两个平面垂直的判定和性质教案

1、两个平面垂直的判定和性质教案教学目的（1）使学生掌握两个平面垂直的判定定理、性质定理及它们的证明，并学会加以初 步运用.（2）通过本节内容的引入与命题的构造、完善、论证过程，对学生进行观察、实践、 猜测、联想、分析、论证等思维能力的培养.教具制作用两个矩形铁丝框架焊制成两个互相垂直的平面的模型 （如图1）,并在两个平面的 交线CD上取点B,在点B处焊上两个用铁皮卷成的插孔 BM、BN；再备两个可以插 入插孔的粗铁丝段，使插入以后可以表示二面角 a-CD-3的平面角.教学过程、引入新课师：前一节课，我们学习了二面角、直二面角、两个平面垂直等概念（为了本节课“引入”的需要，特地把“ a，B ”的概

2、念移至上节课），今天我们学习“两个平面垂直的判定和性质”.（板书课题后，随即出示小黑板，引入命题.）直续平面a、B可以有以下三神关系；a6,会仁口，口，8,如果任意取其中两个作前提，另一个作结论构造命题，能构成几个命题，并判断其真假.提出问题，引起思维.学生画图形，搭模型一一用课本、桌面作平面，铅笔作直线，积极思考，相互议 论；教师巡视，及时给予以个别启发、指导.估计学生能构成三个不同的命题：al P a 1 Ma： MCL 1 P . （2） l=al 5- （3） 匕鼻匚Q ,这三个命题中:鼻匚QJ己匚QJalp |是真命题，（2）.均是假命题.教师可鼓励学生大胆猜想与判断.对于学生回答不

3、完善时，教师给予及时引导，点 拨.、证明定理 TOC o 1-5 h z （教师针对学生的回答先板书，再彳W示教具，印证“猜测”.）师：对于命题（1）.欲证a，B ,须判断二面角 a -CD- 3为直二面角，为此须 作出其平面角（图2）.（在教具模型上，再插入线段EM,即在3内作BEXCD.）这样, 得到二面角a -CD- 3的平面角/ ABE,从而由/ ABE=90证明了图E把问题交给学生，让学生在对模型进行观察、分析后提出猜想，并在议论和印证 中发现了两个平面垂直的判定定理（暂且还未揭示）的内容及其证明方法，从而增强学生 学习中的发现因素和探索机会，有利于培养学生的思维能力和探索精神.接着

4、，在学生思考探究的基础上，让学生通过模型，考察命题（2）.师：（指着模型）现在让我们来考察、探究命题（2）的真假（图3）.（学生摆弄手中自搭的模型，观察思考着“由“内的直线a能与平面3垂直吗？ ” ）生甲：“不能！”生乙：“不一定能！”教师肯定了后者，a不一定垂直于B,如图3中直线a,故命题（2）不真.接着， 激励学生进一步探究.师：时于命题能否在口 1氏。的条件下，再增加某些条件，使a，P的结论成立呢?a在a内的各种位置后，进行（学生在各自的桌面上用书本、铅笔构造模型，摆弄 讨论并提出猜想.）生：增加a CD的限制条件后，即能判定 a，B .即olLP卜(2)4* = 0a c CiaJ_C

5、D师：现在，我们给出命题（2的证明.师生共同活动完成证明过程.再次结合教具，插入线段AN（图2）,表示aCD,为利用a - CD- 3为直二面角的条件，从而添置辅助线，插入线段EM图2）,即在3内作EBXCD, 一方面ABXOD,另一方面由/ ABE=90 ,得到ABXBE,从而 ai1 3 .这里揭示了命题（2的形成过程：在处于命题（2）的阶段是初露端倪，经过分析、对 比、猜想、抽象、印证，形成了命题 （2.这个过程，有利于发展学生的数学思维，如果 不讲过程，不讲背景，容易使学生的思维呆板.止匕外，启发学生学习的主动性与创造性 的关键不在于频繁的提问，而在于“创造问题的情境”，如本段教学中出

6、现了命题（2）不真的矛盾，如何使其“真”，并再证明其真，这就创造出一种使学生能够积极思维的 环境.有了完善命题（2）的经验和乐趣，学生带着浓厚的兴趣投入完善命题 （3）的实践中.师：由摆弄模型（包括学生自搭的）可知，由a，B,显然a不一定在“内， 如图4中直线a.为了达到aU “的结论，需要增加什么条件？生：a须经过“内的一点P（图4）.（教师板书.）0 1 B al ? PE a师：对于命题（3的证明，先请同学们回忆一下，证明直线在平面内常用什么方法?（估计学生会回答：“同一法”或“反证法”.）师：我们不妨用同一法试试.（教师简述“同一法”证题的三个步骤：符合结论的作图，图形符合条件的证明，

7、 唯一性”的说明.接着启发、诱导. ）师：如何就本题的条件证明“ a二的结论呢？（学生思考、议论后回答.）生：在平面a内过点P作b垂直于平面a、3的交线C,由命题（2判断b1 3 .（教师肯定并鼓励学生的严密思考，继续允许学生再发表意见，并启发学生另一种证法：在。内过江bl 口日_18.c匚B /-ale卜=&、b重合.）在Q内,过一点酢直线c的垂线的唯一性师：从不同的“唯一性”为出发点，证明了命题（3.至于“反证法”的证明，同学们课外去思考.“同一法”的三个步骤由教师扼要表述，这是教师给予学生在知识上的必要的铺 垫，以减少思维障碍，使学生的议论、猜想、证明得以顺利的进行.师：（画龙点睛地）通

8、过构造命题，探索真伪，猜想论证，得到了三个正确的命题. 其 中命题（1）用来判断a，B ,故称它为两个平面垂直的判定定理；命题 （2、（3称为两个 平面垂直的性质定理.现在请同学们完整而确切地表述刚才获得的三个定理.（学生表述，教师点拨，接着要求学生打开课本，阅读两个平面垂直的判定和性质 定理.）充分发挥课本作用，引导学生看书、消化、回味、思考，有利于学生基础知识的 学习与巩固.三、巩固练习师：现在请同学们思考解答课本中总复习参考题A的第2题：“如图5, AB是。O的直径，PA垂直于。O所在的平面，C是圆周上的任意点.求 证： PAC所在的平面垂直于 PBC所在的平面. D国耳要证明平面PBC

9、，平面PAC,应该找线面垂直关系.（让学生思索、议论.启发学生找出一条在平面PBC内的直线BC且与平面PAC垂直.在学生的回答基础上，教师边复述，边写出证明过程. ）师：还有其他证法吗？生甲：可以通过两个平面垂直的定义证明二面角B-PC-A的平面角是直角，从而证明它们互相垂直.因为/ACB=90 ,而它又是这二面角的平面角，所以平面PAC，平面PBC.（教师板书此学生的想法，然后让大家议论这证法有否问题.）生乙：这里/ ACB不是这二面角的平面角， 因为PC不垂直于AC,所以这证法不 对.师：对，不过这个问题是肯定可以用定义证明的，关键是A-PC-B的平面角如何作，同学们课后研究解决.留有悬念，并把课内引向课外.（小结、作业均略.）教案说明（1）课本中“两个平面垂直的判定和性质” 一节教材仍按人民教育出版社的教学 参考资料的参考意见安排三课时，但在内容上作这样安排：第一课时即本课授课内容； 第二课时以课本习题为依据进行判定定理、性质定理的应用训练；第三课时进 行定露的综合亚瀛以/公工 EF=JlJ 1兀。疵士2皿皿口 ”的返国-（2）本课的结构为：“创设问题一一模型实践一一猜想探究一一指导论证一一归纳 升华一一应用实践.示意图如下：(3)本课教学在“三论”(即信息论、系统论与控制论)