高二圆锥曲线知识点总结与例题

1、高二圆锥曲线知识点总结与例题分析一、椭圆1、椭圆概念平面内与两个定点、的距离的和等于常数2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若为椭圆上任意一点，则有。椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上） 或（）（焦点在y轴上）。注：以上方程中的大小，其中；在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。例如椭圆（，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。2、椭圆的性质范围：由标准方程知，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；对称性：椭圆关于轴、轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；四

2、个顶点： ，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，且，即；离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。3、点与椭圆的关系点和椭圆（）的关系：（1）点在椭圆外；（2）点在椭圆上1；（3）点在椭圆内二、双曲线1、双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线。注意：式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支（含的一支）；当时，表示两条射线； 当时，不表示任何图形； 两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。椭圆和双曲线比较：椭 圆双 曲 线定义方程焦点注意：要分

3、清焦点的位置，由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上2、双曲线的性质范围：从标准方程，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧。对称性：坐标轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。两个顶点：实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。渐近线：，围成的矩形的两条对角线，称为双曲线的渐近线。双曲线渐近线为。等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：；2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为： ；（2）渐近线互相垂直（3）离心率为。3）注意到等轴双曲线的

4、特征，则等轴双曲线可以设为： ，当时交点在轴，当时焦点在轴上。三、抛物线（1）抛物线的概念平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。方程叫做抛物线的标准方程。注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（,0），它的准线方程是 ；（2）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：标准方程图形焦点坐标准线方程范围对称性轴轴轴轴顶点离心率说明：（1）焦点在一次

5、项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离。四、直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：直线与椭圆相交； 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。（2）相切：直线与椭圆相切；直线与双曲线

6、相切；直线与抛物线相切；（3）相离：直线与椭圆相离；直线与双曲线相离；直线与抛物线相离。特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。五、弦长公式直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为,则它的弦长注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为，运用韦达定理来进行计算.当直线斜率不存在是,则.六、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜

7、率k=。高二圆锥曲线例题分析例1、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上运动，则的最大值是 解：. 例2、 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点，为中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程解：由题意，设椭圆方程为，由，得，为所求例3 设双曲线上两点A、B，AB中点M（1，2），求直线AB方程；解：方法一：显然AB斜率存在设AB：y-2=k(x-1) 由得：(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0当0时，设A（x1,y1），B（x2,y2） 则 k=1，满足0 直线AB：y=x+1 法二：设A（x1,y1），B（x2,y2）则两式相减得：(x1-x2)(x1+x2

8、)=(y1-y2)(y1+y2) x1x2 AB：y=x+1代入得：0评注：法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。在利用点差法时，必须检验条件0是否成立。例4. 椭圆中心是坐标原点O，焦点在x轴上，e=，过椭圆左焦点F的直线交椭圆于P、Q两点，|PQ|=，且OPOQ，求此椭圆的方程.解:设椭圆方程为+=1,(ab0)PQx轴时，F(-c,0)，|FP|=，又|FQ|=|FP|且OPOQ，|OF|=|FP|,即c=ac=a2-c2,e2+e-1=0,e=与题设e=不符,所以PQ不垂直x轴.PQy=k(x+c),P(x1,y1),Q(x2,y2),e=,a2=c

9、2,b2=c2,所以椭圆方程可化为:3x2+12y2-4c2=0,将PQ方程代入，得(3+12k2)x2+24k2cx+12k2c2-4c2=0,x1+x2=,x1x2=由|PQ|=得=OPOQ,= -1即x1x2+y1y2=0,(1+k2)x1x2+k2c(x1+x2)+c2k2=0把，代入，解得k2=，把代入解得c2=3a2=4,b2=1，则所求椭圆方程为+y2=1.例5. 双曲线3x2-y2=1上是否存在关于直线y=2x对称的两点A、B?若存在，试求出A、B两点的坐标；若不存在，说明理由.解：设AB：y=x+m,代入双曲线方程得11x2+4mx4(m2+1)=0,这里=(4m)24114

10、(m2+1)=16(2m2+11)0恒成立，设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),则x1+x2=，x0=,y0=x0+m=,若A、B关于直线y=2x对称，则M必在直线y=2x上，=得m=1，由双曲线的对称性知，直线y=x与双曲线的交点的A、B必关于直线y=2x对称.存在A、B且求得A(，)，B(，)例6、求椭圆上的点到直线的距离的最小值解：方法一：方法二：设椭圆上的点为，则距离为当时，例7、设，求的最大值和最小值分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程与椭圆方程的结构一致设，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值解：由，得 可见它表示一

11、个椭圆，其中心在点，焦点在轴上，且过（0，0）点和（3，0）点设，则 它表示一个圆，其圆心为（1，0）半径为在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即，此时；当圆过（3，0）点时，半径最大，即，的最小值为0，最大值为15例8、已知椭圆内有一点，、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点求的最大值、最小值及对应的点坐标； 解：(1)如上图，设是椭圆上任一点，由，等号仅当时成立，此时、共线由，等号仅当时成立，此时、共线建立、的直线方程，解方程组得两交点 、综上所述，点与重合时，取最小值，点与重合时，取最大值例9、设椭圆ax2by21与直线xy10相交于A、B

12、两点，点C是AB的中点，若|AB|2eq r(2)，OC的斜率为eq f(r(2),2)，求椭圆的方程解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么A、B的坐标是方程组eq blcrc (avs4alco1(ax2by21，,xy10)的解由axeq oal(2,1)byeq oal(2,1)1，axeq oal(2,2)byeq oal(2,2)1，两式相减，得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0，因为eq f(y1y2,x1x2)1，所以eq f(y1y2,x1x2)eq f(a,b)，即eq f(2yC,2xC)eq f(a,b)，eq f(yC,xC)eq f(a,b

13、)eq f(r(2),2)，所以beq r(2)a.再由方程组消去y得(ab)x22bxb10，由|AB|eq r(x1x2)2(y1y2)2)eq r(2(x1x2)2)eq r(2(x1x2)24x1x2)2eq r(2)，得(x1x2)24x1x24，即(eq f(2b,ab)24eq f(b1,ab)4.由解得aeq f(1,3)，beq f(r(2),3)，故所求的椭圆的方程为eq f(x2,3)eq f(r(2)y2,3)1.例10、给定抛物线C：y24x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，记O为坐标原点(1)求的值；(2)设，当OAB的面积S2，eq r(5) 时

14、，求的取值范围解：(1)根据抛物线的方程可得焦点F(1,0)，设直线l的方程为xmy1，将其与C的方程联立，消去x可得y24my40.设A，B点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(y10y2)，则y1y24.因为yeq oal(2,1)4x1，yeq oal(2,2)4x2，所以x1x2eq f(1,16)yeq oal(2,1)yeq oal(2,2)1，故x1x2y1y23.(2)因为，所以(1x1，y1)(x21，y2)，即eq blcrc (avs4alco1(1x1x2，,y1y2，)又yeq oal(2,1)4x1， yeq oal(2,2)4x2， 由消去y1，y2后，得

15、到x12x2，将其代入，注意到0，解得x2eq f(1,).从而可得y2eq f(2,r()，y12eq r()，故OAB的面积Seq f(1,2)|OF|y1y2|eq r()eq f(1,r()，因eq r()eq f(1,r()2恒成立，所以只要解eq r()eq f(1,r()eq r(5)即可，解之得eq f(3r(5),2)eq f(3r(5),2).例11、已知O为坐标原点，点A、B分别在x轴，y轴上运动，且|AB|8，动点P满足eq f(3,5)，设点P的轨迹为曲线C，定点为M(4,0)，直线PM交曲线C于另外一点Q.(1)求曲线C的方程；(2)求OPQ面积的最大值解：(1)设

16、A(a,0)，B(0，b)，P(x，y)，则(xa，y)，(x，by)，eq f(3,5)，eq blcrc (avs4alco1(xaf(3,5)x，,yf(3,5)(by).)aeq f(8,5)x，beq f(8,3)y.又|AB|eq r(a2b2)8，eq f(x2,25)eq f(y2,9)1.曲线C的方程为eq f(x2,25)eq f(y2,9)1.(2)由(1)可知，M(4,0)为椭圆eq f(x2,25)eq f(y2,9)1的右焦点，设直线PM方程为xmy4，由eq blcrc (avs4alco1(f(x2,25)f(y2,9)1，,xmy4，)消去x得(9m225)y272my810，|yPyQ|eq f(r(72m)24(9m225)81),