自动控制原理：chapt2－3 控制系统的数学模型

1、2.6 状态空间模型传递函数矩阵：状态空间分析法在状态空间中以状态向量或状态变量描述系统的方法称为状态空间分析法或状态变量法优点便于在计算机上求解数学描述简单容易考虑初始条件能了解系统内部状态的变化特性适用范围广便于设计预备知识矩阵微分1、向量函数对数量函数的导数2、矩阵函数对数量函数的导数3、数量函数对向量的导数4、向量函数对向量的导数5、矩阵函数对向量的导数预备知识矩阵微分1、向量函数对数量函数的导数2、矩阵函数对数量函数的导数预备知识矩阵微分3、数量函数对向量的导数4、向量函数对向量的导数预备知识矩阵微分5、矩阵函数对向量的导数一、状态空间和状态方程1、状态变量表达式相关概念如图所示的R

2、LC电路，其输入电压为ur(t)，该电路中的四个物理量i(t)、uR(t)、uL(t)、uC(t)反映着系统各方面的特征，根据线性电路知识，这个电路有两个储能元件，即电感L和电容C，因此只能有两个物理量是独立的，而其余的物理量必能用这两个独立的物理量来表示。当选i(t)、Uc(t)为独立变量时，则其它变量可表示为： 由解微分方程可知，如果已知初始条件i(0)、uc(0)以及t0的ur(t),那么在t0后的任一时刻的解就完全被确定了。如方程组采用状态向量表示时, 令 为系统输入， ( 状态方程 ) 如果以uC(t)为系统输出，用y表示，则有 ( 输出方程 ) 系统输出也可能并不一定是状态变量，但

3、前面提到，其它的量如uR(t)或uL(t)等一定能用状态变量来表示。即输出可以写成状态变量的线性组合,因此输出方程一定是代数方程 写为矩阵形式如 状态空间模型 一、状态空间和状态方程1、状态空间方法的基本概念状态：从过去无穷远时间积累到现在能完备的描述系统动态特征的最小数目的一组变量。状态向量：若以n个状态变量 做为向量 的分量，则称 为状态向量。状态空间：以状态变量 为基构成的n维空间。状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组称为状态方程。2、线性系统及其状态空间表达式状态方程的一般形式单输入线性定常连续系统式中常系数 与系统特性有关。上式可以写成向量矩阵形式：其中2、线

4、性系统及其状态空间表达式（续）多输入线性定常连续系统向量矩阵形式为：其中2、线性系统及其状态空间表达式（续）输出方程：系统输出量与状态变量、输入量的关系称为输出方程。输出量由系统任务确定或给定单输出线性定常连续系统输出方程的一般形式为式中常系数 与系统特性有关。其向量矩阵形式为：多输入多输出系统的输出方程的一般形式为其向量矩阵形式为：2、线性系统及其状态空间表达式（续）状态空间表达式：状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，又称动态方程。单输入单输出系统状态空间表达式的一般形式为多输入多输出系统状态空间表达式的一般形式为A(t):系统矩阵（状态矩阵）B(t):控制矩阵（输入矩阵）C(t):

5、观测矩阵（输出矩阵）D(t):输入输出矩阵2、线性系统及其状态空间表达式（续）对于一般的非线性系统，其状态方程和输出方程可能还是状态和输入的非线性函数 因此状态方程和输出方程可用如下向量方程表示 仿射非线性：下三角仿射非线性：2、线性系统及其状态空间表达式(续)对于本节主要讨论的线性定常系统来说，状态空间模型的标准形式是 线性系统的动态结构图状态空间表达式的结构示意图 3、状态空间表达式的建立由微分方程建立状态变量表达式 直接根据系统的物理机理建立相应的微分或差分方程针对微分方程，定义一组状态变量，建立状态方程，并根据系统输出和状态之间的关系，建立系统的输出方程 由已知的该系统的其他数学模型（

6、如传递函数）经过转化而得例：由质量块、弹簧、阻尼器组成的机械位移系统如图示有力F及阻尼器汽缸速度V两种外作用，另输出量为：质量块位移、速度和加速度。试写出该双输入三输出机械位移系统的状态空间表达式。图中m、k、f分别为质量、弹簧的弹性模量、阻尼系数，x为位移。解：根据牛顿力学得到该系统的微分方程为：它是二阶系统，选择质量块的位移和速度为状态变量。令 系统的三个输出量为，由系统的微分方程可导出下列状态方程：其向量矩阵形式为说明：状态变量个数等于系统中独立储能元件的个数状态变量一般选可反映储能元件能量变化的量（eg：电感电流、电容电压、位置、速度）二、由微分方程建立状态变量表达式 1、线性微分方程

7、中不含有输入函数导数项的系统的状态空间表达式 选取状态变量：则有：二、由微分方程建立状态变量表达式系统状态空间表达式为：二、由微分方程建立状态变量表达式根据上式绘制的状态变量之间关系的方块图如图所示，每个积分器的输出都是对应的一个状态变量，状态方程由积分器的输入输出关系确定，输出方程在输出端给出 ：例：设一控制系统的动态过程用微分方程表示为 式中u,y分别为系统的输入和输出信号，试求系统的状态空间描述。解：选取状态变量为则有：例：将上式写成矩阵微分方程形式2、系统输入量中含有导数项其一般形式为：若选取状态变量则得到在状态方程中将会出现输入导数项 2、系统输入量中含有导数项（续）应选择以下n个变

8、量作为一组状态变量则状态变量如下2、系统输入量中含有导数项（续）式中 是n个待定常数 输出方程 状态方程 2、系统输入量中含有导数项（续）对最后一个方程求导，并将y (n）用下式代入得到：2、系统输入量中含有导数项（续）将上式中所有的输出项以及输出的导数项都用状态和输入的各阶导数项表示有2、系统输入量中含有导数项（续）令上式中u的各阶导数项的系数为零，则有 令 则有 2、系统输入量中含有导数项（续）将上式改为矩阵向量形式为：其中d=h0bn2、系统输入量中含有导数项（续）绘制出状态变量之间关系的方块图如图所示 例：设一控制系统的动态过程用微分方程表示为 式中u,y分别为系统的输入和输出信号，试

9、求系统的状态空间表达式。解：选择状态变量为根据上式写出控制系统空间表达式为d=0 例：设一控制系统的动态过程用微分方程表示为 式中u,y分别为系统的输入和输出信号，试求系统的状态空间表达式。画出系统的结构图解：由题得写出状态空间表达式为系统结构图如下2、系统输入量中含有导数项（续）函输入导数项的系统一般形式为：当式中bn=0时，还可以按如下规则选择另一组状态变量（关键，方法巧妙）。设则得到2、系统输入量中含有导数项（续）则得到2、系统输入量中含有导数项（续）因此可以得到（n-1）个状态方程输出方程为 2、系统输入量中含有导数项（续）对下式求导 并将y (n)用式 代入后经整理得 （巧妙在这！）

10、状态方程为 2、系统输入量中含有导数项（续）d=02、系统输入量中含有导数项（续）例试求 的状态空间表达式。 因为此系统为三阶系统，而b3=0，所以可以选择状态变量所以状态空间表达式为 对于一个给定的系统而言，状态变量的选取并不是唯一的。关于同一系统的不同状态变量之间的关系，将在第七章中介绍。 三、由传递函数求状态空间表达式1、直接法：设线性定常系统的传递函数如下： （为有理真分式）直接法：直接法（续）：为非有理真分式时：（bn不为零）由可知：bn就等于状态方程中的直接矩阵d 而 为有理真分式 因此我们只要能由一个有理真分式的传递函数求相应的状态空间表达式的话，那么对非有理真分式求状态空间表达

11、式，只需增加一个直接矩阵d即可 直接法（续） ：uZybn直接法（续） 这种形式的状态空间表达式被称为可控标准型。 可控（能控）：状态空间方程能否被输入所控制。 可控（能控）：状态方程（A,B），若对于任何初始状态 以及任意最终状态 ，都存在输入u能在有限时间内将 转移到简言之：状态空间方程的状态能否被输入所控制。可观（能观）：状态方程（A,B,C,D），若对于任何未知的初始状态 存在有限的时间 使得在 时间区域 内的输入u和输出y足以确定系统初始状态简言之：系统初始状态是否能被输出所观测.举例说明:直接法（续） 由于 为有理真分式，即对应的微分方程中输入导数项的最高阶 等于零 因此也可以采用

12、式(2-45)的方式选择状态变量，那么状态空间表达式就如式（2-49）所示。这样向量矩阵形式的状态空间表达式为直接法（续） 这种形式的状态空间表达式被称为可观测标准型 例:已知控制系统传递函数，试求该系统的状态空间描述。例：试求下式的可控标准型和可观测标准型 解：系统传递函数为 有可控标准型为 例：有可观测标准型为 对于同一系统，状态变量不同，状态空间表达式也不一样。 2、并联实现例3、串联实现例4、传递函数以极点形式给出 a、系统传递函数只有单实极点（没有重极点）系统特征方程可表示为 通过部分分式展开成下列形式 a、系统传递函数只有单实极点为G(s)在极点i 处的留数 因此有 选择状态变量为

13、 输出为 以上两式整理后，取拉氏反变换得：对角阵标准型 写成矩阵形式有对角阵标准型 对角阵标准型 如果状态变量选择为那么系统输出则为 同样，经过反拉氏变换并展成矩阵形式有 对角阵标准型 对偶关系 称满足上式关系的两个状态空间表达式为对偶关系 对偶关系可控标准型 可观测标准型 b、系统传递函数含有重实极点情况假设极点1为三重极点，其它均为单实极点，即4、 5 、 n ，那么系统特征方程可表示为 传递函数可以通过部分分式展开成下列形式那么系统输出为b、系统传递函数含有重实极点情况如果选择状态变量为 输出为 b、系统传递函数含有重实极点情况整理得 对上式拉氏反变换并整理得 约当（Jordan）标准型 称重极点对应的 为约当块