, / OCF=/ CB E/COF=/BC E, OC=CB .-.OCFAC BE .OF=CE=11. k=1 ;(3)0M+AN.1F1证明：由已知条件易证: OMFABNA, ANF sbnA,Og OF而下AN_AF 而F此题运用了分 析法解题探究， 综合性很强，检 验学生自主创 新能力.考点：点评:6. （2008?安顺）已知：如图，正方形 ABCD中，对

29、角线 AC和BD相交于点 O. E、F分别是边 AB、BC上的点,若 AE=4cm , CF=3cm,且 OEOF,则 EF 的长为正方形的性质;全等三角形的 判定与性质；勾 股定理.专题：计算题.分析：连接EF,作OM AB于点M ,根据条件可 以证明 OEDAOFC,则 OE=OF , CF=DE=3Ccm , 贝U AE=DF=4 , 根据勾股定理 得到EF=VcE2 + CF2=Vs2+42=5cm .解答：解：连接EF,作OM XAB于 点M ,. OD=OC , .OEXOF / EOD+ / FOD=90 .正方形ABCD / COF+/ D OF=90/ EOD= / FOC

30、而 / ODE= / OCF =45.,.OFCAOED,.OE=OF ,CF=DE=3cm , 贝U AE=DF=4 , 根据勾股定理 得到EF=VcF2+AE2=5c m.故答案为5.Z 尸C点评：根据已知条件以及正方形的性质求证出两个全等三角形 是解决本题的 关键.7.在图1到图3中，点O是正方形 ABCD对角线AC的中点，4MPN为直角三角形， / MPN二90; 正方形ABCD 保持不动，4MPN沿射线AC向右平移，平移过程中 P点始终在射线 AC上，且保持PM垂直于直线 AB于点E, PN垂直于直线BC于点F.(1)如图1,当点P与点。重合时，OE与OF的数量关系为OE=OF ;(

31、2)如图2,当P在线段OC上时，猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明；(3)如图3,当点P在AC的延长线上时，OE与OF的数量关系为 OE=OF ;位置关系为OELOF .考点：正方形的判定与性质；全等三 角形的判定与 性质；矩形的判 定与性质；平移 的性质.分析：(1)根据利用正方形的性质 和直角三角形 的性质即可判定四边形BEOF 为正方形，从而 得到结论；(2)当移动到 点P的位置时， 可以通过证明 四边形BEPF为 矩形来得到两 条线段的数量 关系；(3)继续变化， 有相同的关系， 其证明方法也 类似.解答：（1）解：OE=OF（相等）；（1分）（2）解：

32、OE=OF, 0E，0F;（3 分） 证明：连接B0, -在正方形ABCD中，0为 AC中点，BO=CO , BOX AC , ZBCA= ZABO =45, （4 分） .PFXBC, Z BCO=45 ,Z FPC=45, PF=FC.正方形 ABCD ,ZABC=90 , .PFXBC, PEXAB ,Z PEB=ZPF B=90.二四边形PEBF 是矩形，.BE=PF . （5 分）.BE=FC . .,.OBEAO CF, .OE=OF , Z BOE= Z COF ,（7 分） Z COF+ Z B OF=90,Z BOE+ ZBOF=90,Z EOF=90 , OEXOF. （8

33、 分）（3）OE=OF （相 等），OELOF（垂直）.（10分）点评:本题考查了正 方形的性质，解 题的关键是抓 住动点问题，化 动为静，还要大 胆的猜想.8.如图，正方形 ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B,直角顶点P在射线AC上移动，另一边交 DC于Q.（1）如图1,当点Q在DC边上时，猜想并写出 PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；（2）如图2,当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想.考点：正方形的判定与性质；全等三 角形的判定与 性质.分析：（1）过P作PEXBC, PFXCD,证明 RtA PQFRtA PB

34、E,即可； （2）证明思路同（1）解答：（1） PB=PQ,证明：过P作 PEXBC, PFXCD,. P, C为正方 形对角线AC上 的点， PC平分 /DCB , /DCB=90 , .PF=PE, 四边形PECF 为正方形， / BPE+/ QP E=90, ZQPE+Z QPF= 90,/ BPE=/ QPF, RtA PQFRt PBE, .PB=PQ ;(2) PB=PQ, 证明：过P作PEXBC, PFXCD, .P, C为正方 形对角线AC上 的点，PC平分ZDCB ,Z DCB=90 , .PF=PE, 四边形PECF 为正方形， / BPE+Z QP E=90, ZQPE+

35、Z QPF= 90,/ BPE=Z QPF, RtA PQFRt PBE, .PB=PQ .点评:国此题考查了正 方形，角平分线 的性质，以及全 等三角形判定 与性质.此题综合性较强，注意 数形结合思想.9.如图，正方形 ABCD，点P是对角线 AC上一点，连接 BP,过P作PQXBP, PQ交CD于Q,连接BQ交AC 于G,若AP二 Q为CD中点，则下列结论：/PBC=/PQD;BP=PQ;/BPC=/BQC; 正方形 ABCD的面积是16;其中正确结论的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1考点：分析：正方形的性质； 全等三角形的 判定与性质. 根据对角互补 的四边形，则四 边形共圆，

36、根据 圆周角定理得 出/ BPC= / BQC,根据/ PBC= / PQD ，过P作PMXAD 于 M , PEXAB 于 E, PFXDC 于 F, 则E、P、F三点 共线，推出正方 形AEPM ,根据 勾股定理求出AE=PE=PM=A M=DF=1 ,证 BEP APFQ ,推出PE=FQ=1 , BP=PQ,求出解答:DQ、DC,即可. 解：四边形ABCD是正方 形，/ BCQ=90 ,.PQXPB,/ BPQ=90 , / BPQ+/ BC Q=180,B、C、Q、P 四点共圆，/ PBC=/PQ D,/ BPC= / BQC ，正确； 正确；过P作PMXAD 于 M , PEXAB

37、 于 E, PFXDC 于F,则E、P、F三点共线，四边形 ABCD是正方 形，.AB=AD=DC=BC,/ DAC= / BAC ,/ DAB=90 ,/ MAE= / P EA= / PMA=90 , PM=PE, 四边形AMPE是正方 形，.AM=PM=PE =AE,ap=|V2,在 RtAAEP 中，由勾股定理 得：ae2+pe2=（版）2, 解得：AE=AM=PE=P M=1 , .DF=1 , 设AB=BC=CD=A D=a, 则 BE=PF=a -1 , / BEP=/PFQ=/ BPQ=90。, / BPE+/ EBP=90,/ EPB+ / FPQ= 90,/ EBP=/ F

38、P Q, 在 BEP和 PFQ 中 ZEBP=ZFPQ BE=PF ZBEP=ZPFQ.,.BEPAP FQ (ASA), .PE=FQ=1 , BP=PQ, ., 正确；.DQ=1 + 1=2 ,. Q为CD中 与八、5. DC=2DQ=4 , ，正方形 ABCD的面积 是 4X4=16, ，正确； 故选A .点评:本题考查了正 方形的性质和 判定，全等三角 形的性质和判 定，勾股定理， 三角形的内角 和定理等知识 点，主要考查学 生的推理能力， 题目综合性比 较强，有一定的 难度.如图1,直角/ EPF的顶点和正方形 ABCD的顶点C重合，两直角边 PE, PF分别和AB , AD所在的直

39、线交于 点E和F.易得 APBEAPDF,故结论 PE=PF”成立；(1)如图2,若点P在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？说明理由；(2)如图(3)将(2)中正方形 ABCD改为矩形ABCD其他条件不变，若 AB=m , BC=n ,直接写出基的值.考点：正方形的性质；垂线；全等三角 形的判定与性 质.分析：（1）过点P分另I作 AB、AD的 垂线，垂足分别 为G、H ,有材 料提供的证明 思路可证明 PGEAPHF ,再根据全等三 角形的性质：对 应边相等可得： PE=PF;（2）有（1）证 题思路可知方 形ABCD改为 矩形ABCD其 他条件不变，则

40、 PGEAPHF ,再根据相似三 角形的性质：对 应边的比值相 等可得：黑的比PF|值.解答：解：（1）成立.证明如下： 如图，过点P分 另I作 AB、AD的 垂线，垂足分别 为 G、H, 则/ GPH=90 , PG=PH, ZPGE=Z PHF= 90, / EPF=90,/ 1 = Z 2, .,.PGEAPHF, ，PE=PF;(2)PE=n FF-fr点评:本题是一个动 态几何题，考查 了正方形性质、 矩形的性质、全 等三角形的判 定以及性质，三 角形相似的条 件和性质及进 行有条理的思 考和表达能力， 还考查按要求 画图能力.如图，边长一定的正方形 ABCD , Q为CD上一个动点

41、，AQ交BD于点M ,过M作MN XAQ交BC于点N , 作NPXBD于点P,连接NQ,下列结论：AM=MN ;MP=BD ;BN+DQ=NQ ;量侬为定值.其中一2定成立的是（）B N CA.B. C.D.考点：止方形的性质； 全等三角形的 判定与性质；确 定圆的条件.专题： 分析：动点型.由题可知A, B,N,M四点共圆， 进而可得出ZANM= / NAM=45 ,由等角 对等边知，AM=MN，故 正确； 由同角的余角 相等知，/ HAM= / PM N,所以 RtAAHM Rt MPN ,即可得 出结论，故正 确；先由题意得出 四边形SMWB 是正方形，进而 证出 AMS ANM W,因

42、为AS=NW ,所以 AB+BN=SB+B W=2BW ,而 BW: BM=1 : 屹i,所以 AB+BN 2 =一= 蹄q2也故正确. 因为/ BAN+ / QAD =/ NAQ=45 , 在/ NAM作AU=AB=AD , 且使/ BAN= / NAU/ DAQ= / QA U,所以 ABN AUAN, DAQ AUA Q,有/ UAN= / UA Q=90, BN=NU , DQ=UQ ,即可 得出结论，故 正确；解答：解：如图：作AU XNQ 于 U, 连接AN , AC,- Z AMN= ZA BC=90,A, B, N, M 四点共圆，Z NAM= Z D BC=45 , ZANM

43、= ZAB D=45 ;Z ANM= ZN AM=45 , 1由等角对等 边知，AM=MN , 故正确. 由同角的余角 相等知，ZHAM= Z PM N, .RtA AHM 9 RtA MPNMP=AH=1 A2Kbd,故正确， 如图，作MSI AB ,垂足 为S,作MW BC ,垂足 为W,点M是 对角线BD上的 占八、, 四边形SMWB是正方 形,有MS=MW=BS= BW,. .AMSA NMW , .AS=NW , .AB+BN=SB+ BW=2BW , BW ： BM=1 ： VI,AB+BN 2 刖而V2,故正确.Z BAN+ Z Q AD= Z NAQ=45在/NAM 作 AU=

44、AB=AD , 且使/ BAN= / NAU/ DAQ= / QA U,.ABN AU AN , DAQ AUA Q,有/ UAN= / UA Q, BN=NU , DQ=UQ , .点U在NQ 上，有 BN+DQ=QU+U N=NQ ,故正 确.故选D.点评:本题利用了正 方形的性质，四 点共圆的判定， 圆周角定理，等 腰直角三角形 的性质，全等三 角形的判定和 性质求解.12. (1)如图，4ABC中，AB=AC , / BAC=90 ,点D为BC边上一点(与点 B、C不重合)，连接AD ,以AD为一边且在 AD的右侧作正方形 ADEF .可猜想线段 CF, BD之间的数量关系是相等.位置

45、关系是垂直(2)当点D在线段BC的延长线时，如图 ，(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，给出证明，如果不成立, 说明理由.考点：正方形的性质；全等三角形的 判定与性质；等 腰直角三角形.专题：几何综合题.分析：(1)可通过证明三角形ABD 和三角形ACF 全等来实现.因 为 AD=AF ,AB=AC，只要证 明/ BAD= / CAF 即可，/BAD=90 - / DAC= / FAC ,这样就构成了 全等三角形判 定中的SAS, ABD AAC F,因此 BC=CF , ZB= Z ACF ,因 为/ B+ / ACB=90 0,那么/ ACF+ACD=9 0,即 FCXBC, 也就是FC

46、XBD .(2)当点D在 BC的延长线上 时的结论仍 成立.由正方形 ADEF的性质可 推出 DAB AFA C,所以 CF=BD ,解答:点评:ZACF= Z ABD.结合/ BAC=90 , AB=AC ,得至ij / BCF= / ACB + / ACF=90 度.即 CFXBD .解：（1） CF与BD的数量关系 是：CF=BD; 位置关系是：CFXBD ;故答案为：相 等、垂直.（2）当点D在 BC的延长线上 时（1）中的结 论仍成立.（5 分）理由如下： 由正方形ADEF 得 AD=AF ,Z DAF=90 . / BAC=90 , / DAF= / BAC,/ DAB= / FA

47、C, 又 AB=AC ,.DABAFAC, （4 分） .CF=BD ,ZACF= Z ABD（6 分） / BAC=90 , AB=AC ,/ ABC=45 , / ACF=45 , / BCF= Z ACB+ / ACF=90 ,即 CFXBD . 本题中综合考 查了正方形的 性质，全等三角 形的判定等知 识，关键是证明 三角形全等，判 定两个三角形全等，先根据已 知条件或求证 的结论确定三 角形，然后再根 据三角形全等 的判定方法，看 缺什么条件，再 去证什么条件.边作正方13.已知点。为正方形ABCD的中心，M为射线OD上一动点(M与点O, D不重合)，以线段AM为 形AMEF ,连接

48、FD.(1)当点M在线段OD上时(如图1),线段BM与DF有怎样的数量及位置关系？请判断并直接写出结果;(2)当点M在线段OD的延长线上时(如图 2), (1)中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由.考点：专题：分析：正方形的性质； 全等三角形的 判定与性质. 证明题；探究 型.(1)根据正方 形性质求出AF=AM , AD=AB , /FAM= / DAB =90,推出 /FAD= / MAB ,证 FADAMAB,推出 BM=DF , / FDA= / ABD =45,求出 /ADB=45 即 可；(2)根据正方 形性质求出AF=AM , AD=AB , /FAM= / DAB=90,推

49、出 /FAD= / MAB ,证 FADAMAB,推出 BM=DF , / FDA= / ABD =45,求出Z ADB=45 即 可.解答：解：(1)BM=DF , BM DF 理由是：二四边 形 ABCD、AMEF是正方 形，.AF=AM , AD=AB , /FAM= / DAB =90, / FAM - / DAM= / DA B - / DAM , 即/FAD= / MAB/FAD 和 MAB 中/HAD 二 AD=AB.FADAM AB , .BM=DF , / FDA= / ABD =45, / ADB=45 , / FDB=45 +45 =90,.-.BM DF, 即 BM=D

50、F ,BM DF .(2)解：成立， 理由是：二四边 形ABCD和 AMEF均为正方形， ，AB=AD , AM=AF , /BAD= / MAF =90, / FAM+ / D AM= / DAB+ / DAM , 即/FAD= / MAB/FAD 和 MAB 中rAF=Alfl/FAD 叱MABAD 二 AB.FADAMAB , .BM=DF , ZABM= Z ADF由正方形ABCD 知， ZABM= / AD B=45 ,/ BDF= / A DB+ / ADF=90 即 BM DF, ，(1)中的结 论仍成立.点评：本题考查了正方形的性质和 全等三角形的 性质和判定的应用，关键是求

51、出 FADAMAB,本题具有一 定的代表性，主 要培养学生运 用性质进行推 理的能力和猜 想能力.14.以4ABC的各边，在边 BC的同侧分别作三个正方形.他们分别是正方形ABDI , BCFE , ACHG ,试探究:(1)如图中四边形 ADEG是什么四边形？并说明理由.(2)当4ABC满足什么条件时，四边形 ADEG是矩形？(3)当4ABC满足什么条件时，四边形 ADEG是正方形?考点：正方形的判定 与性质；全等三 角形的判定与 性质；平行四边 形的判定；矩形 的判定.分析:(1)根据全等 三角形的判定 定理SAS证得 BDE ABA C,所以全等三 角形的对应边 DE=AG .然后利 用

52、正方形对角 线的性质、周角 的定义推知/ EDA+ / DAG =180 ,易证 ED / GA ;最后 由乙组对边平 行且相等”的判 定定理证得结 论；(2)根据矩形 的内角都是直 角”易证/ DAG=90 ;然 后由周角的定 义求得/BAC=135 ;(3)由芷方形 的内角都是直 角，四条边都相 等”易证/ DAG=90 ,且 AG=AD .由 CABDI 和 CACHG的性质 证得，解答:AC= &B . 解：（1）图中四 边形ADEG是 平行四边形.理 由如下： 四边形 ABDI、四边形 BCFE、四边形 ACHG者B是正 方形， .AC=AG , AB=BD , BC=BE ,ZGA

53、C= Z EBC =Z DBA=90 .Z ABC= Z EBD （同为 ZEBA的余 角）.在 BDE和 ABAC 中，（BD二BA ZDBE=ZABC BE=BC BDEABAC （SAS）,DE=AC=AG , ZBAC= Z BDE, AD是正方形 ABDI的对角 线，Z BDA= Z B AD=45 V Z EDA= Z B DE -ZBDA= Z BDE -45 ,Z DAG=360 - ZGAC - ZBAC - ZBAD =360 -90 - Z BAC - 45 =225 - Z BACZ EDA+ Z D AG= Z BDE - 45+225 -ZBAC=180 .DE /

54、 AG , 四边形ADEG是平行 四边形(一组对 边平行且相 等).(2)当四边形 ADEG是矩形 时，Z DAG=90 .贝U / BAC=360 -/ BAD - ZDAG - / GAC=360 - 45 -90 - 90 =135, 即当 ZBAC=135 时，平行四边形 ADEG是矩形；(3)当四边形 ADEG是正方 形时，/ DAG=90 ,且 AG=AD .由(2)知，当 Z DAG=90 时， ZBAC=135 .四边形ABDI 是正方形，.AD= /2AB . 又四边形 ACHG是正方 形，.AC=AG ,.ac= /2ab .，当ZBAC=135 且 ac=|V2ab 时，

55、 四边形ABDI是 正方形.点评:本题综合考查 了正方形的判 定与性质，全等 三角形的判定 与性质，平行四 边形的判定与 性质等知识 点.解题时，注 意利用隐含在 题干中的已知 条件：周角是 360.15.在直角三角形 ABC中，/C=90BC=2,以AB为边作正方形 ABDE ,连接AD、BE交O, CO=3,AC的长为（)C. 4考点：专题： 分析：全等三角形的 判定与性质；勾 股定理；正方形 的判定与性质. 数形结合.延长CB过点D 作CB延长线的 垂线，交点为F, 过点。作OM XCF,先证 明RTAACB RT BFD ,然后分 别表示出OM、 CM的长度，在解答:RTAOCM中利

56、用勾股定理可 得出答案.解：延长CB过 点D作CB延长 线的垂线，交点 为F,过点O作OM XCF, 则可得OM是 梯形ACFD的 中位线， / ABC+ / FB D= / CAB+ / A BC=90,/ CAB= / FBD,在RTAACB和RTABFD 中,ZCAB=ZFBDZacb=Zbfd RTAACB 9RTABFD , .AC=BF ,BC=DF, 设AC=x ,则AC+DFOM=2/2亍cm CF |x+2CM=,2 2在 RTA OCM 中， om2+cm2=oc2,即2岑）2=18,解得：x=4 ,即AC的长度为4.故选C.点评：此题考查了正方形的性质、勾 股定理、梯形的

57、 中位线定理、全 等三角形的判 定和性质，解答 本题的关键是 正确作出辅助 线，构造全等三 角形，难度较 大.16.如图，已知正方形 ABCD，点E是BC上一点，以 AE为边作正方形 AEFG .(1)连接 GD,求证：ADGABE;(2)连接 FC,求证：/FCN=45;(3)请问在AB边上是否存在一点 Q,使得四边形DQEF是平行四边形？若存在，请证明；若不存在，请说明理 由.“ E C 1考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平 行四边形的判士 7E.专题：证明题；开放型.分析：(1)根据同角的余角相等得/ DAG= / BAE,再根据SAS” 证得ADG AABE；(2)过F作BN的垂线，设垂足 为H ,首先证ABE、AEHF全等，然后得 AB=EH , BE=FH ;然后根 据 AB=BC=EH , 即BE+EC=EC+C H, 得到CH=BE=FH ,即 可得证.(3)在AB上 取AQ=BE,连 接QD,首先证 DAQ、 ABE、AADG 三个三角形全 等，易证得AG、 QD平行且相 等，又由于AG、 EF平行且相等， 所以QD、EF平 行且相等，即可 得证.解答：