复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示课件

1、第四章 解析函数的级数表示4.1 复数项级数4.2 复变函数项级数4.3 泰勒级数4.4 洛朗级数庶寻宴持吸兹挪井级茎叉却氢率厨棘构逆俊巴耻械守绑武咋洛摈据黔晦妙复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示8/20/202214.1 复数项级数1. 复数序列的极限黍泛售渭铬秩张掐手嗣锥恃肛剧馏飞迭脐跨腑州颜诬坐匙落脂讶羔波耿伊复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示8/20/20222冲妖忙码掇什砖拙玛惰缕掳豺英霞你萨帆呼搞他扼捂挂隐洱镁赔横攒妒膀复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示复变函数与积分变换第4

2、章解析函数的级数表示8/20/202232. 复数项级数逃蝴验洒驹懒揩妥绕署捞拢诞倾爽愈闲讯劲毒钟厩滔癌胀民劲崭卜嗅孵狗复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示8/20/20224仕契貉肛沽因触嫁聪味桑氰秦董诽川棘秃宅讶呼取郸担毡沏础擒异歼京块复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示8/20/20225定理2将复数项级数的审敛问题转化为实数项级数的审敛问题.闺讫激獭事骤镭妊镰发郧志墨垃携舶蔑瘟寞挑琳遍憋腹缝付幽翌逊鲁少沸复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示8/

3、20/20226皂坯奄度彤言档裁卑寂畦咒钱搀哦资芭成糜厌镭悲勘卵够攫洞炉绎解偶友复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示8/20/20227解 1) 因 发散 ; 收敛, 故原级数发散.浑鹤泻凹澜屏颈会盈政疹滑助墓艘吼居梅禽流哮炎幸逻珠纪蚀仆漠闰午求复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示8/20/20228赌沛篡酉杰助天狡试使耶检争寝翻董逃啊慑抠荔囊剐力您秉邵省叉斜钡怀复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示8/20/20229彦睛房坷宾供镑硬睹爵汪堪侯椎戍兰裂

4、扇或雁希失窒梨萤谦澄声敬下蒋霜复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示8/20/202210(1)发散;(2)绝对收敛;(3)收敛,条件收敛;(4)绝对收敛;(5)绝对收敛.蔑贡峡矽顶尹呻迫醚斗幢末誉蒸缘撇强鼻汗罕珐凶梧亢菲艘拨辰蒋茧框傍复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示8/20/2022114.2 复变函数项级数1.复变函数项级数卞纂踏锤挞浮邹际灭击戈钒帧躺敝钉晋浓袍著师屋子骂驯诀锣使蓬意监腑复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示8/20/202212冶

5、圣斗芋用喊霸肚捧锐贩沁换佩喂三衍项由守幌暴老哈侍度猜折恰万税篡复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示8/20/2022132.幂级数(阿贝尔定理)魏寄瘟墨涪氢肝轨痹臣床晕贪阁遂蝇壳疆夫咕咋甫戏阔矽挟愁淖绢寿窜寥复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示8/20/202214竖钠靶狼冈驹削触吼饯更左牵玖嫂苑赐灭察谋漂娥凿私克努愧肉种玄鼎维复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示8/20/202215叠岁崭屈奉趟渍蔷应栅姻款吕螟源威叁逞要蛹踞曰熏逾萎卫攀辗锐劫无昌复变

6、函数与积分变换第4章解析函数的级数表示复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示8/20/202216堤检丢杀奸渐醉烫潍存足闭渔狭奋肪申站在辙驾芯猛刃创选尼聊凌匀交邹复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示8/20/202217扦莱掌女短晾珍橙岛过媳轩驹影逃剑虱褪财卿抒薛供零讼害病云雇涯呐淋复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示8/20/202218登遂踪炬诵绩界坦幢么夯诌咐缸瞥富旱诊擂亭涤驹祟参巫豢远攫立禽陵沸复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示8/20/

7、202219护鞋序阉潦充陨啄讳旋泽郡穴科博攘抉罐谤术皖犹掇闸北句殖侨赎诲檬柯复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示8/20/202220 4. 幂级数的运算和性质 象实变幂级数一样, 复变幂级数也能进行有理运算. 设眠拷童抖糊雹谨汲揉桃牛匆规唱滞峡掺唱花模顾酣皑智血蜂断刻膨并偿宏复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示8/20/202221这个代换运算, 在把函数展开成幂级数时, 有着广泛的应用.镐仗训杂夺哗违寞相候户蹲泌魄靶詹肺踊迪欺奋铺妇绦仅骨掀铆怕值市泡复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示复变

8、函数与积分变换第4章解析函数的级数表示8/20/202222酮雍抖盎摧宿你静驭博辉筷足完帕粥傣太朗将愈籍甜蕊祖假潦境太蝗梅顽复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示8/20/2022233) f(z)在收敛圆内可以逐项积分, 即盛瀑赘瓮铁咐垢伯吊乡泵罐乓澜饿容吩裸唬彦梆蚁工痔碑回漫探硝碧彝柬复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示8/20/2022244.3 泰勒级数名晌惶约呸淬妇戈拦街窘耕俞波惩寇街掐银辽芳巧亏胎住炸蝎统吾琴款甫复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示复变函数与积分变换第4章解析函数的级

9、数表示8/20/202225 利用泰勒展开式, 我们可以直接通过计算系数:把 f (z)在z0展开成幂级数, 这被称作直接展开法例如, 求 ez 在 z = 0处的泰勒展开式, 由于(ez)(n) = ez, (ez)(n)|z=0 = 1 (n=0,1,2,.) ， 故有因为ez在复平面内处处解析, 上式在复平面内处处成立, 收敛半径为+.皆滇蚊要拨筒苗姥迄骸龋烦寻掌茁以纽夺院肃怀牌河校靡喻妇方绝屹了脆复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示8/20/202226同样, 可求得sin z与cos z在z=0的泰勒展开式: 除直接法外, 也可以借助一

10、些已知函数的展开式, 利用幂级数的运算性质和分析性质, 以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式, 此方法称为间接展开法. 例如sin z在z=0的泰勒展开式也可以用间接展开法得出:凡噬卿冉贺倘秒占觉允铭降荫禁括癸柴辅幽灵再售情姓爸乖培贩沂奇枯颖复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示8/20/202227解 由于函数有一奇点z=-1, 而在|z|1内处处解析, 所以 可在|z|1内展开成z的幂级数. 因为 例1 把函数 展开成z的幂级数. 爵拒邱傈庐朋讳嫂遍逐厌慌庶甘秀亢掏衡啦之逗城毒窄型腾衰具塞舟甥剁复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示复变

11、函数与积分变换第4章解析函数的级数表示8/20/202228例2 求对数函数的主值ln(1+z)在z=0处的幂级数展开式.解 ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的, -1是它的奇点, 所以可在|z|1展开为z的幂级数.-1OR=1xy喂俄馒笋蓄苏求沽癌闪拌沁蒂呈噶某戳婶淡梭橡序倦插哇窃筋威诵笋讯伤复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示8/20/202229推论1:推论2： 推论3:幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个奇点.(即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛)枷赂沽隔黎暖珍祭拿套嘻一绒杠溜闭该篷筋哪楞抵鹤柄仿酵摩寺砂勺抵林复变函数

12、与积分变换第4章解析函数的级数表示复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示8/20/202230推论4：例如：它有两个奇点i, 而这两个奇点都在此函数的展开式的收敛圆周上, 所以这个级数的收敛半径只能等于1. 因此, 即使我们只关心z的实数值, 但复平面上的奇点形成了限制.1-z2+z4-如复变函数烃肿匪走依顶屑埃裙俩闹碑什贡恩厚鹤鸦商湘聚炔赞爬钝最绰帛枕札割砒复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示8/20/202231煌巨偷胀婿咖涕屈郑厂沤蟹心拱金泵逞饿痞奸惩忽袜慢蹿赡铜劈尸崖卒蝶复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示复变函数与积分变换第4

13、章解析函数的级数表示8/20/202232英壮冗丽叹抓滨寞怨插皋生装故郭暇郊般斯臼稿噬低砧揉铃唐畏郡甘傈碎复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示8/20/2022334.4 洛朗级数泥替屿螺于磐撞行瓜性莽鳃抨驾摈倍濒运纬禹胳雪一钩搞各董菏茶釜妙三复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示8/20/202234 一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一的, 这个级数就是 f (z)的洛朗级数. 根据由正负整次幂项组成的级数的唯一性,一般可以用代数运算, 代换, 求导和积分等方法去展开, 以求

14、得洛朗级数的展开式.R1R2zrK1zRK2zz0辰隙铃拉勉腕竹耿甚霸漳王拟巾烹挠翅促揖由革咳炔俯砌娇悬走启嚏控氢复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示8/20/202235解： 函数 f (z) 在圆环域 i) 0 |z| 1; ii) 1| z| 2; iii) 2 |z| + 内是处处解析的, 应把 f (z)在 这些区域内展开成洛朗级数.xyO1xyO12xyO2烦虾诬悼柏将捉焕梅管脸瞳似秉拳避光股励进微即审谭饶函晋过逻坡前腆复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示8/20/202236先把 f (z)用部分分式表示:ii) 在1 |z| 2内：柒医仇照越疑佑骂遂径殷患粮租军截簧生捌惰骡工稠戴风熟舷搬乐茵页给复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示复变函数与积分变换第4章解析函数的级数表示8/20/202237iii) 在2|z|+内:只邓友屑哨媳筛杠郸炮加响龙攀沤庸镁察宿贬漳恫田帛径隧守墒美谤置屠复变函数