中考数学初中几何综合题

1、几何计算型综合问题【考点透视】几何计算型综合问题，是以计算为主线的综合各种几何知识的问题.在近年全国各地中考试卷中占有相当的分量.这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力，要求学生熟练掌握三角形、四边形、三角函数、圆等几何知识以及多种思维方式，较熟练地应用转化思想、方程思想、分类讨论思想数形结合思想等常见的数学思想.解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形，或通过添加辅助线补全或构造基本图形，并善于联想所学知

2、识，突破思维障碍，合理运用方程等各种数学思想才能解决.值得注意的是近年中考几何综合计算的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情境型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，在考查考生计算能力的同时，考查考生的阅读理解能力、动手操作能力、抽象思维能力、建模能力力求引导考生将数学知识运用到实际生活中去.【典型例题】例1在生活中需要测量一些球（如足球、篮球）的直径，某学校研究性学习小组，通过实验发现下面的测量方法：如图11-1，将球放在水平的桌面上，在阳光的斜射下，得到球的影子AB,设光线AD、CB分别与球相切于点E、F,则E、F即为球的直径.若测得AB的长为41.5cm,ZABC=37.请你

3、计算出球的直径（精确到1cm）（20XX年山东省济南市中考题）图11-1分析：本题实际上是解直角梯形ABFE中的问题,作AG丄CB于G,在RtAABG中，求出AG即可.解：作AG丄CB于G，TAD、CB分别与圆相切于E、F，.EF丄FG,EF丄EA，四边形AGFE是矩形，.AG=EF在RtAABG中，AB=41.5,ZABG=37,.AG=ABsinZABG=41.5Xsin3725.球的直径约为25cm.说明：将几何计算题与研究性学习问题和方案设计问题有机的结合起来，是近年中考题的又一热点.这类题一般难度不太大，关键是考查建模能力.例2.在边长为2的菱形ABCD中，ZB=45,AE为BC边上

4、的高，将AABE沿AE所在直线翻折得厶ABE,那么ABE与四边形AECD重叠部分的面积是.20XX年上海市中考题）分析：解答本题首先要根据题意，画出图形（如图11-2）然后根据对称性和相关几何知识进行求解解：在RtAABE中,VZB=45,AB=2,AE=BEr厅，定品=1由翻折知：AABE9AABE,EB=EB=J2ABC=BBBC=202-2,四边形ABCD是菱形，CFBA.CF=BC=2-辽ASBFCAZBFC=ZBAB=90,ZBCF=ZB=45AS阴=5-S=20)，则AE=2k,VAB为半圆O的直径，EAAF162.ZAEB=90.在RtAEB中，AE2+BE2=AB22k)2+k

5、2=122,BE=k=75说明：在相似形、圆等问题中渗透三角形函数知识、方程知识,围绕有关相似比、面积之比来命题是近年中考题命题又一新特点解这类题要善于把三角函数的值与线段比相互转化,并能设参数来表示有关线段,运用勾股定理或相似三角形的有关比例式来解决例6.已知：如图11-6与00相交于A、B两点，021在00上,00的弦BC切00与B,延长BO、CA交于点P,2211PB与00交于点D1求证：AC是001的切线；如果PD=1,00勺半径为2,求BC的长.（2002江苏省南京市中考题）分析：由于AC与OO有共公点A,只要证AC丄AO即可.欲证ADOC,借公共弦这一“桥梁”证ZACO=ZPAD,

6、11根据图形借助切割线及其推论或三角形相似，通过线段比来解决解：连结AO，1VBC是00勺切线，Z0BC=90,.四边形AOBC是OO的内接四边形，.Z0BC+Z0AC=180.AZ0AC=90，AAC是OO的切线1111连结ABPC切OO于点A.ZPAD=ZABP又ZACO=ZABO111.ZPAD=ZACOADOC11.PC是OO勺切线，PB是OO勺割线，PA2=PDPB/PD=1，PB=5,PA=f5AC、BC分别切OO】于A、B/.OB丄BC,OA丄PC/.ZPBC=ZPAO=90又ZP=ZP.PBCsPAOBCAO1PB，即BCPA2.BC=2/5说明：解几何计算综合题要善于把复杂的

7、几何图形“分解”为若干个基本图形，并综合这些基本图形的性质及图形中元素的内在联系去思考，则能快速找到解题途径.如本题若把原图分解为下列两个图形，贝y的解题思路一目了然.例7有一长方形的餐厅，长10m,宽7m,现只摆放两套同样大小的圆桌和椅子，一套圆桌和椅子占据的地面部分可看成半径为1.5m的圆形（如图1171所示）.在保证通道最狭窄处的宽度不小于0.5m的前提下，问此餐厅内能否摆下三套或四套同样大小的圆桌和椅子呢？请在摆放三套或四套的两种方案中选取一种，在右下方14X20方格纸内画出设计示意图.（提示：画出的圆应符合比例要求；为了保证示意图的清晰，请你在有把握后才将设计方案正式画在方格纸上）图

8、1172（20XX年江西省中考试题）分析：这是一道方案设计问题，图11-7-2中每一正方形小格宽度均表示0.5m，餐厅内能否摆下三套或四套同样大小的圆桌和椅子，就看能否在图11-7-2中画出三个或四个半径为三格宽的圆，并使圆与圆之间、圆与方格纸外边框之间的间距不少于一格，我们可以按画三个圆、画四个圆分别计算.解：此餐厅内能摆下三套和四套同样大小的圆桌和椅子.摆放三套与四套的设计方案参考图1173、图1174，只要满足如下条件：每个圆的半径为1.5cm；每个圆的圆心到方格纸外边框的距离不小于2cm任意两圆的圆心距不小于3.5cm.图1174说明：对于一道运用几何计算进行探索的综合型问题，要注意相

9、关的条件,可以先假设结论成立，然后通过计算求相应的值，再作存在性的判断.该试题是在考生容易想象的情境中考查学生用数学的能力，源于生活，打破常规，重视学生探究问题的能力的培养和动手操作意识的形成，这是今后中考试题的一个方向.图118【习题11】1如图11-8,在ABC中，已知BC=6,ZC=6O0sinA=O.8,求AB和AC的长.（结果保留根号）20XX年江苏省淮安市中考试题）如图11-9，挂着“庆祝凤凰广场竣工”条幅的氢气球升在广场上空，已知气球的直径为4m,在地面A点测得气球中心0的仰角Z0AD=60，测得气球的视角ZBAC=2（AB、AC为00的切线，B、C为切点）则气球中心0离地面的高

10、度0D为（）。（精确到1m，参考数据sin1=0.0178,=1.732）A94mB95mC99mD105m20XX年内蒙自治区鄂州市中考题）图1110如图11-10,R也ABC中，AC=5，BC=12，ZACB=90，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上的动点（与点B、C不重合）.如图，当PQAC，且Q为BC的中点时，求线段CP的长;当PQ与AC不平行时，ACPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ长的取值范围；若不可能，请说明理由.（20XX年广州市中考试题）图11114.如图11-11，将矩形ABCD（ABVAD）沿BD折叠后,AD于点F.若AB=4，BC=8，求

11、DF的长；AB若DA平分ZEDB,求的值.BC（20XX年江苏省泰州市中考试题）5.已知：如图11-12,AABC内接于00,以AC为直径的00交BC于D,AE切001于点A,交00于点E.连AD、E,若AC=7,AD=3丫；5?tanB求：BC的长；CE的长.20XX年江苏省无锡市中考试题)6.已知：如图1113,在半径为4的00中，AB、CD是两条直径,M为0B的中点，CM的延长线交00于点E,且EMMC，连结DDE,DE75.EBA图1113求EM的长；求sinZEOB的值.(20XX年河南省中考试题)7.如图1114，如图，BD是0O的直径，E是0O上的一点，直线AE交BD的延长线于点

12、A,BC丄AE于C,且ZCBE=ZDBEO求证：AC是0O的切线(2)若0O的半径为2,AE=处2,求DE的长。&如图11-15,正三角形ABC的边长为63cm,00的半径为rem，当圆心0从点A出发，沿着线路ABBCCA运动，回到点A时，00随着点0的运动而移动.若r=3cm,求00首次与BC边相切时，A0的长；在00移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况？写出不同情况下r的取值范围及相应的切点的个数；设00在整个移动过程中，在ABC内部，00未经过的部分面积为S,在S0时,求关于r的函数解析式，并写出自变量r的取值范围.9.如图11-16,已知OA、OB都经过点C,CD并延长

13、交OA于点E,连结AE.（1）求证:AE丄AB;求证：DEDC=2ADDB；如果DEDC=8,ae=3,求BC的长.（20XX年南昌市中考试题）BC是OA的切线，OB交AB于点D,连结图111620XX年盐城市中考试题）答案部分：【习题11】1_1过B点作ABC的高BD，则在RtBCD中，CD=-BC=3,BD=3.3,在RtABD中，AB=BDsinA=罟，心：ABF，从而，AC=AD+CD=3+44说明：遇到600、sinA应联想到解直角三角形，为了保证600、sinA的方便使用，应考虑由B点向AC作高；本题主要应用了锐角三角函数和勾股定理2.C3.在RtAABC中，AC=5,BC=12,

14、ZACB=90,.AB=13,VQ为BC的中点,ACQ=QB.AB13又.PQAC,AP=PB.即P是AB的中点.在RtAABC中，CP二可=.当PQ与AC不平行时，只有当ZCPQ=90。时，ACPQ才可能为直角三角形，以CQ为直径作半圆D,当半圆D与AB相切时，设切点为M,连结DM,则DM丄AB,且AC=AM=5,.MB=ABAM=135=8.设CD=x，则DM=x,DB=12x,在RtDMB中，DB2=DM2+MB2,102020即（12x）2=x2+82,解得=丁.CQ=2x=_y.即当CQ=t，点P运动到切点M位20置时，ACPQ为直角三角形当丁VCQV12时，半圆D与直线AB有两个交

15、点，当点P运动到这两个交点的位置时，CPQ为直角三角形.当OVCQV?时，半圆D与直线AB相离，即点P在AB边上运动时，均在半圆D夕卜，0ZCPQ90,此时CPQ不可能为直角三角形综上可知，当20WCQV12时，ACPQ可能为直角三角形.在矩形ABCD中，ADBC,：ZDBC=ZBDA，而ZDBC=ZDBE,：ZDBE=ZBDA,因此BF=DF,设BF=DF=x,则AF=EF=8x,在RtAAFB中，42+(8x)2=x2,解得x=5,即DF的长为5；若DA平分ZEDB，则ZBDC=ZBDE=2ZADB，而ZBDC+ZADB=90,AZADB=30,ABABBC=AD=tan30(1)VAC是

16、的直径,ZADC=90，由AC=7,AD=3戸,得DC=-JAC2一AD2=2在RtADB中，tanB=型=BD23-込BD=6,BC=BD+DC=8；MC,EM=4.1由知，EO=EM,作EF丄OB于F,则OF=MF=OB=1,在RtEOF中，4EF二生OE2OF2.4212,sinZEOB=EF-亜OE47.(1)证明：连结0已，在4OEB中，TOE=OB,ZOEB=ZOBE而ZCBE=ZDBE=Z0BEZ0EB=ZCBE,OE/BC又BC丄AE，AOE丄AC：点E在0O上,AC是0O的切线.(2)VAC切0O于EAE2-AD-AB，而AE-42DB-2OB=4,代入上式得：(取迈)2-A

17、D-(AD+4)，解得AD-4或AD-8(舍去).DEAD1由于AE2ADAB，ZAZA，.ADEAEBEBAE迈设DE=x，则在RtDEB中,BEf2x，.:x2+S2x)216解得4,x3DE3&设0O首次与BC相切于点D,连结OD,则有OD丄BC，且OD=r=y3.J3在RtABOD中，TZOBD=6O,OB=2.sin600.AO=ABOB=(6/32)cm.3在正ABC中,由AB=63得高AFAB9,2当0O的半径为9时，0O在移动过程中与厶ABC边共相切三次（圆心在三个顶点A、B、C处），切点个数为3；当0VrV9时，0O在移动过程中与AABC边共相切六次（O点在AB边与AC、BC各相切一次，同理在BC边与AB、AC各相切一次，在AC边与BC、AB各相切一次），切点个数为6；当r9时，0O在移动过程中与ABC边不相切，即切点个数为0.S0时，0O在移动过程中，在ABC内部未经过部分为正三角形ABC内部，这个正三角形与原正三角形三边平行，且平行线之间的距离为r,连接AA并延长AA分别交BC于E、F,则AF丄BC,A】EBC,且EF=r,又过Aj乍AG丄AB于G,则AG=r.ZGAA=30,AA=2r.:、ABC的高AE=AF3r=93r.111111jBC=AE=23(3-r).