2022年人教版数学必修1-复习知识点归纳学习资料

1、资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除必修 1 第一章集合与函数概念1.1 集合【1.1.1 】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性 . （2）常用数集及其记法N 表示自然数集,N或 N表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集 .（3）集合与元素间的关系对象 a 与集合 M 的关系是 aM,或者aM,两者必居其一. （4）集合的表示法自然语言法：用文字表达的形式来描述集合 . 列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合 . 描述法： x | x 具有的性质 ,其中 x 为集合的代表元素 . 图示法：用数轴或韦恩图来表示集合

2、.（5）集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集. . 含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合叫做空集【1.1.2 】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质AB示意图A子集ABA 中的任一1AA B2A3如AB且元 素 都 属（或BA BC ,就 AC于 B 或4如AB且真子集AB AB,且BA ,就 ABBA（1）A（A 为非空子集）B 中至少有（或 BA）2如AB且一 元 素 不属于 A BC ,就 ACA 中的任一集合AB元 素 都 属1AB AB于 B,B 中相等2BA 的 任 一 元素都属于 A （7）已知集合 A 有n n1个元素,就它有2 n

3、个子集,它有2 n1 个真子集,它有n 21个word 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除非空子集,它有2 n2非空真子集 . 【1.1.3 】集合的基本运算（8）交集、并集、补集名称记号意义A （1） A性质UA. UB 示意图B交集ABx xA 且AAA（2） ABA（3） AxB 并集ABABBABx xA 或（1） AAA（2） AAxB （3） ABAABB补集e UAx xU,且x（1）Ae UA A（2）Ae UA U（3）痧 AB（4）痧 ABUA. UB 【补充学问】含肯定值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含肯定值的不等式的解法|axb|x不等式0c c0解集|

4、x|a ,|a ax|axa |x|a a0 x xa 或xa c,|axb|把 axb 看成一个整体,化成|x|a a0型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式b24ac000word 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除二次函数y2ax2bxc a0 x 1,2bb24 acx 1|x2bO的图象ax一元二次方程0无实根bxc0a2a2aax2的根0（其中x 1x 2xxRb 2 abxc0ax xx 或xx 2ax2的解集0 x x 1xx 2bxc0a的解集1.2 函数及其表示【 1.2.1 】函数的概念（1）函数的概念设 A 、B 是两个非空的数集, 假如依据某种对应法

5、就 f ,对于集合 A中任何一个数 x ,在集合 B 中都有唯独确定的数 f x 和它对应,那么这样的对应（包括集合 A, B 以及A 到 B 的对应法就 f ）叫做集合 A 到 B 的一个函数,记作 f : A B 函数的三要素 : 定义域、值域和对应法就只有定义域相同,且对应法就也相同的两个函数才是同一函数（2）区间的概念及表示法设 a b 是两个实数, 且 a b ,满意 a x b 的实数 x 的集合叫做闭区间, 记做 , a b ；满意 a x b 的实数 x 的集合叫做开区间,记做 , a b ；满意 a x b,或 a x b的 实 数 x 的 集 合 叫 做 半 开 半 闭 区

6、 间 , 分 别 记 做 , , , ； 满 足x a x a x b x b 的实数x的集合分别记做 , , a , , , , , b 留意： 对于集合 x a x b 与区间 , a b ,前者 a 可以大于或等于 b ,而后者必需a b （3）求函数的定义域时,一般遵循以下原就： f x 是整式时,定义域是全体实数word 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除 f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数 f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于 1 y tan x 中,x

7、 k k Z 2零（负）指数幂的底数不能为零如 f x 是由有限个基本初等函数的四就运算而合成的函数时,就其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集对于求复合函数定义域问题,一般步骤是：如已知f x 的定义域为 , a b ,其复合函数 f g x 的定义域应由不等式 a g x b 解出对于含字母参数的函数,求其定义域, 依据问题详细情形需对字母参数进行分类争论由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,仍要符合问题的实际意义（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上,假如在函数的值域中存在一个最小（大）数,这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的

8、最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：观看法：对于比较简洁的函数,我们可以通过观看直接得到值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后依据变量的取值范围确定函数的值域或最值判别式法：如函数yf x 可以化成一个系数含有y 的关于x的二次方程a y x2b y xc y 0,就在a y 0时,由于x y 为实数,故必需有b2 4 c y 0,从而确定函数的值域或最值不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题反函数法：利用函数和它的反

9、函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法word 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除【1.2.2 】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系（6）映射的概念设 A、 B 是两个集合,假如依据某种对应法就 f ,对于集合 A 中任何一个元素,在集合 B 中都有唯独的元素和它对应,那么这样的对应（包括集合 A, B 以及 A 到 B

10、 的对应法就 f ）叫做集合 A到 B 的映射,记作 f : A B 给定一个集合 A 到集合 B 的映射,且 a A b B 假如元素 a 和元素 b 对应,那么我们把元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象1.3 函数的基本性质【1.3.1 】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性定义及判定方法函数的定义 图象 判定方法性 质假如对于属于定义域 I 内（1）利用定义某个区间上的任意两个自变量的值 x 1、 x2, 当 x1 y y=fX fx 2（2）利用已知函数的单调性x2时,都有 fx1fx2,fx 1（3）利用函数图象（在某个区间图函数的 那么就说间上是 增函数f

11、x 在这个区o x1 x2 x（4）利用复合函数 象上升为增）单调性 假如对于属于定义域 I 内（1）利用定义某个区间上的任意两个 y y=fX（2）利用已知函数自变量的值 x1、x2,当 x1fx2,fx （3）利用函数图象（在某个区间图那么就说 fx 在这个区 o x 1 x 2 x 象下降为减）间上是 减函数（4）利用复合函数在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数对于复合函数yf g x ,令ug x ,如yf u 为增,ug x 为增,就yf g x 为增；如yf u 为减,ug x 为减,就yf g

12、x 为增；如yf u 为增,ug x 为减,就yf g x 为减；如yf u 为减,ug x 为增,就word 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除yf g x 为减xa a0的图象与性质（2）打“ ” 函数f x xyo xf x 分别在 ,a 、a,上为增函数,分别在a,0、 0,a 上为减函数（3）最大（小）值定义一般地,设函数 y f x 的定义域为 I,假如存在实数 M满意：（1）对于任意的x I ,都有 f x M ；（2）存在 0 x I ,使得 f x 0 M 那么,我们称 M 是函数 f x 的最大值,记作 f max M 一般地,设函数 y f x 的定义域为 I

13、,假如存在实数 m 满意：（1）对于任意的 x I ,都有 f x m ；（2）存在 x 0 I ,使得 f x 0 m 那么,我们称 m 是函数 f x 的最小值,记作 f max m 【1.3.2 】奇偶性（4）函数的奇偶性定义及判定方法函数的定义图象判定方法性 质word 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除假如对于函数fx定义（1）利用定义（要域内任意一个x,都有先判肯定义域是否函数的fx=fx,那么函数关于原点对称）（2）利用图象（图fx叫做 奇函数奇偶性假如对于函数fx定义（1）利用定义（要域内任意一个x,都有先判肯定义域是否fx=fx, 那 么 函 数fx 叫做 偶函数关

14、于原点对称）（2）利用图象（图 象关于 y 轴对称）如函数 f x 为奇函数,且在 x 0 处有定义,就 f 0 0奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性 相反在公共定义域内,两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数）,两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数补充学问 函数的图象（1）作图 利用描点法作图：确定函数的定义域；化解函数解析式；争论函数的性质（奇偶性、单调性）；画出函数的图象利用基本函数图象的变换作图：要精确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函

15、数等各种基本初等函数的图象平移变换yf x h0, 左移0, 右移 |h个单位yf xh hh| 个单位yf x k0, 上移 个单位 k0, 下移 | k | 个单位yf x kk伸缩变换yf x 0A 1, 缩A 1, 伸yAf x yf x 01, 伸1, 缩yfx对称变换yf x x 轴yf x yyf x fy轴yfx 1 yf x 原点yfx yf x 直线y xyfyf x 去掉 轴左边图象 y保留 轴右边图象,并作其关于 y轴对称图象y|x|word 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除其次章 基本初等函数 2.1 指数函数【2.1.1 】指数与指数幂的运算（1）根式的

16、概念假如 x na a R x R n 1,且 n N ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根当 n 是奇数时, a 的 n 次方根用符号 n a 表示；当 n 是偶数时,正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示,负的 n 次方根用符号 n a 表示； 0 的 n 次方根是 0；负数a没有n次方根式子 n a 叫做根式,这里 n 叫做根指数,a 叫做被开方数当 n 为奇数时, a 为任意实数；当 n 为偶数时,a 0 根 式 的 性 质 ： n a na ； 当 n 为 奇 数 时 ,na na ； 当 n 为 偶 数 时 ,na n| a | a a 0a a 0 （2）分数指数幂的概

17、念正数的正分数指数幂的意义是：amnama0,m nN,且n10 的正分数指n数幂等于 0正数的负分数指数幂的意义是：am1mn1ma0,m nN,且n10nnaa的负分数指数幂没有意义（3）分数指数幂的运算性质留意口诀： 底数取倒数,指数取相反数arasarsa0, , r sRR arsarsa0, , r sRr abrr a ba0,b0,r【2.1.2 】指数函数及其性质（4）指数函数函数名称 指数函数word 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除定义y1y函数yxaxa0且a1叫做指数函数1图象a1ay0ayyaxy10,10,1定义域Ox0OxR值域0,时,y1图象过定点

18、 0,1 ,即当x过定点奇偶性在 R 上是减函数非奇非偶在 R 上是增函数单调性函数值的ax1 x0ax1 x0ax1 x0ax1 x0变化情形ax1 x0ax1 x0a 变化对图象的在第一象限内,a 越大图象越高；在其次象限内,a 越大图象越低影响2.2 对数函数【2.2.1 】对数与对数运算（1）对数的定义如axN a0,且a1,就 x 叫做以 a 为底 N 的对数, 记作xlog aN ,其中 a 叫做底数, N 叫做真数负数和零没有对数对数式与指数式的互化：xlogaNaxN a0,a1,N0（2）几个重要的对数恒等式log 10, logaa1, logaabb （3）常用对数与自然

19、对数word 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除常用对数： lg N ,即log10N ；自然对数： ln N ,即 log e N （其中e2.71828 ）（4）对数的运算性质假如a0,a1,M0,N0,那么b1加法： logaMlogaNlog aMN减法： log aMlogaNlogaM且N数乘：nlogaMlogaMnnR aloga NN0,nR logabMnnlogaM bbNb0,换底公式：logaNlogblogba【2.2.2 】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称yx函数ylogax a对数函数1叫做对数函数1logax定义0且aa1logaxy0a1x1

20、yy图象1,0定义域O1,0 x0,Ox值域在 0,R1时,y0过定点图象过定点 1,0 ,即当x奇偶性 上是减函数非奇非偶在 0, 上是增函数单调性word 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除函数值的logax0 x11logax0 x11logax0 x1logax0 x1变化情形logax0 0 xlogax0 0 xa 变化对 图 象 的在第一象限内,a 越大图象越靠低；在第四象限内,a 越大图象越靠高影响6 反函数的概念设函数 y f x 的定义域为 A,值域为C,从式子 y f x 中解出 x ,得式子x y 假如对于 y 在 C 中的任何一个值,通过式子 x y ,x在

21、 A 中都有唯独确定的值和它对应,那么式子 x 表示 x 是 y 的函数,函数 x 叫做函数y f x 的反函数,记作 x f 1 y ,习惯上改写成 y f 1 x （7）反函数的求法确定反函数的定义域,即原函数的值域；从原函数式 y f x 中反解出 x f 1 y ；将 x f 1 y 改写成 y f 1 x ,并注明反函数的定义域（8）反函数的性质原函数 y f x 与反函数 y f 1 x 的图象关于直线 y x 对称函数 y f x 的定义域、值域分别是其反函数 y f 1 x 的值域、定义域如 P a b 在原函数 y f x 的图象上,就 P b a 在反函数 , y f 1

22、x 的图象上一般地,函数 y f x 要有反函数就它必需为单调函数2.3 幂函数（1）幂函数的定义一般地,函数yx叫做幂函数,其中x 为自变量,是常数（2）幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限 图象关于 y 轴对称 ；是奇函数时,图象分布在第一、三象限图象关于原点对称 ；是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限过定点：全部的幂函数在 0, 都有定义,并且图象都通过点 1,1单调性：假如 0 ,就幂函数的图象过原点,并且在 0, 上为增函数假如word 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除0,就幂函数的图象在 0,

23、上为减函数, 在第一象限内, 图象无限接近 x 轴与 y 轴奇偶性： 当 为奇数时, 幂函数为奇函数, 当 为偶数时,幂函数为偶函数 当 qpq（其中p q 互质, p 和 qqZ ）,如 p 为奇数 q 为奇数时,就yxp是奇函数,如p 为q奇数 q 为偶数时,就yxp是偶函数,如p 为偶数 q 为奇数时,就yxp是非奇非偶函数图象特点： 幂函数yx,x0,当1时,如 0 x1,其图象在直线yx下方, 如x1,其图象在直线yx上方,当1时,如0 x1,其图象在直线yx上方,如x1,其图象在直线yx 下方（3）幂函数的图象补充学问二次函数（1）二次函数解析式的三种形式一般式：f x ax2bx

24、c a200顶点式：f x a xh2k a0两根式：f x a xx 1xxaword 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除（2）求二次函数解析式的方法已知三个点坐标时,宜用一般式已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时,常使用顶点式如已知抛物线与x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求f x 更便利（3）二次函数图象的性质二次函数 f x ax 2bx c a 0 的图象是一条抛物线,对称轴方程为 x b ,2 a2顶点坐标是 b, 4 ac b2 a 4 a当 a 0 时,抛物线开口向上,函数在 , b 上递减,在 b , 上递增,当2 a 2 a2x b

25、时,f min 4 ac b；当 a 0 时,抛物线开口向下, 函数在 , b 上2 a 4 a 2 a2递增,在 b , 上递减,当 x b时,f max 4 ac b2 a 2 a 4 a二次函数 f ax 2bx c a 0 当 b 24 ac 0 时,图象与 x 轴有两个交点M 1 x 1 ,0, M 2 x 2 ,0,| M M 2 | | x 1 x 2 | a |（4）一元二次方程 ax 2bx c 0 a 0 根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分学问在中学代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布2设一元二次方程 ax bx c 0 a 0 的两实根为 x x ,且 x 1 x 令2f x ax bx c ,从以下四个方面来分析此类问题：开口方向： a 对称轴位置：x b判别式：端点函数值符号2 a b 24ac 0kx1x2af k 0b 2akword 可编辑资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除ya0yxb0,并同时考fk02ak1xOx 2xk1xOx 2xx1x2kxbfk0a02a b24ac