中南大学概率论A考试试卷答案

1、中南大学概率论A考试试卷答案(共100分，48学时，学分3)一、填空题(本题15分，共5题，每题3分) TOC o 1-5 h z 315.设X,Y为两个随机变量，且 P(X 0,Y 0) , P(X 0) , P(Y 0)则8283P(max(X,Y) 0)。一4.将一枚硬币反复抛掷 n次，以X,Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X,Y的相关系数为13.设 f(x) ke x2 6x，一、,，1为一概率密度，则 k的值为 -9-=e .4.设 启他)为3,2上均匀分布的密度函数,f2(X)为标准正态分布的概率密度，若a1fl(x),x 0f(x) 1(a2 f2(x),x 0率密度则a

2、1,a2应满足_0.6a1 0.5a2 15.设随机变量X,其EXDX存在，则P(|XEX | 2TdX) _0.25二、选择题(本题 15分，共5题，每题3分) TOC o 1-5 h z .设X Y相互独立，X服从参数为1的0-1分布，Y服从参数为1的0-1分布，则方程 23s2 2sX Y 0中s有相同实根的概率为 C(A)1(B) 2(C) 1(D) 13326口 人，,，g ，一八一-C 1、，-，、 口，.设X,Y是两个相互独立且均服从正态分布N(0,-)的随机变量，则E(|X Y|) D(A) 0(B) 1(C) 0.5.某机器加工零件的次品率为 0.2, 一直加工到出现5件合格

3、品为止，X为加工 的次数，则X的分布律为 A_k _k _ _5_k _k _ _4_ k _k_ _5k 5(A) Ck 40.2 (0.8)(B) Ck 40.2 (0.8)(C) Ck 50.2 (0.8)(D) 0.2 (0.8)24、X : N( 1,)，若 P(X 3) a ,则 P( 3 X 1)=C(A) a(B) 1 a(C) 1 2a (D) 0.5 aX 一5、设二维随机变量(X,Y): N(0,0,1,1,0),则 P(t 0) B(A) 0.25(B) 0.5(C) 0.65(D) 1三、(10分)产品由甲、乙、丙三个工厂生产，各厂产品所占比重分别为0.2,0.3和0

4、.5.甲厂产品次品率为0.02 ,乙厂产品的次品率为 0.05,丙厂产品的次品率为0.03.现取一件产品，发现它是次品，问该产品恰为乙厂生产的概率。解：设产品由甲、乙、丙三厂生产用事件A,B,C表示，产品为次品用事件 D表示，则有 P(A)=0.2 , P(B)=0.3 , P(C)=0.5 , P(D|A)=0.02,P(D|B)=0.05 , P(D|C)=0.03.所求概率为：P(B|D)P(BD)P(D)0.3X0.050.2X0,02 0.3X0.05 0.5X0.031534四、(10分)设X: N(0,1),求Y 2X2 3的分布与密度函数。解：设Y的分布函数为FY(y),密度函

5、数为fY(y),有FyH) P(Y y),则当 y 3 时FY(y) 0；当 y 3 时 2 一FyH)P(Yy) P(2X 3 y)0, y 3Fy(Y)y32 (y2 ) 1, y 31一(),y 3求导得密度函数fY(y)为：fY(y)，2(y 3)0, othersX x(0 x 1)的条件下,五、(15分)设随机变量 X在区间(0,1)上服从均匀分布，在随机变量Y在区间(x 1,x 1)上的均匀分布，求:(1)随机变量X,Y的联合概率密度；求概率P(X Y 1)；(3) Y的边际密度fY(y)。解：(1) X的概率密度与在 X X (0 X 1)的条件下Y的条件概率密度分别为:fx(

6、X)1,0 x 10, others, x 1 y x 1fYix(ylx)20, others当 0 x 1, x 1y x 1时，随机变量 X,Y的联合概率密度为1,，f(x, y) fx (x) 丫供(y | x)，其它点处 f(x,y) 0,即有f(x, y)2，0 x 1,x 1 y x 10, others(2) P(X Y 1) 0.5y 12(3) fy(y) TOC o 1-5 h z ,、1f(x,y)dx=，1 0.5y,1 y 20, others六、(10分)假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障将导致全天停工，若一周5个工作日无故障，可获利润15万

7、元，发生一次故障，可获10万元，发生2次故障, 可获4万元，发生3次以及以上次故障将亏损10万元，求一周内期望利润为多少？解：设X表示随机变量一周内发生故障的天数，由题意知道X : B(5,0.2),从而_44P(X 1) 5 0.2 0.80.80.4096,P(X 2) 10 0.22 0.83 0.5 0.84 0.2048 , P(X 0) 0.85=0.32768,P(X 3) 0.05792故 一 周 内 期 望 利 润 为：EX 0.32768 15+0.4096 10+0.2048 4-0.05792 10=9.2512 (万元)七、(10分)船在海上航行，根据经验可知，海浪导

8、致船的竖直方向上倾斜角大于6度的概一，1率为，现在船经受了 100000次的海浪冲击，问船竖直方向上倾角大于6度的次数介于424800次到25300次的概率。解：可将货轮每遭受一次波浪冲击看作是一次试验，并认为实验是独立的。在100000次波浪冲击中，纵摇角度大于6硒次数记为X，利用德莫佛-拉普拉斯定理来求。P 24800 X 25300P 24800npX np25300npnp 1pnp1 p np 1p25300 np24800 npnp 1 pnp 1 p(1.46) 1.八、(8分)设X的分布函数为FX(x)继续且具有单值反函数，证明 Y FX(X): U (0,1)。解：设Y的分布函数为FY(y),则FY(y) P(Y y),从而当 y1 时，Fy(y) 1当 0 y 1 时，Fy(y) P(Y y) P(Fx(X) y) P(X FX1(y) y从而Y的分布函数与U (0,1)的分布函数相同，所以Y服从U(0,1)。九、(7分)设X1,X2相互独立，且均服从 N( , 2),试求Emax(X1,X2)。一 *X1.X。一一一解：令Y ，% ，则丫,丫2相互独立且均服从 N(0,1),且maxX1,X2 maxY1,Y2maxY1,Y21