2022-2023学年北京国子监中学高三数学文模拟试题含解析

1、2022-2023学年北京国子监中学高三数学文模拟试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ）（A） （B）（C）2 （D）1参考答案：A略2. 对于数列an，定义H0=为an的“优值”现已知某数列的“优值”H0=2n+1，记数列an20的前n项和为Sn，则Sn的最小值为（）A64B68C70D72参考答案：D【考点】数列的求和【分析】由an的“优值”的定义可知a1+2a2+2n1?an=n?2n+1，当n2时，a1+2a2+2n2?an1=（n1）?2n，则求得

2、an=2（n+1），则an20=2n18，由数列的单调性可知当n=8或9时，an20的前n项和为Sn，取最小值【解答】解：由题意可知：H0=2n+1，则a1+2a2+2n1?an=n?2n+1，当n2时，a1+2a2+2n2?an1=（n1）?2n，两式相减得：2n1?an=n?2n+1（n1）?2n，an=2（n+1），当n=1时成立，an20=2n18，当an200时，即n9时，故当n=8或9时，an20的前n项和为Sn，取最小值，最小值为S8=S9=72，故选D【点评】本题考查等差数列的通项公式，数列与函数单调性的应用，考查计算能力，属于中档题3. 集合= ( ）A B1 C0,1,2

3、D-1,0,1,2 参考答案：C4. 抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为（）A B1C2D3参考答案：B【考点】抛物线的简单性质【分析】利用抛物线的方程求出p即可得到结果【解答】解：抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为：p=1故选：B【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题5. 已知函数在区间(,0)内单调递增，且，若，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.参考答案：B因为且所以.又在区间内单调递增，且为偶函数，所以在区间内单调递减，所以所以故选B.6. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个质数的和”，

4、如.在不超过30的质数中（0和1既不是质数，也不是合数），随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ）A. B. C. D. 参考答案：C【分析】由已知条件找出小于30的所有质数，再在其中找出两个数的和等于30的数对，由古典概型可求得概率.【详解】小于30的质数有共10个，随机选取两个数共有种情况，其中两数相加等于30的有7和23、11和19、13和17共三种情况，根据古典概型，.故选：C.【点睛】本题主要考查古典概型，关键在于找出基本事件总数及所需求的事件中所包含的基本事件的个数，属于基础题.7. 如下图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且其体积为. 则该几何体的俯视图可以

5、是( ) 参考答案：D略8. 在中，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 （ ）A B. C. D. 参考答案：C略9. 设是虚数单位，则“”是“为纯虚数”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件参考答案：A，若为纯虚数，则，解得：，所以“”是“为纯虚数”的充分不必要条件。10. 设a，b是两个非零向量则下列命题为真命题的是A若|ab|a|b|，则abB若ab，则|ab|a|b|C若|ab|a|b|，则存在实数，使得abD若存在实数，使得ab，则|ab|a|b|参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设为等差数列的前

6、项和，若，则 参考答案：略12. 设F为抛物线的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，当且时，此抛物线的方程为 _ 参考答案：13. 设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则 参考答案：14. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y28x+15=0，若直线y=kx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是参考答案：【考点】圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系【分析】由于圆C的方程为（x4）2+y2=1，由题意可知，只需（x4）2+y2=1与直线y=kx2有公共点即可【解答】解：圆C的方程为x2+y28x+15=0，整理得：（x4）2+y2=1，

7、即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需圆C：（x4）2+y2=4与直线y=kx2有公共点即可设圆心C（4，0）到直线y=kx2的距离为d，则d=2，即3k24k0，0kk的最大值是故答案为：15. 已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n= .参考答案：4，令得：，解得16. 设P为曲线C：y=x2x+1上一点，曲线C在点P处的切线的斜率的范围是1，3，则点P纵坐标的取值范围是参考答案：，3略17. （09年湖北鄂州5月模拟文）一条光线从点(5，3)射入，与x轴正方向成角，遇x轴后反射，若ta

8、n3，则反射光线所在直线方程是_参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，P是椭圆C上的一个动点，且面积的最大值为.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线PF2斜率为，且PF2与椭圆C的另一个交点为Q，是否存在点，使得若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由.参考答案：(1) (2)见解析【分析】（1）由题可得当为的短轴顶点时，的面积有最大值，根据椭圆的性质得到、的方程，解方程即可得到椭圆的方程；（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立消去，得到关于的一元二次方程，表示出根与系数的关系，即可得到的中

9、点坐标，要使，则直线为线段的垂直平分线，利用直线垂直的关系即可得到关于的式子，再利用基本不等式即可求出的取值范围。【详解】解（1）当为的短轴顶点时，的面积有最大值所以，解得，故椭圆的方程为：.（2）设直线方程为，将代入，得；设，线段的中点为，即因为，所以直线为线段的垂直平分线，所以，则，即，所以，当时，因为，所以，当时，因为，所以.综上，存在点，使得，且的取值范围为.【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断以及基本不等式在解析几何中的应用，综合性强，难度大，具有一定的探索性。19. （12分）（2015?淄博一模）已知函数f（x）=sinxsin（+x）cos2x（

10、0），其图象两相邻对称轴间的距离为（）求的值；（）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（3，sinB）共线，求a，b的值参考答案：【考点】： 余弦定理；两角和与差的正弦函数【专题】： 三角函数的图像与性质；解三角形【分析】： （）化简函数解析式可得f（x）=sin（2x）1，由其图象两相邻对称轴间的距离为，可得最小正周期为T=，即可解得（）由（）可知sin（2C）=1，解得C=，由已知可得b3a=0，由余弦定理，又已知c=，即可解得7=a2+b2ab，联立方程可解得a，b的值解：（）f（x）=sinxsin（+x）cos2x=s

11、inxcosx=sin2xcos2x1=sin（2x）1其图象两相邻对称轴间的距离为最小正周期为T=，=1（）由（）可知：f（x）=sin（2x）1sin（2C）=10C，2C，2C=，即C=由已知可得sinB3sinA=0，在ABC中，由正弦定理可得b3a=0由余弦定理可得：c2=a2+b22abcosC，又已知c=7=a2+b2ab由联立，可解得：a=1，b=3【点评】： 本题主要考查了两角和与差的正弦函数的应用，考查了余弦定理的应用，三角函数周期公式的应用，属于基本知识的考查20. 已知函数f（x）=|x2|，g（x）=|x+3|+m（1）解关于x的不等式f（x）+a10（aR）；（2）

12、若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围参考答案：【考点】： 绝对值不等式的解法；函数恒成立问题【专题】： 计算题；压轴题【分析】： （1）不等式转化为|x2|+|a10，对参数a进行分类讨论，分类解不等式；（2）函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，可转化为不等式|x2|+|x+3|m恒成立，利用不等式的性质求出|x2|+|x+3|的最小值，就可以求出m的范围解：（）不等式f（x）+a10即为|x2|+a10，当a=1时，解集为x2，即（，2）（2，+）；当a1时，解集为全体实数R；当a1时，解集为（，a+1）（3a，+）（）f（x）的图象恒在函数g（x）图象的

13、上方，即为|x2|x+3|+m对任意实数x恒成立，即|x2|+|x+3|m恒成立，（7分）又由不等式的性质，对任意实数x恒有|x2|+|x+3|（x2）（x+3）|=5，于是得m5，故m的取值范围是（，5）【点评】： 本题考查绝对值不等式的解法，分类讨论的方法，以及不等式的性质，涉及面较广，知识性较强21. （本小题满分12分）如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂， ，.（1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在点，使平面？若存在，求出；若不存在，请说明理由.参考答案：（1）略；（2）；（3）点满足时，有平面试题分析：（1）取AB中点O，连接EO，DO利

14、用等腰三角形的性质，可得EOAB，证明边形OBCD为正方形，可得ABOD，利用线面垂直的判定可得AB平面EOD，从而可得ABED；（2）由平面ABE平面ABCD，且EOAB，可得EO平面ABCD，从而可得EOOD建立空间直角坐标系，确定平面ABE的一个法向量为,，利用向量的夹角公式，可求直线EC与平面ABE所成的角；（）存在点F，且时，有EC平面FBD确定平面FBD的法向量，证明即可.（2）因为平面平面，且，所以平面，所以.由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.因为三角形为等腰直角三角形，所以，设，所以，所以，平面的一个法向量为,设直线与平面所成的角为，所以,即直线与平面所成角的正弦值为.考点：用空间向量求直线与平面的