抛物线复习教学课件和练习版

1、第六节 抛 物 线1.抛物线的定义满足以下三个条件的点的集合是抛物线：(1)在平面内.(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离_.(3)定点_定直线.相等不过2.抛物线的标准方程与简单性质标准方程_(p0)_(p0)_(p0)_(p0)P的几何意义：焦点F到准线l的距离图形 y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py顶点_对称轴 _(x轴)_(y轴) 焦点坐标F_F_F_F_离心率 e=_O(0,0) y=0 x=01准线方程_范围_焦半径(其中P(x0,y0)|PF|=_|PF|= _|PF|=_|PF|= _x0,yRx0,yRy0,xRy0,xR 判断下面结论是否正确(请在括

2、号中打“”或“”).(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )(2)方程y=ax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是( ,0)，准线方程是x= .( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( ) (4)AB为抛物线y2=2px(p0)的过焦点F( ,0)的弦，若A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1x2= ,y1y2=-p2，弦长|AB|=x1+x2 +p. ( ) 【解析】(1)错误.当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛物线.(2)错误.方程y=ax2(a0)可化为x2= y，是焦点在y轴上

3、的抛物线，且其焦点坐标是(0, )，准线方程是y=- .(3)错误.抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形,不是中心对称图形.(4)正确.当AB斜率不存在时，AB方程为x= ，结论显然成立；当AB斜率存在时，设AB的方程为y=k(x- ),与y2=2px(p0)联立消去y得：k2x2-p(2+k2)x+ =0, 又y1=k(x1- ),y2=k(x2- ),y1y2=k2x1x2- (x1+x2)+ 由抛物线定义得：|AF|=x1+ ,|BF|=x2+ ,|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p.答案：(1) (2) (3) (4)1.坐标平面内到定点F(-1，0)的距离和到定直线l:x=1的

4、距离相等的点的轨迹方程是( )(A)y2=2x (B)y2=-2x(C)y2=4x (D)y2=-4x【解析】选D.由抛物线的定义知点的轨迹是以F(-1,0)为焦点的抛物线，且 =1,p=2，故方程为y2=-4x.2.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆 的右焦点重合，则p的值为( )(A)-2 (B)2 (C)-4 (D)4【解析】选D.椭圆 的右焦点为（2，0），所以3.抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5【解析】选D.由抛物线定义得|AF|=4+ =4+ =5.4.抛物线y=8x2的准线方程为( )(A)x=-2 (B)

5、 (C) (D) 【解析】选D.抛物线y=8x2的标准方程为x2= y， 焦点在y轴上，且2p= ,p= ,准线方程为y= - .5.线段AB是抛物线y2=x的一条焦点弦，若|AB|4，则弦AB的中点到直线x+ =0的距离等于_.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2)则|AB|=x1+x2+ =4,x1+x2= ,弦AB的中点的横坐标为中点到直线x+ =0的距离为：答案：考向 1 抛物线的定义及其应用 【典例1】(1)(2013九江模拟)已知动圆过定点F( ,0)，且与直线x=- 相切，其中p0,则动圆圆心的轨迹E的方程为_.(2)(2012安徽高考)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该

6、抛物线于A，B两点，若|AF|3，则|BF|_.(3) 已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为_.【思路点拨】（1）根据已知条件得到动点满足的等量关系，再结合抛物线定义，先定形状，再求方程.（2）利用抛物线的定义求出A点坐标，将直线AF的方程与y2=4x联立，求出B点坐标，再利用抛物线定义求出|BF|.（3）利用抛物线的定义，将点P到准线的距离转化为点P到焦点的距离，数形结合求解.【规范解答】(1)设M为动圆圆心，过点M作直线x=- 的垂线，垂足为N，由题意知|MF|=|MN|，即动点M到定点F( ,0)与定直线x=- 的距离

7、相等，由抛物线定义知，点M的轨迹为抛物线，其中F( ,0)为焦点，x=- 为准线，所以轨迹方程为y2=2px(p0).答案：y2=2px(p0) （2）由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又|AF|=3，由抛物线定义知，点A到准线x=-1的距离为3，点A的横坐标为2，将x=2代入y2=4x，得y2=8,不妨设A在第一象限，所以y=A(2, ),直线AF的方程为y= (x-1).又 解得由图知，点B的坐标为( ),|BF|= .A在第四象限时，同理|BF|=答案：(3)如图，由抛物线的定义知，点P到该抛物线的准线的距离等于点P到其焦点的距离，因此点P到点(0，2)的距离与点P到该抛物线准

8、线的距离之和即为点P到点(0，2)的距离与点P到焦点的距离之和，显然当P0，F，(0，2)三点共线时，距离之和取得最小值，最小值等于答案：【互动探究】在本例题(2)的条件下，如何求AOB的面积？【解析】由题(2)的解析知A(2, ),B( ,- ),SAOB = |OF|yA-yB|=【拓展提升】利用抛物线的定义可解决的两类问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线.(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意两者之间的转化在解题中的应用.【变式备选】直线l经过抛物线y2=2px（p0）的焦点F，且与抛物线交于P，Q两点，由

9、P，Q分别向准线引垂线PR，QS，垂足分别为R，S，如果|PF|=a，|QF|=b，M为RS的中点，则|MF|为 ( )(A)a+b (B) （a+b）(C)ab (D) 【解析】选D.如图所示，由抛物线定义知 ，连结RF，SF，则RFS=90.又M是中点，考向 2 抛物线的标准方程与简单性质【典例2】(1)(2012山东高考)已知双曲线C1： 的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )(A)x2= y (B)x2= y(C)x2=8y (D)x2=16y（2）（2013宝鸡模拟）以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P（-

10、2，-4）的抛物线方程为_.【思路点拨】(1)先利用离心率为2，求出渐近线方程，再利用焦点到渐近线的距离为2构建方程求p，从而求解.(2)利用待定系数法求解，根据题设条件，按焦点所在位置的可能情况，分类讨论.【规范解答】(1)选D.因为双曲线C1： 的离心率为2， ,b= a,双曲线的渐近线方程为 xy=0,抛物线C2:x2=2py(p0)的焦点F(0, )到双曲线C1的渐近线的距离为 ,p=8.所求的抛物线方程为x2=16y.(2)由于点P在第三象限.当焦点在x轴负半轴上时，设方程为y2=-2px（p0），把点P（-2，-4）代入得：(-4)2=-2p(-2)，解得p=4，抛物线方程为y2=

11、-8x.当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2=-2py（p0），把点P（-2，-4）代入得：(-2)2=-2p（-4）.解得抛物线方程为x2=-y,综上可知抛物线方程为y2=-8x或x2=-y.答案：y2=-8x或x2=-y【拓展提升】1.求抛物线的标准方程的方法及流程(1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可.(2)流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量.2.确定及应用抛物线性质的关键与技巧(1)关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程.(2)技巧：要结合图形分析，灵

12、活运用平面几何的性质以图助解.【变式训练】(1)(2013蚌埠模拟)已知抛物线y2=2px(p0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0 相切，则p的值为( )(A) (B)1 (C)2 (D)4【解析】选C.由y2=2px，得抛物线准线方程为x=- ，圆x2+y2-6x-7=0可化为(x-3)2+y2=16，由圆心到准线的距离等于半径得：3+ =4，所以p=2.(2)焦点在直线x-2y-4=0上的抛物线的标准方程是_.【解析】令x=0得y=-2；令y=0,得x=4.抛物线的焦点为(4，0)或(0，-2).当焦点为(4，0)时， =4,p=8,此时抛物线方程为y2=16x；当焦点为(0，-2)时，

13、 =2，p=4,此时抛物线方程为x2=-8y.所求抛物线方程为y2=16x或x2=-8y.答案：y2=16x或x2=-8y考向 3 直线与抛物线的综合问题【典例3】(2013南昌模拟)如图所示，F是抛物线x2=2py(p0)的焦点，点R(1，4)为抛物线内一定点，点Q为抛物线上一动点，|QR|+|QF|的最小值为5.(1)求抛物线的方程.(2)已知过点P(0，-1)的直线l与抛物线x2=2py(p0)相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，l1，l2分别是该抛物线在A，B两点处的切线，M，N分别是l1，l2与直线y=-1的交点.求直线l的斜率的取值范围，并证明|PM|=|PN|.【思路点

14、拨】(1)利用抛物线定义，并数形结合寻找到|QR|+|QF|取最小值为5的条件，构建p的方程求解.(2)建立l的方程并与x2=2py(p0)联立消去y得一元二次方程，使判别式0求斜率的取值范围，再建立l1，l2的方程，只需证明xM+xN=0即xN=-xM即可.【规范解答】(1)设抛物线的准线为l,过Q作QQl于Q，过R作RRl于R，由抛物线定义知|QF|=|QQ|，|QR|+|QF|=|QR|+|QQ|RR|(折线段大于垂线段)，当且仅当R，Q，R三点共线时取等号.由题意知|RR|5，即4+ =5p=2，故抛物线的方程为x2=4y.（2）由已知条件可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l:y=k

15、x-1,则 x2-4kx+4=0 依题意，有=16k2-160k1.由x2=4yy= x2y= x,所以抛物线在A处的切线l1的方程为令y=-1,得注意到x1,x2是方程的两个实根，故x1x2=4,即x2= ,从而有 因此，|PM|=|PN|.【拓展提升】1.直线与抛物线的位置关系问题设直线方程Ax+By+C=0与抛物线方程y2=2px(p0)联立，消去x得到关于y的方程my2+ny+l=0.(1)位置关系与其判别式的关系(2)相交问题的求解通法涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系，采用“设而不求”“整体代入”等解法.【提醒】涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解

16、.2.与焦点弦有关的常用结论(如图所示)(1) (2)|AB|=x1+x2+p= (为AB的倾斜角).(3)SAOB = (为AB倾斜角).(4) (5)以AB为直径的圆与准线相切.(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切.(7)CFD=90.【变式训练】(2013宁德模拟)已知抛物线C:y=mx2(m0)，焦点为F，直线2x-y+2=0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)求抛物线C的焦点坐标.(2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值.(3)是否存在实数m,使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不

17、存在，说明理由.【解析】(1)抛物线C：x2= y,它的焦点F(0, ).(2)|RF|=yR+ ,2+ =3,得m= .(3)存在.联立方程消去y得mx2-2x-2=0,依题意，有=(-2)2-4m(-2)0m- .设A(x1, ),B(x2, ),则P是线段AB的中点，P( ),即P( ,yP),Q( ， ).得 =(x1- , - ),若存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则 =0,即(x1- )(x2- )+( - )( - )=0,结合(*)化简得即2m2-3m-2=0，m=2或m=- ,而2(- ,+),- (- ,+).存在实数m=2，使ABQ是以Q为直角顶点的直角

18、三角形.【满分指导】解答直线与抛物线的综合题【典例】(12分)(2012新课标全国卷)设抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F，准线为l,A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点.(1)若BFD=90,ABD的面积为4 ，求p的值及圆F的方程.(2)若A,B,F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值.【思路点拨】【规范解答】(1)由抛物线的对称性可得BFD为等腰直角三角形，BD|=2p,圆F的半径|FA| p.由抛线线定义可知A到l的距离d=|FA|= p.因为ABD的面积为4 ,所以 |BD|d=4 ，即 ，解得p=-

19、2(舍去)或p=2. 3分所以F(0，1)，圆F的方程为x2+(y-1)2=8. 5分(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，ADB=90.由抛物线定义知|AD|=|FA|= |AB|,所以ABD=30,m的斜率为 或 .7分当m的斜率为 时，由已知可设n:y= x+b，代入x2=2py得x2- px-2pb=0.由于n与C只有一个公共点，故= p2+8pb=0，解得b=-因为m的纵截距b1= ， ,所以坐标原点到m,n距离的比值为3.当m的斜率为- 时，由图形对称性可知，坐标原点到m,n距离的比值为3. 12分【失分警示】(下文见规范解答过程)1.(2013合肥模拟)已

20、知抛物线C:y=4x2，若存在定点A与定直线l,使得抛物线C上任一点P，都有点P到点A的距离与点P到l的距离相等，则定点A到定直线l的距离为( )(A) (B) (C)2 (D)4 【解析】选A.由题意知定点A即为焦点(0， )，定直线l即为准线y= - ，于是定点A到定直线l的距离为 .2.(2012陕西高考)如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽_米.【解析】建立适当的坐标系，如图所示，设抛物线方程为x2=-2py(p0)，则点(2，-2)在此抛物线上，代入可求出抛物线的方程是x2=-2y,当y=-3时x2=-2(-3)=6，所以x= ,水面宽

21、是2 米.答案：23.(2012北京高考)在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60，则OAF的面积为_.【解析】抛物线y2=4x的焦点F(1,0),直线l : 由 解得A(3,2 ),B( ,- ),所以SOAF = 12 = .答案： 4.(2012浙江高考)如图，在直角坐标系xOy中，点P(1, )到抛物线C：y2=2px(p0)的准线的距离为 ，点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分.(1)求p,t的值.(2)求ABP面积的最大值.【解析】(1)点P(1, )到抛物

22、线C:y2=2px(p0)的准线的距离为 ，可得准线方程为x= - ,所以抛物线C:y2=x,p= .点M(t,1)是C上的点，所以t=1.(2)设动点A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为k,线段AB的中点为Q(m,m),由 得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2 ,所以2km=1.直线AB的方程为y-m= (x-m),即x-2my+2m2-m=0,由消去x，整理得y2-2my+2m2-m=0.所以=4m-4m20,y1+y2=2m,y1y2=2m2-m,从而|AB|=设点P到直线AB的距离为d,则d设ABP的面积为S，则S= |AB|d=|1-2m+2m2| ,由=4m-

23、4m20可得0m1.令u= ,0u ,则S=u(1-2u2),设S(u)=u(1-2u2),00，得m2+n0,y1+y2=4m,y1y2=-4n.APAQ, (x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2)=0.(y1-2)(y2-2)(y1+2)(y2+2)+16=0,(y1-2)(y2-2)=0或(y1+2)(y2+2)+16=0.n=1-2m或n=2m+5,0恒成立，n=2m+5.直线PQ的方程为x-5=m(y+2),直线PQ过定点(5,-2).(2)存在.假设存在以PQ为底边的等腰三角形APQ，由第(1)问可知，将n用2m+5代换得直线PQ的方程为x=my+2m+5.又点P,Q的坐

24、标分别为P(x1,y1),Q(x2,y2)，由 消x,得y2-4my-8m-20=0.y1+y2=4m,y1y2=-8m-20.线段PQ的中点坐标为PQ的中点坐标为(2m2+2m+5,2m).由已知得即m3+m2+3m-1=0,设g(m)=m3+m2+3m-1，则g(m)=3m2+2m+30,g(m)在R上是增函数.又g(0)=-10,g(m)在(0,1)内有一个零点.函数g(m)在R上有且只有一个零点，即方程m3+m2+3m-1=0在R上有唯一实根，所以满足条件的等腰三角形有且只有一个.现代人每天生活在纷繁、复杂的社会当中，紧张、高速的节奏让人难得有休闲和放松的时光。人们在奋斗事业的搏斗中深

25、感身心的疲惫。然而，如果你细心观察，你会发现作为现代人，其实人们每天都在尽可能的放松自己，调整生活节奏，追求充实快乐的人生。看似纷繁的社会里，人们的生活方式其实也不复杂。大家在忙忙碌碌中体味着平凡的人生乐趣。由此我悟出一个道理，那就是-生活简单就是幸福。生活简单就是幸福。一首优美的音乐、一支喜爱的歌曲，会让你心境开朗。你可以静静地欣赏你喜爱的音乐，可以在流荡的旋律中回忆些什么，或者什么都不去想；你可以一个人在房间里大声的放着摇滚，也可以在网上用耳麦与远方的朋友静静地共享；你还可以一边放送着音乐，一边做着家务.生活简单就是幸福。一杯清茶，或一杯咖啡，放在你的桌边，你的心情格外的怡然。你可以浏览当

26、天的报纸，了解最新的国内外动态，哪怕是街头趣闻；或者捧一本自己喜欢的杂志、小说，从字里行间获得那种特别的轻松和愉悦.生活简单就是幸福。经过精心的烹制，一桌可心的菜肴就在你的面前，你招呼家人快来品尝，再备上最喜欢的美酒，这是多么难得的享受！生活简单就是幸福。春暖花开的季节，或是清风送爽的金秋，你和家人一起，或是朋友结伴，走出户外，来一次假日的郊游，享受大自然带给你的美丽、芬芳。吸一口新鲜的空气，忘却都市的喧嚣，身心仿佛受到一番洗涤，这是一种什么样的轻松感受！生活简单就是幸福。你参加朋友们的一次聚会，那久违的感觉带给你温馨和激动，在觥酬交错之间你享受与回味真挚的友情。朋友，是那样的弥足珍贵.生活简

27、单就是幸福。周末的夜晚，一家老小围坐在电视机旁，尽享团圆的欢乐现代人越来越会生活，越来越会用各种不同的方式来放松自己。垂钓、上网、打牌、玩球、唱卡拉OK、下棋.不一而足。人们根据自己的兴趣爱好寻找放松身心的最佳方式，在相对固定的社交圈子里怡然的生活，而且不断的扩大交往的圈子，结交新的朋友有时，你会为新添置的一套漂亮时装而快乐无比；有时，你会为孩子的一次小考成绩优异而倍感欣慰；有时，你会为刚参加的一项比赛拿了名次而喜不自胜；有时，你会为完成了上司交给的一个任务而信心大增生活简单就是幸福！生活简单就是幸福，不意味着我们放弃了对目标的追逐，是在忙碌中的停歇，是身心的恢复和调整，是下一步冲刺的前奏，是

28、以饱满的精力和旺盛的热情去投入新的“战斗”的一个“驿站”；生活简单就是幸福，不意味着我们放弃了对生活的热爱，是于点点滴滴中去积累人生，在平平淡淡中寻求充实和快乐。放下沉重的负累，敞开明丽的心扉，去过好你的每一天。生活简单就是幸福！我的心徜徉于春风又绿的江南岸，纯粹，清透，雀跃，欣喜。原来，真正的愉悦感莫过于触摸到一颗不染的初心。人到中年，初心依然，纯真依然，情怀依然，幸甚至哉。生而为人，芳华刹那，真的不必太多要求，一盏茶，一本书，一颗笃静的心，三两心灵知己，兴趣爱好一二，足矣。亦舒说：“什么叫做理想生活？不用吃得太好穿得太好住得太好，但必需自由自在，不感到任何压力，不做工作的奴隶，不受名利的支

29、配，有志同道合的伴侣，活泼可爱的孩子，丰衣足食，已经算是理想。”时间如此猝不及防，生命如此仓促，忠于自己的内心才是真正的勇敢，以不张扬的姿态，将自己活成一道独一无二的风景，才是最大的成功。试问，你有多久没有靠在门槛上看月亮了，你有多久没有在家门口的那棵大树下乘凉了，你有多久没有因为一个人一件事而心生感动了，你又有多久没有审视自己的内心了？与命运的较量中，我们被迫前行，却忘记了来时的方向；我们习惯了飞翔，却成了无脚的鸟。年轻时我们并不了解自己，不知道自己需要什么。不知道什么才是自己最想要的，什么才是最适合自己的，自己又是怎么样的一个人。”时光叠加，沧桑有痕，终究懂得，漫漫人生路，得失爱恨别离，不

30、过是生命的常态。原来，人生最曼妙的风景，就是那颗没被俗世河流污染的初心。大千世界，有很多的东西可以去热爱，或许一株风中摇曳的小草，一朵迎风招展的小花，一条弯弯曲曲的小河，都足够让我们触摸迷失的初心。紫陌红尘，芸芸众生，皆是过客。若时光允许，我愿意一生柔软，爱了樱桃，爱芭蕉，静守于轮回的渡口，揣一颗云水禅心，将寂寞坐断，将孤独守成一帧最美的山水画卷。一直渴盼着，与心悦的人相守于古朴的小院，守着老旧的光阴，只闻花香，不谈悲喜，读书喝茶，不争朝夕。阳光暖一点，再暖一点，日子慢一些，再慢一些，从容而优雅地老去。浮生荡荡，阳春白雪，触目横斜千万朵，赏心不过两三枝；任凭弱水三千，只取一瓢饮。有梦的季节，有爱的润泽，走过的日子，都会成为笔尖温润如玉的诗篇。相信越是走到最后，剩下的唯有一颗向真向善向美的初心。似水流年，如花美眷，春潮带雨晚来急，野渡无人舟自横朝花夕拾，当回望过往，你是此生无憾，还是满心懊悔呢？随着芳华的流逝