2019-2020年北京初中数学竞赛 九年级 圆的专题

1、R2019-2020北京初中数学竞赛九年级圆的专题（含答案）1.求证：若半径为R的圆内接四边形对角线垂直，则以对角线交点到四边射影为顶点的四边形有内切圆，且此圆半径不大于2解析如图，已知圆内接四边形ABCD，ACBD，垂足为P，P在AB、BC、CD、DA上的射影分别为E、F、G、H，则由几组四点共圆易知EHFGAPsinBADCPsinBCDACsinBAD边形EFGH有内切圆AEHBPGFACBD2RD，同理EFHG也是此值，因此四四边形EFGH的内心于是内切圆半径rPFsinPFGPFsinACDPFPCsinACBC由于FEPCBDCADHEP，故EP平分FEH，同理HP、GP、FP平分

2、另外3个角，P为AD2RADPCABADPCPAR2R2R4R22R2R2取到等号仅当P为圆心时2.如图(a)，已知eO的直径为AB，eO过点O，且与eO内切于点BC为eO上的点，OC与eO11交于点D，且满足ODCD，点E在线段OD上，使得D为线段CE的中点，连结BE并延长，与eO交于点F，求证：BOCDOF11FDCFDCEOO1BAOEO1MB(a)(b)解析如图(b)，连结BD，因为OB为eO的直径，所以ODB90，结合DCDE，可得BDE1BDCIBCS设BC与eO交于点M，连结OM，则OMB90，于是OM平分COB，从而有1BOC2DOM2DBM2DBC2DBE2DBFDOF1又因

3、为BOC，DOF分别是等腰BOC，DOF的顶角，所以BOCDOF1113.I是ABC的内心，线段AI延长交ABC的外接圆于D，若AB3，AC4，且S求BCDBC，2，BC解析如图，设BC与AD交于E，则IEEDx，BDCDID2x，又设AEy，由于在等腰三角形BCD中，有熟知的结论BD2DE2BECEAEED，此即3x2yx，y3x，故ABACAI7BCIE2AlBECD4.在平面上给定等腰三角形ABC，其中ABAC，试在平面上找到所有符合要求的点M，使ABM、ACM都是等腰三角形解析要使ABM为等腰三角形，M必定在AB的垂直平分线上，或在以A、B为圆心、AB为半径的圆上ACM亦然这样得到3个

4、圆eA、eB、eCCAM1M5M3BBCM4M6M2e，在eA上除了B、C及其对径点B、C，其余的点都符合要求此外，还有6个点，即AB中垂线与eC的两个交点M、M，AC的中垂线与eB的两个交点M、M，B与eC的另一个交点M（不是A）12346两条中垂线的交点M（即ABC之外心），如图5何时M在直线AB上或A、C、M共线，此时A是三边长分别为1:2:2的等腰三角形的底角，此时12M、M、M、M均不符合要求；又A120时，六点变一点，且在eA上，A120时，只有M12345与M两点6评注读者可考虑ABC为不等边三角形时的情形5.已知：ABC中，ABAC，AD是高，P为AC上任一点，PC的中垂线RQ

5、交AD于R，求证：RPBDAC解析如图，易知RPRCRB，R为PBC外心，BRP2C180BAC，故A、B、R、P共圆，于是RPBBADDACAPQRBDC6.D、E、F分别在ABC的边BC、CA、AB上，则AEF、BFD、CDE的外接圆共点解析如图，设AEF、BFD的外接圆除F之外，还交于P，连结PD、PE、PF，则PECAFPBDP，故E、P、D、C共圆，证毕AFEPBDC题12.2.27.平面上有一条光线穿过该平面上的一圆，打在一条直径上并发生反射，最后穿出圆去，求证：这条光线与圆的两个交点、与直径的接触点以及圆心，该四点共圆解析如图，设这条光线为APB，EOF是题设中的直径，延长AP至

6、eO于C，则BPFAPECPF，B与C关于EF对称于是BPOCPO这样一来，便有OBPOCPOAP，于是A、O、P、B四点共圆ABEOPFC题12.2.3评注本题亦可利用圆心角证8.已知P为ABC外接圆的BC上一点，则P在直线AB、BC、CA的射影L、M、N共线解析如图，连结LM、MN，BP，CP，则由L、M、P、B共圆，M、P、N、C共圆及A、B、P、C共圆，得LMPNMPLMB90PCNLPBABP90180，故L、M、N共线ALBMCPN评注此线称为西摩松线反之，若三垂足共线，则P在ABC外接圆上9.四边形ABCD对角线交于O，AOCOBODO，O在AB、BC、CD、DA上的垂足分别是E

7、、F、G、H，求证：EFGHEHFG解析如图，易知A、B、C、D共圆AEHBDOFGC由A、E、O、H共圆，得EHAOsinA（A即BAD，余同），同理FGCOsinCCOsin(180A)COsinA，故EHFGACsinA，同理EFGHBDsinB而ACBDsinBsinA，于是上述结论成立解析如图，BCD180(CBDCDB)180BAD，故BCDBAD180，作BCD外评注读者不妨研究由EFGHEHFG能否得出A、B、C、D共圆10.已知凸四边形ABCD，BAC2BDC，CAD2CBD，求证：ABACAD12接圆，A在圆内、延长CA至圆于P连结PB、PD，则P、B、C、D四点共圆P于是

8、APDCBDCAD，故APDADP，PAAD，同理PAABA为PBD外心，也解析如图，不妨设P在BC上P在直线AB、BC上的射影分别是M、N，MN即为西摩松线ALABDC12即BCD之外心，于是ABACAD11.设圆内接ABC的垂心为H，P为圆周上任一点，求证：PH被P关于该三角形的西摩松线平分是高，延长后交圆于D，PN延长后交圆于Q，连结PD、QA、CD、BP则HCBBADDCB，得HLLDQRAHMBNLCE12.已知MON为eO直径，S在ON上，弦ASBMN，P在BM上，PS延长后交圆于Q，PN交ABPD又易知M、N、P、B共圆，因此ENPABPAQP，故MNAQ又作HRAQ，于是由四边

9、形AQPD为等腰梯形，知四边形HRPD也是等腰梯形，于是由知BC垂直平分HD，从而BC垂直平分RP由PNNR及MNERH，知MN必将PH平分于R，求证：QSRN1解析如图，连结MP、MR，知M、S、R、P共圆，于是RNSNQSMRSPMS，于是RNMRQSMSMAOSPRBQN13.已知锐角三角形ABC中，ABAC，ADBC于D，G、F分别在AB、AC上，GC、BF、AD交于H，若G、B、C、F共圆，则H为ABC之垂心解析如图，易知BDCD，今在BD上找一点E，使EDCD，连结AE、HE，则E与C关于AD对称于是由对称及G、B、C、F共圆，得ABHACHAEH，于是A、B、E、H共圆，故BAD

10、HECHCE，于是AGHHDC90，H为垂心AGFHBEDC14.已知ABC与ACD均为正三角形，过D任作一直线，分别交BA、BC延长线于E、F，CE与AF交于G，求证：GB平分AGCEADGBCF解析设ABBCACa，AEx，CFy，由ADBF，CDBE，则xyxaya1，去分母整理得xya2此即EDDFAEACEFEFACCF，又EAC120ACF，故EACACF，AGEGACACGGACAFC60，故A、B、C、G共圆，AGBACB60BACCGB15.设圆内接四边形ABCD，AB、DC延长交于E，AD、BC延长交于F，EF中点为G，AG与圆又交于K，求证：C、E、F、K四点共圆解析如图

11、，延长AG一倍至J，作平行四边形AEJF连结CK，则CEJADEAKC，于是E、C、K、J共圆，或K在CEJ的外接圆上ADBECKGFJ又EJFEAF180BCD180ECF，故E、C、F、J共圆，或F亦在CEJ的外接圆上于是C、E、J、F、K五点共圆，结论成立16.AD、BE是锐角三角形ABC的高，D、E是垂足，D在AB、AC上的射影分别是M、N，E在BC、AB上的射影分别是P、Q，求证：QNPM解析如图，连结ED、PN，则易知NPCDECABC，故NPABAQMEeqoac(,S)ABC，R为ABC外接圆NBDPC欲证四边形MPNQ为等腰梯形，只需证MNPQ即可由于A、M、D、N共圆，AD

12、为直径，故MNADsinA半径，同理PQ也是此值，因此结论成立ADBC2RR17.过两定点A、B的圆与定圆交于P、Q，求证：APAQBPBQ为定值解析如图，延长（或不延长）AP、BQ，可与定圆再分别交于M、N两点，则由四点共圆知BAPPQN180M，故ABMNAPMBQN于是四边形ABNM为梯形，AMsinABNsinB（A即BAP，余类似）；又由定圆性质知APAM为定值，BQBN亦为定值，故为定值，此即为定值但由正弦定理，APsinBBQsinAAPAMsinBAQBQBNsinABP，APAQ于是为定值BPBQ18.直角三角形ABC中，E、F分别是直角边AB、AC上的任意点，自A向BC、C

13、E、EF、FB引垂线，垂足分别是M、N、P、Q证明：M、N、P、Q四点共圆解析因A、E、N、P共圆，故CNPEAPAFP，因A、N、M、C共圆，故CNMCAM，又A、B、M、Q共圆，故MQBMAB，由A、P、Q、F共圆，得PQBFAP所以MNPMQP(CNMCNP)(MQBPQB)(CAMAFP)(MABFAP)(CAMMAB)(AFPFAP)9090180故M、N、P、Q共圆APFEQNBMC19.ABCD是圆内接四边形，AC是圆的直径，BDAC，AC与BD的交点为E，F在DA的延长线上，连结BF，G在BA的延长线上，使得DGBF，H在GF的延长线上，CHGF证明：B、E、F、H四点共圆解析

14、如图，连结BH、EF、CG因为BAFGAD，所以GFADAABAG，HBFAEDC又因为ABEACD，所以ABACEADA从而得FAACEAAG，解析如图，作AFBC，BEAD（E、F为垂足），则PEABPF设PG与EF交于K，2因为FAECAG，所以FAECAG，于是FEACGA由题设知，CBGCHG90，所以B、C、G、H四点共圆，得BHCBGC于是BHFBEFBHC90BEFBGC90BEFFEA90BEF180，所以，B、E、F、H四点共圆20.四边形ABCD内接于圆，P是AB的中点，PEAD，PFBC，PGCD，E，F，G为垂足，M是线段PG和EF的交点，求证：MEMF1111111

15、11因A、B、F、E共圆，所以CFEA180C，因此EFCD，PKEF，K是EF的1111111111中点（因PEF为等腰三角形），故PEKF为平行四边形（因P、E、K、F为四边形ABFE各边中1111点），因此MEMFDGCE1KEMF1FAPB评注本题亦可用面积法快速解决21.ABC中，AD、AE分别是高和中线，且都在三角形内部，求证：若DABCAEeqoac(,，则)ABC或者是等腰三角形，或者是直角三角形解析如图，D与E无非是三种位置关系，由对称性，可归结为两种：D与E重合，或D位于E的左侧AFBDEC若D与E重合时，ABC显然为等腰三角形若D在E的左侧，设AB中点为F，连接FD、FE

16、.则EF为中位线，由条件，知AEFCAEDABADF，故A、F、D、E共圆，于是BACBAEEACFDBADF9022.设A、B、C、D、E是单位半圆上依次五点，AE是直径，且ABa，BCb，CDc，DEd，证明：a2b2c2d2abcbcd4解析如图，连接CA、CE，则ACCE，设CAE，CEA，则由四点共圆及余弦定理，有：CBDAE4AE2AC2CE2a2b22abcosc2d22cdcosa2b2c2d2abCEcdAC，由于ABC，CDE90，故CECEc，ACBCb，代入，即得4a2b2c2d2abcbcd23.已知四边形ABCD内接于圆，点E、F分别为AB、CD上的动点，且满足AE

17、CFEBFD，又点P在EF上且满足PEABPFCD，证明：APD与BPC的面积之比与点E、F无关解析如图，不妨设AD、BC延长后交于S，由四点共圆知ABSCSF，又E、F分别是对应点，故ASECSF于是ESASABPEFSCSCDPF，于是SP平分ESF进而平分ASB，于是P至AD、BC距离相等，eqoac(,S)APDADeqoac(,S)BPCBC，与E、F无关（图中SE、SF、SP未画出）AEPDFBCSDABDOB，所以DABDOFADBC时，结论不变24.AB是圆O的直径，C为AB延长线上的一点，过点C作圆O的割线，与圆O交于D、E两点，OF是BOD的外接圆O的直径，连接CF并延长交

18、圆O于点G.求证：O、A、E、G四点共圆11解析如图，连接AD、DG、GA、GO、DB、EA、EOEGDFAO1OBC因为OF是等腰DOB的外接圆的直径，所以OF平分DOB，即DOB2DOF又12又DGFDOF，所以DABDGF，因此，G、A、C、D四点共圆所以AGCADC而AGCAGOOGFAGO90，ADCADBBDC90BDC，因此AGOBDC因为B、D、E、A四点共圆，所以BDCEAO，又OAOE，所以EAOAEO从而AGOAEO，所以，O、A、E、G四点共圆25.已知ABC中，ADBC于D，DMAC于M，DBAB于N，NM与BC延长线交于E，求证：111CDBDDE解析如图，延长DM，作EFDM于F，由FDEC