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1、向量值函數的微分與積分.向量值函數的微分向量值函數的積分目的向量值函數的微分 向量值函數的微分向量值函數的微分定義與實數函數的定義極為相似。定義: 向量值函數的微分對所有 極限都存在。如果 存在，那麼在 點可微分。如果 對於開區間 所有的 ， 都存在，那麼在開區間 可微分。向量值函數的微分向量值函數的微分可以拆成對各分量函數的微分。考慮有一個函數 () () ()。向量值函數的微分藉由微分的定義，可以得到這個重要的結果會寫成定理。注意向量值函數的微分後，還是一個向量函數。從右圖，你可以看出 () 是曲線()的切線向量。向量值函數的微分向量值函數的微分定理: 向量值函數的微分. 如果 且 和是依

2、賴 的可微分函數，則. 如果 且 、 是依賴 的可微分函數，則例題向量值函數的微分給予一個向量值函數 () ( )，求出它的微分並畫出能() 、 () 、 () 。解:對分量函數微分得到 () 。從位置向量() ，你可以寫出參數方程式 、 。接著就得到矩形方程式 。令 代入，() 和 () 。例題解在下圖 () 的起點在原點，而() 從()的終點開始畫起。向量值函數的微分向量值函數的高次微分可以藉由對各分量函數作相同次數的微分而求得。例如 向量值函數的微分如果 、 、 在區間 連續且 ，則向量值函數 () () () () 代表的曲線在開放區間 是平滑的( ) 。例題三在平滑的曲線找到區間令

3、() ( ) ( ), ，求這條外擺線是平滑的區間。解:對()微分， 得到 () ( ) ( )。在區間, 會使得() 的地方是 、與 。例題解因此你得到在 是平滑的。如下圖:注意曲線上不平滑的點叫作尖點()或叉點()向量值函數的微分定理: 微分的性質設和是可微分的向量值函數，為可微分的實數值函數，且為常數。例題使用微分的性質給定兩個向量值函數 求. () . (). () ().例題四解因為 且 () 所以我們有例題四解因為 () 跟 () ，我們可以得到向量值函數的積分 向量值函數的積分以下的向量值函數的積分定義是由微分的結果推衍出來的。定義:如果 且 、在區間連續，則()的積分為 定積分為 如果 且 、在區間連續，則()的積分為 定積分為一個向量值函數的反微分是一組僅差一個向量常數的向量函數。舉個例子，如果()是一個三維向量值函數，而() 會包含個積分常數其中 () () 、 () () 、() () 。向量值函數的積分這三個純量產生了一個積分向量常數 () () () () () (

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