数值分析之绪论讲义课件

1、1 绪 论本章主要内容： 1.1 数值计算及其特点 1.2 误差分析 1.3 稳定性概念与病态问题重点：误差难点：有效数字、稳定性1.1 数值计算及其特点1.1.1 数值问题与数值计算数值问题 特征值问题、定积分问题、一元方程问题、方程组问题、插值与拟合问题、微分方程问题等数值计算数值方法仅利用代数方法来计算问题（都是计算机可以实现的运算）解析方法通过方程的的方法求解，涉及到积分、微分等数值方法的结果得到的是（近似）数值，解析方法的结果不一定是数值数学问题要用数值方法来求解，通常需要将其转化为数值问题离散化和迭代是两个常用的转化途径机器数1.1 数值计算及其特点1.1.2 数值计算的特点理论上

2、的精确运算与实际运算之间存在差异 由计算工具的特性导致。存放在计算机中的数称为机器数。 计算机的位数有限，有上、下溢出，对绝对值较大和较小的数采用浮点形式表示。理论上的解题方案与实际能用性之间存在差异 有些数学方法不能作为数值方法 如克莱姆法则不仅对大规模线性方程组无能为力，而且对病态问题也很敏感;又如牛顿-莱布尼兹公式也不能求解所有的定积分问题;求极值的解析方法计算机也无能为力。尽管数值解是一种近似，但它可以达到需要的精度 1.1 数值计算及其特点1.1.3 数值方法的必要性某些数学问题目前在数学上还没有求解方法。如一元高次多项式方程，一元超越方程。有些数学问题在理论上有解决方法，但实际中并

3、不可用，如大规模线性方程组。有些数学问题在实践中有解决的方法，但仍需要对算法进行分析(误差分析)，如例1-5求定积分的例子。 1.2 误差分析1.2.1 误差的来源通常，解决一个实际问题需经过以下几个步骤。实际问题数学模型计算结果数值算法分析、假设抽象、量化构造数值计算方法编程、输入计算、分析在以上环节中，不可避免的存在着误差，分为以下几种：模型误差：从实际问题中抽象出数学模型时导致的误差；观测误差：数学模型中的参数值在观测时所导致的误差；方法误差：针对数学模型构造算法时所导致的误差；舍入误差：在用计算机进行数值计算时由于计算机字长的限制所导致的误差或由于计算次序所导致的误差。1.2 误差分析

4、1.2.1 误差的来源方法误差又称截断误差或余项。舍入误差的积累可能对计算结果造成很大影响。在数值分析课程中我们不讨论数学模型本身的模型误差和观测误差，只研究为求解数学模型而产生的方法误差和舍入误差。针对不同的数值方法，误差估计的侧重点也不同，有些数值方法主要讨论方法误差，如数值积分/微分、函数插值/逼近等；有些数值方法主要讨论舍入误差及观测误差(输入数据的误差)，如线性方程组求解。两个例子模型误差方法误差1.2 误差分析1.2.2 绝对误差与相对误差设x是某个精确值x*的近似值，则称 为近似值x的绝对误差，简称误差。如果能找到绝对误差值的一个上界 ，使得 ，称 是近似值x的绝对误差界，简称误

5、差界。由于误差界不唯一，通常取满足 的最小值。例 设精确值 ，求近似值 x1=3.14 x2=3.1415 x3=3.1416 x4=3.14159 的误差及误差界。1.2 误差分析1.2.2 绝对误差与相对误差设x是某个非零精确值x*的近似值，则称 为近似值x的相对误差。如果能找到相对误差值的一个上界 ，使得 ，称 是近似值x的相对误差界。由于精确值往往是未知的，通常令例1-1 函数值的误差。例1-2 P6。进一步可得乘积相对误差为两个因子的相对误差之和。1.2 误差分析1.2.2 绝对误差与相对误差有效数字若近似值的绝对误差界是某一数位上的半个单位，则称精确到该位，若从该位到的左起第一位非

6、零数字一共有n位，则称近似值有n位有效数字。从定义可以看出，通常的“四舍五入”后得到的数字都是有效数字，有效数字位数越多，数字越精确。而精确值被认为有无穷多位有效数字。例1-3例1-41.2 误差分析1.2.2 绝对误差与相对误差当数字规格化表示后，有效数字也可有一下的定义：设近似值可写成规格化的形式 （1-1）其中，ai是0-9之间的整数，a1不为零 ， k为整数。如果 （1-2）则称为的具有n位有效数字的近似值。例 用两种方式判定圆周率的近似值的有效数字 x1=3.14 x2=3.1415 x3=3.1416 x4=3.14159定义2实际上给出了有效数字与绝对误差的关系。下面的定理揭示了

7、有效数字与相对误差的关系。定理1-1 设近似值x可写成（1-1）的规格化形式，若x至少有n位有效数字，则x的相对误差满足 （1-3）反之，若的相对误差满足 （1-4）则至少有n位有效数字。（证明参2p5） 例 求1/19的近似值的相对误差不超过0.1，应取几位有效数字？ 1.2 误差分析1.2.2 绝对误差与相对误差误差分析- 函数的误差 1.2 误差分析1.2.2 绝对误差与相对误差例 测得某正方体的边长为20cm，计算其体积的误差界及相对误差界。(用两种方法)1.2 误差分析1.2.2 绝对误差与相对误差误差分析- 数值计算的的误差 1.3 数值稳定性与病态数学问题1.3.1 数值稳定性数

8、值计算方法能否控制舍入误差的传播。 算法的稳定性在数值计算中是不可回避的重要问题。 例1-5 P81.3.2 病态问题与条件数数值计算方法的数值稳定性与数学问题本身是强依赖的-条件数。 数值稳定性是对算法而言的，病态数学问题与算法无关，即用任何算法求解都是不稳定的。但是，良态数学问题的算法未必都是数值稳定的。病态和良态是相对的，界限比较模糊，病态越严重，对算法的稳定性影响越大。通常用条件数来衡量数学问题的病态程度，条件数越大，病态越严重。 例1-6 P111.4 数值计算的若干原则1.4.1 机器数存放在计算机中的数称为机器数。实数有定点和浮点两种形式表示。实数的机器数是有误差的。范围与误差的大小与机器数的字长有关。随着运算的深入， 误差可能迅速膨胀，这种现象必须得到有效控制； 也可能出现大数吃掉小数等现象，必须尽量避免。稳定性1.4 数值计算的若干原则1.4.2 误差处理的几个原则避免两个相近的数相减-影响有效数字避免绝对值太小的数做除数-放大误差防止大数吃掉小数-运算失效严格控制递推公式中-算法的稳定性优化计算步骤，提高计算效率简化计算步骤-避免了乘方运算 秦九韶算法一些避免相近数相减示例当|x|1时当|x|1时人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以