信号处理原理：连续时间傅里叶变换

1、信号处理原理连续时间傅里叶变换2本章概要（导读）周期信号的正交函数分解周期信号的傅里叶级数（建立信号频谱的概念）非周期信号的傅里叶变换（连续频谱）傅里叶变换的性质周期信号的傅里叶变换采样信号（离散信号）的傅里叶变换采样定理3信号分解直流分量+交流分量偶分量+奇分量实部分量+虚部分量脉冲分量基于正交分量的分解分解结果是唯一的分 解 方 法第1章介绍第2章讲解4正交分解研究（信号）的方法：用熟悉的、已知的信号（表示）陌生、未知的信号用简单的信号（表示）复杂的信号对表示的要求：能不能做到少失真？甚至不失真（即完全相等）？现有的分解方法：有的太简单交直流分量分解、奇偶分量分解、虚实部分量分解有的太粗糙

2、脉冲分量分解希望分解方法：简单、精确、直观、有效5正交分解（二维平面）XYVCxVxCyVy简单、精确、直观、有效对基本成分有要求。基本分量必须满足下面的条件：1分成几部分？（对平面上的矢量：Vx Vy两个）2每部分之间的关系？（对平面上的矢量Vx 和 Vy 相互垂直（正交）3每部分分多少？（对平面上的矢量：任意矢量都可唯一地合成出来）6正交分解（多维空间）简单、精确、直观、有效基本矢量Vk两两之间要垂直（正交）系数：Vi和Vj垂直的充分必要条件： = 0函数空间推广平方可积的函数空间73 现代信号处理（第2版） 张贤达8函数内积、正交函数如果在区间(t1,t2)上,函数f1(t)和f2(t)

3、互不含有对方的分量，则称f1(t)与f2(t)在(t1,t2)上正交。充要条件是它们的内积为0函数f1(t)和f2(t)在(t1,t2)上的内积：gn(t): 1nN是区间(t1,t2)上的正交函数集的条件：函数f1(t)和f2(t)在(t1,t2)上的正交：9信号正交分量分解任一函数 f (t)在(t1,t2)上可（近似）表示为正交函数集内函数的线性组合。正交分量的系数10信号正交分量分解问题：是否存在某个函数集能精确地表示其他（任意）函数？此类集合存在，它们被称为“完备正交函数集”（定义一）完备函数集性质：与函数集中所有函数都正交的函数都在函数集中。也可以按照此性质来定义“完备正交函数集”

4、（定义二）正交函数集11信号正交分量分解如果满足级数展开与信号变换12函数空间的标准正交基13正交变换（KL变换）1415傅里叶级数展开三角函数集复指数函数集正交函数集如果正交函数集是三角函数集或指数函数集，则周期函数展成的级数就是“傅里叶级数”。相应的级数通常被称为“三角形式傅里叶级数”和“指数形式傅里叶级数”。n是非负的自然数n是可正可负的整数16历史追忆连续时间信号可分解为一组基本信号的加权积分（和）1807年：傅里叶提出“任何”周期信号均可用正弦级数表示1829年：狄义赫利指出，分解要满足若干限制条件（三个）应用领域很多，如：地球气候变化分析交流电源的电压、电流分析海浪、电台发射信号等

5、的分析17狄义赫利条件：在一个周期内(1) 间断点的个数有限(2) 极值点的个数有限(3) 绝对积分数值有限满足上述条件的任何周期函数，都可以展成“正交函数线性组合”的无穷级数。历史追忆18三角形式的傅里叶级数展开成三角函数的无穷级数形式设周期函数f(t)的周期为T1根据正交函数的正交特性，可得：19三角形式FS系数的计算系数an和bn统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称为傅里叶系数。信号的直流分量20复指数形式的FS系数计算方法展开成复指数函数 的无穷级数形式设周期函数f(t)的周期为T1基函数共轭思考：系数Fn用什么数学形式表达？21偶周期信号和奇周期信号的FS偶周期信号的FSFn只有直流

6、分量和余弦项。奇周期信号的FSFn只有正弦项。积分项为奇函数积分项为奇函数22偶周期信号和奇周期信号的FS偶周期信号的FSFn是偶对称的实数序列奇周期信号的FSFn是奇对称的纯虚序列思考：如何证明偶对称？是实数序列？思考：如何证明奇对称？是虚数序列？思考：从上述公式中，你还可以发现Fn的那些特性？23傅里叶频谱周期信号的傅里叶频谱特点：(1) 仅在一些离散频率点(nf1)上有值。（谐波）(2) 离散间隔为f1, (3) Fn是双边谱，正负频率的频谱幅度相加才是实际幅度。(4) 信号的功率为FS谱FS幅度谱FS相位谱由于复指数完备正交函数集中含有正负项，故为双边谱24傅里叶频谱把傅里叶级数表示式

7、的两边平方，并在一个周期内进行积分，再利用三角函数及复指数函数的正交性，可以得到周期信号f(t)的平均功率P与傅里叶级数有下列关系：25周期信号的平均功率等于傅里叶级数展开各谐波分量有效值的平方和，也即时域和频域的能量守恒。上式被称为：帕斯瓦尔方程傅里叶频谱26周期信号的FS周期矩形脉冲信号的FS谱线包络线为Sa函数谱线包络线过零点位置（两等号要同时成立）：频谱谱线的间隔为27周期信号的FS在频域，能量主要集中在第一个零点以内 带宽只与脉冲的脉宽有关，而与脉高和周期均无关实际上，在允许一定失真的条件下，可以要求一个通信系统只把 2 / 频率范围内的各个频率分量传送过去，而舍弃 2 / 的分量。

8、常把 = 0 . 2 / 这段频率范围称为矩形信号的频带宽度，简称带宽。28周期信号FS 非周期信号FS周期信号的频谱谱线的间隔为非周期信号可以看成是周期T1趋于无限大的周期信号非周期信号的谱线间隔趋于无限小，变成了连续频谱；谱线长度趋于零。周期信号的频谱谱线的长度为29问题： 非周期信号，可以视为周期无穷大的周期信号。 在周期趋向无穷大时：谱线间距变密直至为零 变为连续域谱线高度变矮直至为零从频谱分量到频谱密度30从频谱分量到频谱密度 考虑：物理意义着手：既是信号，必有能量。无论怎样， 能量守恒。因此，频域必会以某种形式存在。数学角度思考：无限多无穷小量的和，在极限意义 下，可能等于一个有限

9、值。前面的问题只是说每个 分量变成了无穷小量，但没有说总和(信号)为零!31从频谱分量到频谱密度办法：引入“频谱密度”的概念反映的是单位频带内的频谱分量值，故称为“频谱密度函数”。连续变量32从频谱分量到频谱密度FS展开式的变化：处处都有谐波“分量”（频谱密度函数的概念）33FT：IFT：变换核非周期信号的FT恢复时域信号的方法FT存在的充分条件：时域信号绝对可积。344 信号处理的小波导引（Stephane Mallat）5 现代数字信号处理（Roberto Cristi）课外阅读35课外阅读36唯一性：如果两个函数的FT或IFT相等，则这两个函数必然相等。可逆性：FT与IFT的性质37实际物理信号是实信号的频谱特点为：频谱实部是偶对称的频谱虚部是奇对称的频谱相位是奇对称的实际物理信号的FT38FS与FT的区别与联系信号的傅里叶变换一般为复值函数，可写成幅度频谱密度函数相位频谱密度函数39从FS到FTT1右侧的周期信号是左侧非周期信号以T1为周期重复的结果在区间中FT与FS的关系40FT与FS的关系41推论：若以不同的周期对信号f(t)进行周期重复，对这些不同的周期信号，它