拉普拉斯变换3课件

1、4.9 二阶谐振系统的S平面分析谐振频率衰减阻尼因子频率变化影响高品质因数 分析下述二阶谐振电路的频响特性。图（b)：衰减因数 谐振频率 （一）谐振频率10，则 ，于是极点p1 、p2 非常靠近虚轴当 时的情况 当 在 附近时边带带宽 高带窄例如：高阶系统（极零点靠近虚轴）无损电路，即 很小有非常靠近虚轴的零极点有非常靠近虚轴的零极点一般结论：极点靠近j轴 幅频特性出现峰点，相频特性迅速减小。 零点靠近j轴 幅频特性出现谷点，相频特性迅速上升。 零、极点离j轴远 零、极点影响很小。 极点在j轴上 幅频特性趋于 ，相频特性出现 跳变。 零点在j轴上 幅频特性趋于0，相频特性出现 跳变。 4.10

2、 全通函数和最小相移函数 全通函数（全通网络）：幅频特性为常数，对于全部频率的正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过。H(s)的极点位于左半s平面H(s)的零点位于右半s平面零、极点对于j轴互为镜像。特征用途：用来对系统进行相位校正例4-23：下图示的格形网络，写出网络传输函数H(s)=V2(s)/V1(s), 判别它是否为全通网络。 最小相移函数零点仅位于左半s平面或j轴的网络函数最小相移函数可以证明：非最小相移函数可以表示为最小 相移函数与全通函数的乘积。 4.11 线性系统的稳定性稳定性是系统自身的特性之一，系统是否稳定与激励信号的情况无关。由于 、 分别反映系统的时域和复频域的特征，因此

3、判断系统的稳定性，可从时域或s域两方面进行。从稳定性考虑，因果系统可划分为下述三类系统：稳定系统不稳定系统临界稳定系统（边界稳定系统）有界输入有界输出（BIBO）稳定系统1定义（BIBO）：一个系统，如果对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统有界输入有界输出（BIBO）稳定的系统，简称稳定系统。2.判定条件：对所有的激励信号e(t)， ，其响应r(t)满足 ，式中 为有界正值，则该系统是稳定的。3.系统稳定的充分必要条件是4. 证明(略）因果系统因果系统时域、S域判定系统稳定性条件（1）稳定系统 - H(s)的全部极点在左半s开平面，或（2）不稳定系统 - H(s)有极点在右半s

4、平面，或在虚轴上具有二阶或二阶以上的极点。时域中随t增长，h(t)仍继续增长。（3）边界稳定系统 - H(s)有一阶极点在s平面的虚轴上，其它极点都在左半s平面。时域中h(t)趋于一个非零数值或形成一个等幅振荡。为使分类简化，可以把边界稳定系统也归为不稳定系统。 注： 判断H(s)的极点是否全部位于左半s平面，还可以利用劳斯准则。 对于一阶、二阶系统，系统稳定的充要条件为：（取等号表示边界稳定） H(s)分母多项式A(s)的系数 满足1）解：其中- 反馈系数例4-25：系统如下图所示，假定输入阻抗为无限大，试求： 1）系统函数2）由H(s)的极点分布判断A满足什么条件，系统是稳定的。要使系统稳

5、定，须满足： 即（A=1为边界稳定）4.12 双边拉普拉斯变换记作 上面两式称为双边拉普拉斯变换,为与单边拉氏变换区分，用符号 表示。回顾：双边拉氏变换的收敛域信号从时域看，只要 乘以收敛因子后，在 时，乘积函数皆为零即可，也就是显然 若则收敛带为因为为一复平面（s Plane），则收敛域为 极点极点双边拉氏变换收敛域不同原函数，收敛域不同，也可得到相同的象函数。1s)()()(2-=tuetutft00的信号，所以收敛域在收敛轴右边。对F(s)分解因式，找出极点。收敛域中不应有极点，最右边的极点为收敛坐标。综合题1：一连续线性LTI因果系统的微分方程描述为 已知 , ,由s域求解： (1)零

6、输入响应yzi(t)，零状态响应yzs(t) ，完全响应y (t) 。(2)系统函数H(s)，单位冲激响应h(t)并判断系统是否稳定。 综合题2：已知一连续时间LTI系统的零状态响应 试求该系统的系统函数H(s)并画出零极点分布图，写出描述系统的微分方程、系统的冲激响应h(t)、并判断系统是否因果稳定。 ,激励信号x(t)=u(t),综合题1：一连续线性LTI因果系统的微分方程描述为 解：已知 , ,由s域求解： (1)零输入响应yzi(t)，零状态响应yzs(t) ，完全响应y (t) 。(1)对微分方程两边做单边拉普拉斯变换得 零输入响应的s域表达式为 进行拉普拉斯反变换可得综合题1：一连

7、续线性LTI因果系统的微分方程描述为 解：已知 , ,由s域求解： (1)零输入响应yzi(t)，零状态响应yzs(t) ，完全响应y (t) 。零状态响应的s域表达式为 进行拉普拉斯反变换可得 完全响应为综合题1：一连续线性LTI因果系统的微分方程描述为 解：已知 , ,由s域求解： (2)系统函数H(s)，单位冲激响应h(t)并判断系统是否稳定。 (2) 根据系统函数的定义，可得进行拉普拉斯反变换即得 对于因果系统，由于系统函数的极点为-2,-5，在左半s平面，故系统稳定。 综合题2：已知一连续时间LTI系统的零状态响应 解：试求该系统的系统函数H(s)并画出零极点分布图，写出描述系统的微

8、分方程、系统的冲激响应h(t)、并判断系统是否因果稳定。 零状态响应和激励信号的拉氏变换分别为,激励信号x(t)=u(t),根据系统函数的定义，可得 综合题2：已知一连续时间LTI系统的零状态响应 解：试求该系统的系统函数H(s)并画出零极点分布图，写出描述系统的微分方程、系统的冲激响应h(t)、并判断系统是否因果稳定。 该系统的零点z= -0.5为，极点为p1= -1, p1= -2，,激励信号x(t)=u(t),零极点分布图 综合题2：已知一连续时间LTI系统的零状态响应 解：试求该系统的系统函数H(s)并画出零极点分布图，写出描述系统的微分方程、系统的冲激响应h(t)、并判断系统是否因果稳定。 由式可得系统微分方程的s域表达式 ,激励信号x(t)=u(t),两边进行拉氏反变换，可得描述系统的微分方程为综合题2：已知一连续时间LTI系统的零状态响应 解：试求该系统的系统函数H(s)并画出零极点分布图，写出描述系统的微分方程、系统的冲激响应h(t)、并判断系统是否因果稳定。 将系统函数进行部分分式展开，有,激励信号x(t)=u(t),再进行拉氏反变换，可得系统冲激响应为由于系统的冲激响应满足 故该系统为因果系统 综合题