二维傅里叶变换

1、二维傅里叶变换Joseph Fourier, our heroFourier was obsessed with the physics of heat and developed the Fourier series and transform to model heat-flow problems.信号分解为正交函数分量的研究方法在系统理论中占有重要的地位，其原理与矢量分解为正交矢量的概念非常相似正交矢量空间和正交函数系I 正交矢量空间三维空间n维空间其中II 正交函数系若定义在(x1，x2)区间上的复函数系 中的每个函数绝对可积，且满足 为区间(x1，x2) 上的正交函数系.III 三角

2、级数及三角函数系的正交性简单的周期运动 :(谐波函数)( A为振幅, 复杂的周期运动 :令得函数项级数为角频率,为初相 )(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.定理 1. 组成三角级数的函数系正交 ,上的积分等于 0 .即其中任意两个不同的函数之积在机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且右端级数可逐项积分, 那么有定理3 (收敛定理, 展开定理)设 f (x) 是周期为2的周期函数,并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类连续点;2) 在一个周期内只有有限个极值点, 那么 f (x) 的

3、傅里叶级数收敛 , 且有 x 为连续点其中( 证明略 )为 f (x) 的傅里叶系数. x 为连续点三角函数形式的傅里叶级数在一个周期内，n = 0, 1, .,由积分可知,1. 三角函数集 是一个完备的正交函数集傅里叶级数(Fourier Series)在满足狄利克雷条件时，可展成称为三角形式的傅里叶级数，其系数2级数形式直流分量余弦分量的幅度正弦分量的幅度指数函数形式的傅里叶级数3系数利用复变函数的正交特性也可写为Fn1复指数正交函数集2级数形式说明周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式三角形式指数形式都是离散求和的形式，说明(1) 一个随时间或空间变化的周期函数(信号) ,可以看作是许多

4、具有不同频率的基元简谐波信号的叠加各简谐波分量的频率为 ,是离散的，取值为0, , , , , 为直流分量， 为基频，其余为高次谐波分量(2)是其中一个简谐波成分， 或是该简谐波成分的权重，它是频率 的函数，称为傅里叶频谱函数(简称频谱函数) 。一维傅里叶变换：周期信号非周期信号连续谱，幅度无限小；离散谱0 再用 表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，引入频谱密度函数.0单位频带上的频谱值频谱密度函数(spectrum density function)，简称频谱函数w傅里叶变换傅里叶逆变换傅里叶变换1. 直角坐标系内的二维傅里叶变换二元函数的傅里叶变换(即傅里叶谱或频

5、谱)定义为其傅里叶逆变换定义为 非周期函数可分解为连续频率的余弦分量的积分，是各频率成分的权重因子(weighting factor) 在电信号处理、通信中，一般是1D的时间信号，经常用到一维傅里叶级数和傅里叶变换.在光学中，多数情况下研究的对象是2D或3D图像处理或成像，一般是二维或三维空间分布(可表示为二维或三维空间函数). 可别离变量函数的傅里叶变换假设一个二维函数是可分函数，那么其傅里叶变换可写成两个一维函数傅里叶变换的乘积. 2. 极坐标系内的二维傅里叶变换或1) 定义式对于具有圆对称的函数，采用极坐标形式比较方便. 2) 傅里叶贝塞尔变换圆对称函数，有 其中，利用了贝塞尔函数关系式

6、式中是第一类零阶贝塞尔函数(is a Bessel function of first kind, zero order)与无关，表明圆对称函数的傅里叶变换和逆变换仍为圆对称，可表示为 圆对称函数的傅里叶正变换和逆变换的运算形式 一样，常称之为傅里叶贝塞尔变换(Fourier- Bessel transform)a. 在整个xy平面上绝对可积b. 在任一有限区域里， 必须只有有限个间断点和有限个极值点 c. 必须没有无穷大间断点 3. 傅里叶变换存在及其应用条件说明：(1) 物理上实际存在的物理量(如各种随时间或空间变化的函数)，其傅里叶变换总是存在的. R. N. Bracewell曾指出：

7、物理上的可能是一个变换存在的有效的充分条件. (Physical possibility is a valid sufficient for the existence of a transform)即：从应用的角度看，可以认为傅里叶变换实际上总是存在的(2) 物理上，为了数学描绘的方便，常引入一些理想化的函数(idealized mathematical functions) ，其经典意义下的傅里叶变换不存在，但可以引入广义傅里叶变换这种变换不仅在理论上是自洽的，而且在应用上也能给出符合实际的结果广义傅里叶变换 1. 极限意义下的傅里叶变换无经典意义下的傅里叶变换但 和一个函数序列 具有以下关系 而函数序列中的每一个函数，其狭义傅里叶变换 都存在，而且在时，函数序列也有确定的极限，则定义(1) 可先定义一个函数序列可见例如：不满足绝对可积条件， 无经典意义下的傅里叶变换(2) 求的傅里叶变换(3) 的极限即为傅里叶变换2函数的傅里叶变换即 的傅里叶变换是常数1 那么常数1的傅里叶逆变换是否成立呢？ 根据函数的广义定义，只要证明在积分中的作用相当于函数即可根据函数的定义式，可直接求出它的傅里叶变换设有一个函数，它在处连续，并且其傅里叶变换存在，即有：证明：可见在积分中的作用相当于函数，所以有