复变函数与积分变换第八章z课件

1、 音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可以改善物质生活，但数学能给予以上的一切。 克莱因 哲学家也要学数学，因为他必须跳出浩如烟海的万变现象而抓住真正的实质。又因为这使灵魂过渡到真理和永存的捷径。 柏拉图 一个国家只有数学蓬勃的发展，才能展现它国力的强大。数学的发展和至善和国家繁荣昌盛密切相关。 拿破仑 在通常意义下，Fourier变换存在的条件需要函数f (t)在(-,+)上绝对可积. 很多常见的初等函数(例如常数函数、多项式函数、正弦与余弦函数等)都不满足这个要求. 另外，很多以时间 t 为自变量的函数，当t0时，往往没有定义，或者不需要知道t0的

2、情况, 此时可以认为当t0时, f (t)0. 于是Fourier变换的表达式为 第八章 Laplace变换但是仍然需要f (t)在 上绝对可积的条件. 对定义在 上的函数 f (t), 如果考虑 那么 容易满足在 上绝对可积的要求. 例 如为常数、多项式、正弦与余弦函数等, 这是因为 时,是衰减速度很快的函数. 如果 取得适当大，那么 的Fourier变换可能有意义. 的Fourier变换为将 记为s, 可写成 这就是本章要讨论的Laplace变换, 它放宽了对函数的限制, 使之更适合某些工程实际, 且仍然保留Fourier变换中许多好的性质, 在某些工程问题中更实用、更方便.1 Lapla

3、ce变换的定义 2 周期函数和d 函数的Laplace变换 8.1 Laplace变换的定义定义8.1设 在上有定义, 并且积分 (s是复参变量)关于某一范围s 收敛，则由这个积分确定的函数称为函数 的Laplace变换, 并记做 即 8.1.1 Laplace变换的定义的像函数， 称为 称为 的像原函数. 已知 是的Laplace变换，则记 并称为的Laplace逆变换.因为在Laplace变换中不必考虑 时的情况，所以经常记作 例8.1 求单位阶跃函数 的Laplace变换.根据Laplace变换的定义， 当时， 例8.2 求指数函数 (其中a是实数)的Laplace变换. 这个积分当 时

4、收敛，且 所以根据Laplace变换的定义 回忆,理解与问题:(1) 回忆:含参量积分就是一个含参量的积分.(2) 拉氏变换实际是实函数f (t)的集合到复函数F(s)的集合的一种对应关系所以记F(s)为Lf(t),并称F(s)为f(t)的象函数.集合A f(t)集合B F(s)(3) 由(2)产生了以下问题: 集合A中都有什么样的实函数? 换句话说, A中不同实函数的象函数是否也不同?若L什么实函数有拉氏变换？是A到B 的一一对应,则L就有逆映射L-1. 内分段连续, 并且当时, 的增长速度不超过某一指数函数, 即存在常数和使得在 上， 在定理8.1 设函数 的任何有限区间则在半平面上， 存

5、在, 且 是s的解析函数, 其中 称为的增长指数. 8.1.2 Laplace变换存在定理 定理8.2如果在处收敛，则这个积分在 上处处收敛, 且由这个积分确定的函数 在上解析；如果 在处发散, 则这个积分在 上处处发散. 类似于幂级数中 ，有下面定理. 根据定理8.2，存在实数s (或是)使得在 上, 积分收敛, 而在上，积分处处发散. 在收敛区域内， Laplace变换的像函数 是s的解析函数. O实轴虚轴s例8.3 求的Laplace变换. Laplace变换存在，且 于是类似可得 因为故在 上，注:计算过程与高等数学算法一致,应用两次分部积分记住结果法即可.在学习了拉氏变换的微分性质以

6、后,我们还将给出本题的其它证明方法.例8.4 求的Laplace变换. 解 如果a是正整数 m, 则由分部积分法, 易求得方法, 可求出当不是正整数时, 利用复变函数论的其中是G函数.设是以T 为周期的函数, 即 且在一个周期内分段连续，则 令则例8.5 周期函数的Laplace变换 而当时，所以 于是这就是周期函数的Laplace变换公式. 附录3(见P181 )给出了一些常见函数的拉氏变换.请特别记住以下结果(六个):定理8.3设 是 的所有孤立奇点(有限个)， 除这些点外, 处处解析, 且存在当时, 其中是的实函数, 且 选取使所有孤立奇点都在 内, 则当 时， 8.1.3 Laplac

7、e 逆变换计算公式其中是的增长指数. 积分路径是在右半平面 上的任意一条直线 这就是Laplace逆变换的一般公式, 称为Laplace 变换的反演积分. 应用Laplace变换的性质计算逆变换的方法，也是常用的方法。Laplace逆变换的一种较一般的方法。后面还有 应用复变函数论中的留数理论作为工具，是计算简便的方法。在使用时, 应该根据具体情形采用例 求 的Laplace逆变换. 解是 的1级极点， 由计算 留数的法则， 例8.6 求的Laplace逆变换. 解和2级极点. 和分别是 的1级故由计算留数的法则 例8.7求 解和分别是 的3级和2级极点. 故由计算留数的法则 当是有理函数时,

8、 可把它化为部分分式 再求逆变换，一般来说这样更为方便. 例8.8求 的Laplace逆变换. 解法1和分别是 的1级和3级极点， 故由计算留数的法则 解法2可分解为形如 可以求得因为 所以 1 线性性质 3 像函数的微分性质 6 位移性质 5 像函数的积分性质 2 微分性质 4 积分性质 7 延迟性质 10 卷积定理 9 初值和终值定理 8 相似性质 8.2 Laplace变换的性质以下假定所考虑的 Laplace 变换的像原函数都满足存在定理的条件. (1) 线性性质 设a, b 是常数， 则 由Laplace变换的定义及积分的线性性质可证. (2) 微分性质 设 则 此性质可以将f (t

9、)的微分方程转化为F(s)的代数方程.推论对正整数n, 有 特别地，当 时， 在这个性质中，要求存在且满足Laplace 变换存在定理的条件例8.9求的Laplace变换. 解因为所以使用同样方法，可得 参见例8.3, 与这里方法不同 根据 和线性性质 例8.10求的Laplace变换. 解根据线性性质与利用 也可以求出当m是正整数时， 参见例8.4 事实上, 设 则 因为 所以 于是 (3) 像函数的微分性质 设 则 一般地，对正整数n, 有 例8.11 求的Laplace变换. 使用同样方法，可得 根据 与例8.12 求 解因为 所以(4) 积分性质 设 则 (5) 位移性质 设 则 其中

10、是的增长指数. 例8.13求 和 故根据 使用同样方法，可得 由例9 例8.14求 使用同样方法，可得 根据例10 与 (6) 像函数的积分性质 设 且 存在，积分 收敛，则 推论如果像函数积分性质的条件满足, 且积分收敛，则例8.15求 的Laplace变换，并求积分解由 已知 故根据 再利用 (7) 延迟(平移)性质 设 若当 时, 则对任何非负实数t , 有 Ottf (t)f (t-t)(8) 相似性质 设 则 其中下面介绍Laplace变换的卷积性质卷积定理. Laplace变换的卷积性质不仅能用来求出某些函数 的Laplace逆变换, 而且在线性系统的研究中起着重 要作用. 因为在

11、Laplace变换中, 总认为t 0时像原函数 恒为零. 因此, 与 的卷积为 卷积定理 设 和满足Laplace变换 存在的条件，即存在 和使得 如果则 或 对一个系统进行分析和研究, 首先要知道该系统的数学模型, 也就是要建立该系统特性的数学表达式. 所谓线性系统, 在许多场合, 它的数学模型可以用一个线性微分方程来描述, 或者说是满足叠加原理的一类系统. 这一类系统无论是在电路理论还是在自动控制理论的研究中, 都占有很重要的地位. 本节将主要讨论拉氏变换在求解线性微分方程中的应用.8.3 Laplace变换的应用像原函数(常微分方程的解)像函数常微分方程像函数的代数方程Laplace逆变换Laplace变换解代数方程基本思路例8.16求常系数线性微分方程的初值问题 的解.解设 是初值问题解 的 Laplace变换的像. 对方程两边进行Laplace变换， 根据 和初值条件, 利用 及因为所以由于是例8.17求一阶微分方程组 满足初值条件的解.解设是所要求的解，记 对方程组两边进行Laplace变换， 由 和 初值条件解